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3.6 直线和圆的位置关系
第 1 课时 直线和圆的位置关系
知识要点基础练
知识点 直线与圆的位置关系
1.☉O 的半径为 12,圆心 O 到直线 l 的距离为 9,则直线 l 与☉O 的位置关系是 (A)
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
2.已知☉O 的半径为 2018,圆心 O 到直线 L 的距离为 D,若直线 L 与☉O 有交点,则下列结论中
正确的是(B)
A.D=2018 B.D≤2018
C.D≥2018 D.D>2018
3.已知☉O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 D,当 D=r 时,直线 L 与☉O 的位置关系是(B)
A.相交 B.相切
C.相离 D.以上都不对
4.已知 Rt△ABC 的斜边 AB=6 厘米,直角边 AC=3 厘米,则以 C 为圆心,以 2 厘米为半径的圆和 AB
的位置关系是 相离 ,以 4 厘米为半径的圆和 AB 的位置关系是 相交 .
5.已知 l1∥l2,l1,l2 之间的距离是 3 cm,圆心 O 到直线 l1 的距离是 1 cm,如果☉O 与直线
l1,l2 有三个公共点,那么圆 O 的半径为 2 或 4 cm.
综合能力提升练
6.已知☉O 的半径为 6,☉O 的一条弦 AB 长为 3 3,则以 3 为半径的同心圆与 AB 的位置关系
是 (A)
A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定2
7.如图,已知∠BAC=45°,一动点 O 在射线 AB 上运动(点 O 与点 A 不重合),设 OA=x,如果半径
为 1 的圆 O 与射线 AC 有公共点,那么 x 的取值范围是 (A)
A.00)的图象上运动,O 为坐标原点,A 为 PO 的中点,以 P 为圆心,PA
为半径作☉P,则当☉P 与坐标轴相切时,点 P 的坐标为 ( 3,1)或(1, 3) .
3.如图,在以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 是小圆的切线,P 为切点.已知 AB=8,大圆
半径为 5,则小圆半径为 3 .
知识点 2 切线的判定定理
4.给出下列说法:
(1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;
(2)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;
(3)垂直于圆的半径的直线是圆的切线;
(4)过圆的半径的外端的直线是圆的切线.
其中正确说法的个数为 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(无锡中考)如图,矩形 ABCD 中,G 是 BC 的中点,过 A,D,G 三点的圆 O 与边 AB,CD 分别交于
点 E,F,给出下列说法:①AC 与 BD 的交点是圆 O 的圆心;②AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心;③BC
与圆 O 相切.其中正确说法的个数是 (C)5
A.0 B.1 C.2 D.3
6.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的☉O 交 BC 于点 D,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E.
(1)请说明 DE 是☉O 的切线;
(2)若∠B=30°,AB=8,求 DE 的长.
解:(1)连接 OD.
∵OD=OB,∴∠B=∠ODB.
∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,∴∠ODE=∠DEC=90°,
∴DE 是☉O 的切线.
(2)连接 AD.
∵AB 是☉O 的直径,∴∠ADB=90°,
∴BD=AB·cos B=8× 3
2 =4 3.
又∵AB=AC,∴CD=BD=4 3,∠C=∠B=30°,
∴DE=1
2CD=2 3.
综合能力提升练6
7.(宜昌中考)如图,直线 AB 是☉O 的切线,C 为切点,OD∥AB 交☉O 于点 D,点 E 在☉O 上,连接
OC,EC,ED,则∠CED 的度数为 (D)
A.30° B.35°
C.40° D.45°
8.如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 为正方形,顶点 A,C 在坐标轴上,以边 AB 为弦的
☉M 与 x 轴相切,若点 A 的坐标为(0,8),则圆心 M 的坐标为 (D)
A.(4,5) B.(-5,4) C.(-4,6) D.(-4,5)
9.如图,AB 是☉O 的直径,C,D 是☉O 上的点,∠CDB=20°,过点 C 作☉O 的切线交 AB 的延长线
于点 E,则∠E= 50° .
