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小专题(五) 垂径定理的有关计算
由圆的对称性可引出许多重要定理,垂径定理是其中比较重要的一个,它将线段、角与圆
弧连接起来,解题的常用方法是构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形知识结合起
来.
类型 1 平分弦(不是直径)的直径
1.如图,AB 是☉O 的弦,OC 为半径,与 AB 交于点 D,且 AD=BD,已知 AB=6 cm,OD=4 cm,则 DC 的长
为 (D)
A.5 cm B.2.5 cm
C.2 cm D.1 cm
2.如图,在平面直角坐标系中,点 A(0,1),B(0,-1),以点 A 为圆心,AB 为半径作圆,交 x 轴于点
C,D,则 CD 的长是 2 3 .
3.如图,D 是☉O 的弦 BC 的中点,A 是BC上一点,OA 与 BC 交于点 E,已知 OA=8,BC=12.
(1)求线段 OD 的长;
(2)当 EO= 2BE 时,求△ODE 的面积.
解:(1)连接 OB.2
∵OD 过圆心,且 D 是弦 BC 的中点,
∴OD⊥BC,BD=1
2BC=6.
在 Rt△BOD 中,OD2+BD2=OB2,
∵OB=OA=8,BD=6,
∴OD= OB2 - BD2 = 82 - 62=2 7.
(2)在 Rt△EOD 中,OD2+DE2=OE2,
设 BE=x,则 OE= 2x,DE=6-x,
∴(2 7)2+(6-x)2=( 2x)2,
解得 x1=-16(不合题意,舍去),x2=4,∴DE=2,
∴S△ODE=1
2DE·OD=1
2×2×2 7=2 7.
类型 2 弦的垂直平分线
4.(南通中考)如图,AB 是☉O 的直径,C 是☉O 上的一点,若 BC=3,AB=5,OD⊥BC 于点 D,则 OD
的长为 2 .
5.(安顺中考)如图,AB 是☉O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E,若 AB=8,CD=6,求 BE 的长.
解:连接 OC.
∵弦 CD⊥AB 于点 E,CD=6,3
∴CE=ED=1
2CD=3,
∵在 Rt△OEC 中,∠OEC=90°,CE=3,OC=4,
∴OE= 42 - 32 = 7,
∴BE=OB-OE=4- 7.
6.如图,在☉O 中,弦 AB 的垂直平分线交☉O 于 C,D 两点,AB=8,弦 AC=5,求☉O 的直径.
解:∵CD 垂直平分 AB,∴CD 是☉O 的直径.
∵AB=8,∴AE=4.
在 Rt△ACE 中,AC=5,
∴CE= AC2 - AE2 = 52 - 42=3.
设 AO=r,
在 Rt△OAE 中,∵AO2=AE2+OE2,
∴r2=42+(r-3)2,解得 r=25
6 .
∴☉O 的直径为25
3 .
7.如图,已知 AB,CD 是☉O 的两条弦,且 AB 是线段 CD 的垂直平分线,AB=6,CD=2 5,求线段 AC
的长度.
解:∵AB 是☉O 的弦,且 AB 是 CD 的垂直平分线,
∴AB 是☉O 的直径.4
连接 OC,设 AB 与 CD 的交点为 E.
∵AB=6,CD=2 5,
∴OA=OC=3,CE= 5.
在 Rt△OCE 中,OE= OC2 - CE2 = 32 - ( 5)2=2,
∴AE=OA+OE=3+2=5.
在 Rt△ACE 中,AC= AE2 + CE2 = 52 + ( 5)2 = 30.
类型 3 平分弦所对的一条弧
8.如图,AB 是☉O 的直径,弦 CD⊥AB,垂足为 M,下列结论不一定成立的是 (C)
A.CM=DM B.AC = AD
C.AD=2BD D.∠BCD=∠BDC
9.如图,在☉O 中,C 是AB的中点,弦 AB 与半径 OC 相交于点 D,AB=12,CD=2,求☉O 的半径.
解:连接 AO.
∵C 是AB的中点,半径 OC 与 AB 相交于点 D,
∴OC⊥AB.
∵AB=12,
∴AD=BD=6.
设☉O 的半径为 r,
∵CD=2,5
∴DO=r-2.
在 Rt△AOD 中,由勾股定理可得 AO2=OD2+AD2,
即 r2=(r-2)2+62,解得 r=10,
∴☉O 的半径为 10.
10.如图,D 是AB的中点,E 是AC的中点,DE 分别交 AB,AC 于 M,N 两点.求证:AM=AN.
证明:连接 OD,OE,则 OD⊥AB,OE⊥AC.
又∵OD=OE,
∴∠D=∠E,
∴∠DMB=∠CNE,
∴∠AMN=∠ANM,
∴AM=AN.
类型 4 两条平行弦的有关计算
11.(孝感中考)已知☉O 的半径为 10 cm,AB,CD 是☉O 的两条弦,AB∥CD,AB=16 cm,CD=12 cm,
则弦 AB 和 CD 之间的距离是 2 或 14 cm.
12.如图,AB,CD 都是☉O 的弦,且 AB∥CD,求证:AC = BD.6
证明:作半径 OE⊥AB 交☉O 于点 E.
∵AB∥CD,
∴OE⊥CD,
∴AE = BE,CE = DE,
∴AE - CE = BE - DE,即AC = BD.
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