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直角三角形的边角关系
周滚动练(1.4~1.6)
(时间:45 分钟 满分:100 分)
一、选择题(每小题 4 分,共 24 分)
1.在等腰 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=6,D 是 AC 上一点,若 tan∠DBA=1
5,则 AD 的长为 (B)
A. 2 B.2 C.1 D.2 2
2.如图,斜面 AC 的坡度(CD 与 AD 的比)为 1∶2,AC=3 5米,坡顶有旗杆 BC,旗杆顶端 B 点与 A
点之间有一条彩带.若 AB=10 米,则旗杆 BC 的高度为 (A)
A.5 米 B.6 米 C.8 米 D.3 米
3.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D.若 AC= 5,BC=2,则 sin ∠ACD 的值为
(D)
A.2
5 B. 5
2 C.2
3 D. 5
3
4.(绵阳中考)一艘在南北航线上的测量船,于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°方向,
继续向南航行 30 海里到达 C 点时,测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15°方向,那么海岛 B 离航线
的最近距离是(结果保留小数点后两位,参考数据: 3≈1.732, 2≈1.414) (B)
A.4.64 海里 B.5.49 海里
C.6.12 海里 D.6.21 海里2
5.如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度,他们在斜坡上 D 处测得大树
顶端 B 的仰角是 30°,朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处,在 A 处测得大树顶端 B 的仰角
是 48°,若斜坡 AF 的坡度 i=1∶ 3,则大树的高度为(结果保留整数,参考数据:sin
48°≈0.74,cos 48°≈0.67,tan 48°≈1.11, 3≈1.732) (C)
A.11 米 B.12 米 C.13 米 D.14 米
6.如图,山顶一座铁塔 AB 在阳光下的投影 CD 的长为 6 米,此时太阳光与地面的夹角∠
ACD=60°,则铁塔 AB 的高为 (B)
A.3 米 B.6 3米
C.3 3米 D.2 3米
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
7.已知在△ABC 中,∠A,∠B 是锐角,且 sin A= 5
13,tan B=2,AB=29 cm,则 S△ABC= 145 cm2 .
8.(天门中考)为加强防汛工作,某市对一拦水坝进行加固,如图,加固前拦水坝的横断面是梯
形 ABCD.已知迎水坡面 AB=12 米,背水坡面 CD=12 3米,∠B=60°,加固后拦水坝的横断面为
梯形 ABED,tan E=3 3
13 ,则 CE 的长为 8 米. 3
9.在矩形 ABCD 中,AB=10,BC=8,E 为 AD 边上一点,沿 CE 将△CDE 对折,使点 D 正好落在 AB 边
上,则 tan∠AFE= 3
4 .
10.如图,在大楼 AC 的右侧有一斜坡 EF,坡度 i=3∶4,在楼顶 A 处测得坡顶的俯角是 26.5°,
小明从 E 处沿着斜坡 EF 下坡后继续向前,走到 D 处,共走了 45 米,在 D 处测得距楼顶 12 米的
B 处的仰角为 60°(即 AB=12 米),且此时小明与大楼底端 C 相距 15 米(即 CD=15 米),点 C,D,F
在同一直线上且斜坡、大楼、CF 在同一平面内,则斜坡 EF 的长度约为 16 米.(参考数
据:tan 26.5°≈0.5, 3≈1.73, 2≈1.41,结果保留整数)
三、解答题(共 56 分)
11.(10 分)(邵阳中考)某商场为方便消费者购物,准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡
式自动扶梯.如图所示,已知原阶梯式自动扶梯 AB 长为 10 m,坡角∠ABD 为 30°;改造后的斜
坡式自动扶梯的坡角∠ACB 为 15°,请你计算改造后的斜坡式自动扶梯 AC
的长度.(结果精确到 0.1 m,参考数据:sin 15°≈0.26,cos 15°≈0.97,tan 15°≈0.27)
解:在 Rt△ABD 中,∠ABD=30°,
所以 AD=1
2AB=5.
在 Rt△ACD 中,sin∠ACD=AD
AC,
所以 AC= AD
sin∠ACD = 5
sin15°≈19.2.
答:改造后的斜坡式自动扶梯 AC 的长度约为 19.2 米.
