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圆
章末小结与提升
圆{相关概念{弦与直径
弧、半圆、优弧、劣弧
等圆与等弧
基本性质{垂径定理及推论(轴对称性)
弧、弦、圆心角之间的关系
圆周角定理及推论
圆内接四边形的性质
与圆有关的位置关系{点与圆的位置关系{点在圆外
点在圆上
点在圆内
直线和圆的位置关系{相离
相切
相交
(切线的性质与判定)
正多边形和圆{相关概念
正多边形的计算
正多边形的画法
弧长和扇形面积{弧长公式:l = nπR
180
扇形面积公式:S扇形 = n
360πR2
类型 1 垂径定理及其推论
典例 1 如图,在△ABC 中,已知∠ACB=130°,∠BAC=20°,BC=2,以点 C 为圆心,CB 为
半径的圆交 AB 于点 D,则 BD 的长为 .
【解析】作 CE⊥AB 于点 E,∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-20°-130°=30°,在 Rt△BCE 中,
∵∠CEB=90°,∠B=30°,BC=2,∴BE= 3
2 BC= 3,∵CE⊥BD,∴DE=BE,∴BD=2BE=2 3.
【答案】 2 32
【针对训练】
1.如图,设☉O 的半径为 r,弦的长为 a,弦与圆心的距离为 d,弦的中点到所对劣弧中点的距离
为 h,则下列结论:①r=d+h;②4r2=4d2+a2;③已知 r,a,d,h 中任意两个,可求其他两个.其中正
确结论的序号是 (C)
A.① B.②③ C.①②③ D.①③
2.(南通中考)已知∠AOB,作图.
步骤 1:在 OB 上任取一点 M,以 M 为圆心,MO 长为半径画半圆,分别交 OA,OB 于点 P,Q;
步骤 2:过点 M 作 PQ 的垂线交PQ于点 C;
步骤 3:画射线 OC.
则下列判断:①PC = CQ;②MC∥OA;③OP=PQ;④OC 平分∠AOB.其中正确的个数为 (C)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图,破残的圆形轮片上,弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C,交弦 AB 于点 D.已知 AB=24
cm,CD=8 cm,求圆的半径.
解:∵弦 AB 的垂直平分线交弧 AB 于点 C,交弦 AB 于点 D,
∴圆心在直线 CD 上.3
如图,设圆形轮片圆心为 O,连接 OA,设圆的半径为 R,
由垂径定理知 AD=1
2AB=12.
在 Rt△OAD 中,OA2=OD2+AD2,
∴R2=122+(R-8)2,解得 R=13.
∴圆的半径为 13 cm.
类型 2 圆心角定理、圆周角定理及其推论
典例 2
如图,点 A,B,C 是☉O 上的三点,且四边形 ABCO 是平行四边形,OF⊥OC 交☉O 于点 F,则∠BAF
等于 ()
A.12.5° B.15°
C.20° D.22.5°
【解析】连接 OB,∵四边形 ABCO 是平行四边形,∴OCAB,又 OA=OB=OC,∴OA=OB=AB,∴△AOB
为等边三角形.∵OF⊥OC,OC∥AB,∴OF⊥AB,∴∠BOF=∠AOF=30°,由圆周角定理得∠BAF=1
2
∠BOF=15°.
【答案】 B
【针对训练】4
1.(贺州中考)如图,在☉O 中,AB 是☉O 的直径,AB=10,AC = CD = DB,点 E 是点 D 关于 AB 的
对称点,M 是 AB 上的一动点,下列结论:①∠BOE=60°;②∠CED=1
2∠DOB;③DM⊥CE;④CM+DM 的
最小值是 10.其中正确的个数是(C)
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(永州中考)如图,四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形,点 D 是AC的中点,点 E 是BC上的一点.
若∠CED=40°,则∠ADC= 100 °.
类型 3 切线的性质与判定
典例 3
如图,△ABC 内接于☉O,AC 为☉O 的直径,PB 是☉O 的切线,B 为切点,OP⊥BC,垂足为 E,交☉O
于点 D,连接 BD.
(1)求证:BD 平分∠PBC;
(2)若☉O 的半径为 1,PD=3DE,求 OE 及 AB 的长.
【解析】(1)连接 OB.
∵PB 是☉O 的切线,∴OB⊥PB,∴∠PBO=90°,
∴∠PBD+∠OBD=90°,
∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB,5
∵OP⊥BC,∴∠BED=90°,
∴∠DBE+∠BDE=90°,
∴∠PBD=∠EBD,∴BD 平分∠PBC.
