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小专题(一) 求锐角的三角函数值
求锐角三角函数值的方法很多,且方法灵活,是中考中常见的题型,可以根据已知条件结
合图形选用灵活的求解方法.现将求锐角三角函数值的常用方法总结如下:①直接根据定义
求三角函数值,首先求出相应边的长度,然后代入三角函数公式计算即可;②若已知两边的比
值或一个三角函数值,而不能直接求出对应边的长,则可采用设元的方法求解;③利用互余两
角的三角函数关系式,改求其余角的三角函数值;④当直接用三角函数定义求某锐角的三角
函数值较为困难时,可通过相等角进行转换求解.
类型 1 运用定义求三角函数值
1.在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高线,已知∠ACD 的正弦值是2
3,则AC
AB的值是 (D)
A.2
5 B.3
5 C. 5
2 D.2
3
2.如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,则下列线段的比等于 sin A 的是 (A)
A.CD
AC B.BD
DC
C.BC
AC D.CD
BC
3.一个等腰三角形的腰是 10,底边是 12,求这个三角形顶角的正弦值、余弦值和正切值.
解:设三角形顶角为∠A,底角为∠B,∠C.则有 AB=AC=10,BC=12,作 AD⊥BC 于点 D,作 CE⊥AB
于点 E.
∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD=6.
在 Rt△ABD 中,AD= AB2 - BD2 = 102 - 62=8,
又∵S△ABC=1
2AB·CE=1
2BC·AD,
∴CE=9.6.2
在 Rt△ACE 中,AE= AC2 - CE2 = 102 - 9.62=2.8,
∴sin ∠BAC=CE
AC = 9.6
10 =0.96,cos ∠BAC=AE
AC = 2.8
10 =0.28,tan ∠BAC=CE
AE = 9.6
2.8 = 24
7 .
类型 2 巧设参数求三角函数值
4.若 a,b,c 是△ABC 中∠A,∠B,∠C 的对边,且 a∶b∶c=1∶ 2 ∶ 3,则 cos B 的值为(B)
A. 6
3 B. 3
3 C. 2
2 D. 2
4
5.如图,在△ABC 中,∠B=90°,C 是 BD 上一点,DC=10,∠ADB=45°,∠ACB=60°,求 AB 的长.
解:设 AB=x,在△ABD 中,
∵∠ADB=45°,∠B=90°,
∴AB=BD=x.
∵∠B=90°,∠ACB=60°,∴BC= x
tan60° = 3
3 x.
又∵BD=BC+DC,∴x= 3
3 x+10,
∴x=15+5 3,∴AB 的长为 15+5 3.
6.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠BAC 的平分线交 BC 于点 E,EF⊥AB 于点 F,F 恰好是 AB 的
一个三等分点(AF>BF).
(1)求证:AC=AF;
(2)求 tan ∠CAE 的值.3
解:(1)∵∠C=90°,∴EC⊥AC.
∵AE 平分∠BAC,EF⊥AB,∴EC=EF.
在 Rt△ACE 和 Rt△AFE 中,EC=EF,AE=AE,
∴Rt△ACE≌Rt△AFE,∴AC=AF.
(2)∵F 是 AB 的一个三等分点(AF>BF),
∴设 BF=x,AF=2x,则 AC=2x,AB=3x.
在 Rt△ACB 中,由勾股定理得 BC= (3x)2 - (2x)2 = 5x.
∵tan B=AC
BC = 2x
5x = 2
5,
∴在 Rt△EFB 中,EF=BF·tan B= 2x
5,
∴CE=EF= 2x
5,∴tan ∠CAE=CE
AC = 5
5 .
类型 3 利用互余的两角的三角函数关系求锐角三角函数值
7.在△ABC 中,∠C=90°,则下列式子成立的是(A)
A.sin A=cos B B.sin A·tan A=cos A
C.sin A·cos B=1 D.sin A=sin (90°-A)
8.在△ABC 中,∠A,∠B 为锐角,且有 sin A=cos B,则这个三角形是 (B)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
类型 4 等角代换求三角函数值
9.在△ABC 中,∠C=90°,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,那么 c 等于 (B)
A.a·cos A+b·sin B B.a·sin A+b·sin B
C. a
sinA + b
sinB D. a
cosA + b
sinB4
10.(咸宁中考)如图,已知直线 l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是 1,如果正方
形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上,则 sin α= 5
5 .
11.请你画出一个以 BC 为底边的等腰△ABC,使底边上的高 AD=BC.
(1)求 tan ∠ABC 和 sin ∠ABC 的值;
(2)在你所画的等腰△ABC 中,假设底边 BC=5,求腰上的高 BE.
解:图略.
(1)tan ∠ABC=2,sin ∠ABC=2 5
5 .
(2)BE=2 5.
类型 5 构造法求三角函数值
12.如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(3,4),那么 sin α 的值是 (C)
A.3
5 B.3
4 C.4
5 D.4
3
13.如图,在△ABC 中,∠B=135°,tan A=2
5,BC=6 2.
(1)求 AC 的长;
(2)求△ABC 的面积.
解:(1)过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D.5
∵在△ABC 中,∠ABC=135°,
∴∠CBD=45°,∴BD=CD.
∵BC=6 2,∴BD=CD=6.
∵tan A=2
5,∴AD= CD
tanA=15,
∴AB=AD-BD=9.∴AC= 152 + 62=3 29.
(2)S△ABC=1
2·AB·CD=1
2×9×6=27.
14.学习过三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一
确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的
联系,我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad).如图,在△ABC 中,AB=AC,
顶角 A 的正对记作 sad A,这时 sad A=底边
腰 = BC
AB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也
是相互唯一确定的.
根据上述对角的正对的定义,解下列问题:
(1)sad 60°的值为 (B)
A.1
2 B.1 C. 3
2 D.2
(2)对于 0°
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