12.(10 分)如图,某市文化节期间,在景观湖中央搭建了一个舞台 C,在岸边搭建了三个看4
台 A,B,D,其中 A,C,D 三点在同一条直线上,看台 A,B 到舞台 C 的距离相等,测得∠A=30°,∠
D=45°,AB=60 m,小明、小丽分别在 B,D 看台观看演出,请分别求出小明、小丽与舞台 C 的距
离.(结果保留根号)
解:作 BH⊥AD 于点 H,CE⊥AB 于点 E.
∵CA=CB,CE⊥AB,∴AE=EB=30,
∵tan 30°=CE
AE,∴CE=10 3,AC=CB=2CE=20 3.
在 Rt△CBH 中,CH=1
2BC=10 3,BH= 3CH=30.
在 Rt△BHD 中,∵∠D=45°,∴DH=BH=30,
∴DC=DH+CH=30+10 3.
答:小明、小丽与舞台 C 的距离分别为 20 3 m 和(30+10 3)m.
13.(12分)如图,在△ABC中,CD是AB边上的中线,∠B是锐角,且sin B= 2
2 ,tan A=1
2,AC=3 5.
(1)求∠B 的度数与 AB 的值;
(2)求 tan ∠CDB.
解:(1)作 CE⊥AB 于点 E,设 CE=x,
在 Rt△ACE 中,tan A=CE
AE = 1
2,∴AE=2x,
∴AC= 5x=3 5,解得 x=3,∴CE=3,AE=6.
在 Rt△BCE 中,sin B= 2
2 ,∴∠B=45°,
∴△BCE 为等腰直角三角形,5
∴BE=CE=3,∴AB=AE+BE=9.
(2)∵CD 为中线,∴BD=1
2AB=4.5,
∴DE=BD-BE=1.5,
∴tan ∠CDB=CE
DE=2.
14.(12 分)(株洲中考)下图为某区域部分交通线路图,其中直线 l1∥l2∥l3,直线 l 与直线
l1,l2,l3 都垂直,垂足分别为 A,B 和 C(高速路右侧边缘),l2 上的点 M 位于点 A 的北偏东 30°
方向上,且 BM= 3千米,l3 上的点 N 位于点 M 的北偏东 α 方向上,且 cos α= 13
13 ,MN=2 13千
米,A 和 N 是城际线 L 上的两个相邻的站点.
(1)求 l2 和 l3 之间的距离;
(2)若城际火车平均时速为 150 千米/小时,求市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要
多少小时?(结果用分数表示)
解:(1)过点 M 作 MD⊥l3 于点 D,
∵在 Rt△MDN 中,∠MDN=90°,
∴cos α=MD
MN = 13
13 ,∴MD=2,
∴l2 和 l3 之间的距离为 2 千米.
(2)由(1)易得 DN=4 3.
∵在 Rt△ABM 中,∠ABM=90°,BM= 3,∠BAM=30°,∴AB=3,
∴AC=AB+DM=5,CN=BM+DN=5 3.
∵在 Rt△ACN 中,∠ACN=90°,AC=5,CN=5 3,∴AN=10,t= 10
150 = 1
15,
∴市民小强乘坐城际火车从站点 A 到站点 N 需要 1
15小时.6
15.(12 分)乌江快铁大桥是快铁渝黔线的一项重要工程,由主桥 AB 和引桥 BC 两部分组成(如
图所示),建造前工程师用以下方式做了测量:无人机在 A 处正上方 97 m 处的 P 点,测得 B 处
的俯角为 30°(当时 C 处被小山体阻挡无法观测),无人机飞行到 B 处正上方的 D 处时能看到
C 处,此时测得 C 处俯角为 80°36'.
(1)求主桥 AB 的长度;
(2)若两观察点 P,D 的连线与水平方向的夹角为 30°,求引桥 BC 的长.(长度均精确到 1 m,参
考数据: 3≈1.73,sin 80°36'≈0.987,cos 80°36'≈0.163,tan 80°36'≈6.06)
解:(1)由题意知∠ABP=30°,AP=97,
∴AB= AP
tan∠ABP = 97
tan30°=97÷ 3
3 ≈168 m.
答:主桥 AB 的长度为 168 m.
(2)∵∠ABP=30°,AP=97,∴PB=2PA=194,
又∵∠DBC=∠DBA=90°,
∴∠DBP=∠DPB=60°,
∴△PBD 是等边三角形,∴DB=PB=194,
在 Rt△BCD 中,∵∠C=80°36',
∴BC= DB
tanC = 194
tan80°36'≈32 m.
答:引桥 BC 的长为 32 m.
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