(2)作 DK⊥PB 于点 K.
∵S△BDE
S△BDP
=
1
2BE·ED
1
2PB·DK
= DE
PD,
又∵BD 平分∠PBE,DE⊥BE,DK⊥PB,
∴DK=DE,∴BE
PB = DE
PD = 1
3.
∵∠OBE+∠PBE=90°,∠PBE+∠P=90°,
∴∠OBE=∠P.
∵∠OEB=∠BEP=90°,∴△BEO∽△PEB,
∴BO
PB = OE
BE,∴OE
BO = BE
PB = 1
3.
∵BO=1,∴OE=1
3.
∵OE⊥BC,∴BE=EC.
∵AO=OC,∴AB=2OE=2
3.
【针对训练】
1.如图,已知△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,作∠ABC 的角平分线交 AC 于点 D,以 D 为圆心,DA 为
半径作圆,与射线交于点 E,F.有下列结论:
①△ABC 是直角三角形;②☉D 与直线 BC 相切;③点 E 是线段 BF 的黄金分割点;④tan ∠
CDF=2.
其中正确的结论有 (A)6
A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个
2.(天水中考)如图,点 D 为☉O 上一点,点 C 在直径 BA 的延长线上,且∠CDA=∠CBD.
(1)判断直线 CD 和☉O 的位置关系,并说明理由;
(2)过点 B 作☉O 的切线 BE 交直线 CD 于点 E,若 AC=2,☉O 的半径是 3,求 BE 的长.
解:(1)直线 CD 和☉O 的位置关系是相切.
理由:连接 OD.∵AB 是☉O 的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DAB+∠DBA=90°.
∵∠CDA=∠CBD,∴∠DAB+∠CDA=90°.
∵OD=OA,∴∠DAB=∠ADO,
∴∠CDA+∠ADO=90°,即 OD⊥CE.
∴直线 CD 是☉O 的切线,即直线 CD 和☉O 的位置关系是相切.
(2)∵AC=2,☉O 的半径是 3,∴OC=2+3=5,OD=3.
∴CD=4.
∵CE 切☉O 于点 D,EB 切☉O 于点 B,
∴DE=EB,∠CBE=90°.
设 DE=EB=x,
在 Rt△CBE 中,由勾股定理,得 CE2=BE2+BC2,
则(4+x)2=x2+(5+3)2.
解得 x=6,即 BE=6.
类型 4 正多边形与圆的有关计算
1.如图,正方形 ABCD 和正△AEF 都内接于☉O,EF 与 BC,CD 分别相交于点 G,H,则EF
GH的值是(C)7
A. 6
2 B. 2 C. 3 D.2
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为 (A)
A.3∶2∶1 B.4∶3∶2
C.4∶2∶1 D.6∶4∶3
3.等腰直角三角形的外接圆的半径为 (B)
A.腰长 B.腰长的 2
2 倍
C.底边长的 2
2 倍 D.腰上的高
类型 5 弧长与扇形面积的相关计算
1.如图,在△ABC 中,AB=AC.分别以 B,C 为圆心,BC 长为半径在 BC 下方画弧,设两弧交于点 D,
与 AB,AC 的延长线分别交于点 E,F,连接 AD,BD,CD.若 BC=6,∠BAC=50°,则DE,DF的长度之和
为 11
3 π .
2.(德州中考)如图,AB 是☉O 的直径,直线 CD 与☉O 相切于点 C,且与 AB 的延长线交于点 E,C
是BF的中点.
(1)求证:AD⊥CD;8
(2)若∠CAD=30°,☉O 的半径为 3,一只蚂蚁从点 B 出发,沿着 BE-EC-CB爬回至点 B,求蚂蚁爬
过的路程.(π≈3.14, 3≈1.73,结果保留一位小数)
解:(1)连接 OC.∵直线 CD 与☉O 相切,
∴OC⊥CD,
∵点 C 是BF的中点,∴∠DAC=∠EAC,
∵OA=OC,∴∠OCA=∠EAC,
∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD,∴AD⊥CD.
(2)∵∠CAD=30°,∴∠CAE=∠CAD=30°,
由圆周角定理,得∠COE=60°,
∴OE=2OC=6,BE=6-3=3,BC的长为=60° × π × 3
180° =π.
在 Rt△OCE 中,EC= OE2 - OC2 = 62 - 32=3 3,
∴蚂蚁爬过的路程=3+3 3+π≈11.3.
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