10.(湖州中考)如图,已知∠AOB=30°,在射线 OA 上取点 O1,以 O1 为圆心的圆与 OB 相切;在射
线 O1A 上取点 O2,以 O2 为圆心,O2O1 为半径的圆与 OB 相切;在射线 O2A 上取点 O3,以 O3 为圆
心,O3O2 为半径的圆与 OB 相切;…;在射线 O9A 上取点 O10,以 O10 为圆心,O10O9 为半径的圆与 OB
相切.若☉O1 的半径为 1,则☉O10 的半径长是 29 .
提示:作 O1C,O2D,O3E 分别垂直于 OB,
∵∠AOB=30°,
∴OO1=2CO1,OO2=2DO2,OO3=2EO3,
∵O1O2=DO2,O2O3=EO3,
∴圆的半径呈 2 倍递增,7
∴☉On 的半径为 2n-1CO1,
∵☉O1 的半径为 1,∴☉O10 的半径长为 29.
11.已知∠MAN=30°,O 为边 AN 上一点,以 O 为圆心,2 为半径作☉O,交 AN 于 D,E 两点,设 AD=x.
(1)如图 1,当 x 取何值时,☉O 与 AM 相切?
(2)如图 2,当 x 取何值时,☉O 与 AM 相交于 B,C 两点,且∠BOC=90°?
解:(1)过点 O 作 OF⊥AM 于点 F.当 OF=r=2 时,☉O 与 AM 相切,此时 OA=4,故 x=AD=2.
(2)过点 O 作 OG⊥AM 于点 G.
∵OB=OC=2,∠BOC=90°,∴BC=2 2,
∴BG=CG= 2,∴OG= 2,
∵∠A=30°,∴OA=2 2,∴x=AD=2 2-2.
12.(邵阳中考)如图所示,AB 是☉O 的直径,C 为☉O 上一点,过点 B 作 BD⊥CD,垂足为 D,连接
BC,BC 平分∠ABD.
求证:CD 为☉O 的切线.
证明:∵BC 平分∠ABD,∴∠OBC=∠DBC.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠DBC=∠OCB.
∴OC∥BD.8
∵BD⊥CD,∴OC⊥CD.
又∵C 为☉O 上一点,∴CD 为☉O 的切线.
13.如图,DC 是☉O 的直径,点 B 在圆上,直线 AB 交 CD 延长线于点 A,且∠ABD=∠C.
(1)求证:AB 是☉O 的切线;
(2)若 AB=4 cm,AD=2 cm,求 CD 的长.
解:(1)连接 OB.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠C,
∵∠ABD=∠C,∴∠ABD=∠OBC,
∵CD 为直径,∴∠CBD=90°,
∴∠OBC+∠OBD=90°,
∴∠ABD+∠OBD=90°,
即∠ABO=90°,∴OB⊥AB,
∵OB 为半径,∴AB 是☉O 的切线.
(2)∵∠ABD=∠C,且∠A=∠A,
∴△ABD∽△ACB,
∴BD
BC = AB
AC = AD
AB = 1
2,
∴AB2=AD·AC,即 42=2AC,
∴AC=8 cm,∴CD=AC-AD=8-2=6 cm.
拓展探究突破练9
14.(恩施州中考)如图,AB 为☉O 的直径,P 为半径 OA 上异于点 O 和点 A 的一个点,过点 P 作
与直径 AB 垂直的弦 CD,连接 AD,作 BE⊥AB,OE∥AD 交 BE 于点 E,连
接 AE,DE,AE 交 CD 于点 F.
(1)求证:DE 为☉O 的切线;
(2)若☉O 的半径为 3,sin∠ADP=1
3,求 AD.
解:(1)连接 OD,BD,BD 交 OE 于点 M.
∵AB 是☉O 的直径,
∴∠ADB=90°,即 AD⊥BD,
∵OE∥AD,∴OE⊥BD,OB=OD,
∴BM=DM,∠BOM=∠DOM,
∵OE=OE,∴△BOE≌△DOE(SAS),
∴∠ODE=∠OBE=90°,∴DE 为☉O 的切线.
(2)设 AP=a,
∵sin∠ADP=1
3,∴AD=3a,∴PD=2 2a,
∵OP=3-a,∴OD2=OP2+PD2,
∴32=(3-a)2+(2 2a)2,
解得 a1=2
3,a2=0(舍),
∴AD=3a=2.
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