1
3.5 确定圆的条件
知识要点基础练
知识点 1 确定圆的条件
1.如图,在 5×5 正方形网格中,一条圆弧经过 A,B,C 三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)
A.点 P B.点 Q
C.点 R D.点 M
【变式拓展】(烟台中考)如图,方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度,点O,A,B,C
在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O 为原点建立直角坐标系,则过 A,B,C 三点的圆的
圆心坐标为 (-1,-2) .
2.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图所示,为了配到与原来大小一样的
圆形镜子,小明带到商店去的一块碎片应该是 (A)
A.① B.②
C.③ D.④
3.若 AB=4 cm,则过点 A,B 且半径为 3 cm 的圆有 2 个.
知识点 2 三角形的外接圆与外心2
4.(南京中考)过三点 A(2,2),B(6,2),C(4,5)的圆的圆心坐标为 (A)
A.(4,17
6 ) B.(4,3)
C.(5,17
6 ) D.(5,3)
5.如图,将△ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中,点 A,B,C 均落在格点上,用一个圆
面去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 5 .
6.如图,☉O 是△ABC 的外接圆,sin A=3
5,BC=6,求☉O 的半径.
解:作直径 CD,连接 BD.则∠DBC=90°,
∵∠D=∠A,∴sin D=sin A=BC
CD = 3
5,
∴CD=10,∴☉O 的半径是 5.
7.如图,为丰富 A,B,C 三个小区的文化生活,现准备新建一个影剧院 M,使它到三个小区的距
离相等,试确定 M 的位置.(用尺规作图,不写作法,但要保留痕迹)
解:如图.3
综合能力提升练
8.如图,△ABC 内接于☉O,OC⊥OB,OD⊥AB 于点 D,交 AC 于点 E,已知☉O 的半径为 1,则 AE2+CE2
的值为 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(陕西中考)如图,△ABC 是☉O 的内接三角形,∠C=30°,☉O 的半径为 5,若 P 是☉O 上的一
点,在△ABP 中,PB=AB,则 PA 的长为 (D)
A.5 B.5 3
2 C.5 2 D.5 3
10.(扬州中考)如图,已知☉O 是△ABC 的外接圆,连接 AO,若∠B=40°,则∠OAC= 50° .
11.如图,☉O 的半径为 4,△ABC 是☉O 的内接三角形,连接 OB,OC,若∠BAC 和∠BOC 互补,则
弦 BC 的长度为 4 3 .
12.如图,是一块残破的圆轮片,A,B,C 是圆弧上的三点.
(1)作出弧 ACB 所在的☉O;(不写作法,保留作图痕迹)4
(2)如果 AC=BC=60 cm,∠ACB=120°,求该残破圆轮片的半径.
解:(1)作 AC,BC 的垂直平分线,交点 O 即为圆心;再以 O 为圆心,OA 为半径画圆即可.图略.
(2)连接 AC,BC,OA,OB,OC.
∵AC=BC,OA=OB,OC=OC,
∴△AOC≌△BOC.
∵∠ACB=120°,
∴∠ACO=∠BCO=60°,
∴△AOC 与△BOC 为等边三角形,
∴OA=AC=60 cm,则该残破圆轮片的半径为 60 cm.
13.如图,在△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,求△ABC 外接圆☉O 的半径 r.
解:作△ABC 的外接圆☉O,直径 AD 交 BC 于点 E,交圆于点 D,连接 BD,则∠ABD=90°,
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,
∵∠C=∠D,∴∠ABC=∠D.
∵∠BAE=∠DAB,
∴△ABE∽△ADB,
∴∠AEB=∠ABD=90°,5
∴BE=CE=6.
∴AE= AB2 - BE2=8.
∵△ABE∽△ADB,∴AB
AD = AE
AB,
∴AD=AB2
AE = 102
8 = 25
2 ,
∴△ABC 外接圆☉O 的半径 r 为25
4 .
14.(临沂中考)如图,∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点 D,∠ABC 的平分线交 AD 于点 E.
(1)求证:DE=DB;
(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC 外接圆的半径.
解:(1)∵AD 平分∠BAC,BE 平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,∠BAE=∠CAD,
∴BD = CD,∴∠DBC=∠BAE,
∵∠DBE=∠CBE+∠DBC,∠DEB=∠ABE+∠BAE,
∴∠DBE=∠DEB,∴DE=DB.
(2)连接 CD.
由(1)得BD = CD,∴CD=BD=4,
∵∠BAC=90°,∴BC 是直径,
∴∠BDC=90°,BC= BD2 + CD2=4 2,
∴△ABC 外接圆的半径为1
2×4 2=2 2.6
15.某公司临街面的外墙上有一块三角形的墙面发生破损现象(如图所示),公司领导让工人
师傅做一个圆形广告牌,将破损面全部覆盖住,工人师傅量得∠B=45°,∠C=30°,BC=4 m.为
使所做广告牌最小,工人师傅给出两种方案:(1)作△ABC 的外接圆;(2)以 BC 为直径作圆.问:
哪个方案中的圆面积最小?是多少?
解:如图,作△ABC 的外接圆☉O 和以 BC 为直径的☉P.
方案(2)中圆的面积较小.
理由:∵∠ABC=45°,∠ACB=30°,
∴∠BAC=180°-(45°+30°)=105°.
∵∠BAC≠90°,
∴△ABC 的外接圆☉O 的直径大于 BC 的长.
∵☉P 的直径为 BC,☉O 的直径大于 BC 的长,
∴S☉P
微信/支付宝扫码支付