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2.3 确定二次函数的表达式
知识要点基础练
知识点 1 用一般式(三点式)确定二次函数表达式
1.图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点的二次函数的表达式是 (D)
A.y=2x2+x+2 B.y=x2+3x+2
C.y=x2-2x+3 D.y=x2-3x+2
2.已知二次函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 1,且经过点(2,5)和(-2,13),求这个二次函数
的表达式.
解:设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c,
把(0,1)代入,得 c=1,即 y=ax2+bx+1,将(2,5),(-2,13)分别代入,得{4a + 2b + 1 = 5,
4a - 2b + 1 = 13,解得
{a = 2,
b = -2,
所以二次函数的表达式为 y=2x2-2x+1.
3.抛物线 y=ax2+bx-3 经过点 A(2,-3),与 x 轴负半轴交于点 B,与 y 轴交于点 C,且 OC=3OB,求
抛物线的表达式.
解:由 y=ax2+bx-3 得 C(0,-3),∴OC=3,∵OC=3OB,∴OB=1,∴B(-1,0),把 A(2,-3),B(-1,0)代
入 y=ax2+bx-3,得{4a + 2b - 3 = -3,
a - b - 3 = 0, 解得{a = 1,
b = -2.
∴抛物线的表达式为 y=x2-2x-3.
知识点 2 用顶点式确定二次函数表达式
4.已知抛物线的顶点坐标是(2,1),且抛物线的图象经过点(3,0),则这条抛物线的表达式是
(D)
A.y=-x2-4x-3 B.y=-x2-4x+3
C.y=x2-4x-3 D.y=-x2+4x-3
5.请写出一个开口向上,对称轴为直线 x=2,且与 y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的表达式
y=x2-4x+3(答案不唯一) . 2
【变式拓展】二次函数图象过 A,B,C 三点,点 A 的坐标为(-1,0),点 B 的坐标为(4,0),点 C
在 y 轴正半轴上,且 AB=OC,则该二次函数的表达式为 y=-5
4x2+15
4 x+5 .
6.(赤峰中考)如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 D,点
B 的坐标为(3,0),顶点 C 的坐标为(1,4).
(1)求二次函数的表达式和直线 BD 的表达式;
(2)P 是直线 BD 上的一个动点,过点 P 作 x 轴的垂线,交抛物线于点 M,当点 P 在第一象限时,
求线段 PM 长度的最大值.
解:(1)∵抛物线的顶点 C 的坐标为(1,4),
∴可设抛物线的表达式为 y=a(x-1)2+4,
∵点 B(3,0)在该抛物线的图象上,
∴0=a(3-1)2+4,解得 a=-1,
∴抛物线的表达式为 y=-(x-1)2+4,即 y=-x2+2x+3.
由 y=-x2+2x+3 知,D 点的坐标为(0,3).
根据 B(3,0),D(0,3)可求得直线 BD 的表达式为 y=-x+3.
(2)设 P 点横坐标为 m(m>0),则 P(m,-m+3),M(m,-m2+2m+3),
∴PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-(m - 3
2)2
+ 9
4,
∴当 m=3
2时,PM 有最大值9
4.
知识点 3 用交点式确定二次函数表达式
7.抛物线与 x 轴交点的横坐标为-2 和 1,且过点(2,8),则它对应的二次函数表达式为 (D)
A.y=2x2-2x-4 B.y=-2x2+2x-43
C.y=x2+x-2 D.y=2x2+2x-4
8.抛物线与 x 轴的两个交点坐标为(-3,0)和(2,0),且它经过点(1,4),求出对应的二次函数的
表达式.
解:设 y=a(x+3)(x-2),
则-4a=4,解得 a=-1,
则 y=-(x+3)(x-2),即 y=-x2-x+6.
综合能力提升练
9.已知二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的表达式为 (B)
A.y=x2-2x+3
B.y=x2-2x-3
C.y=x2+2x-3
D.y=x2+2x+3
10.如图为抛物线 y=ax2+bx+c 的图象,A,B,C 为抛物线与坐标轴的交点,且 OA=OC=1,则下列关
系中正确的是 (B)
A.a+b=-1
B.a-b=-1
C.b-3 时,函数值 y 随 x 的增大而增大.
16.(毕节中考)如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于
A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,P 是直线 BC 下方抛物线上一动点.5
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)是否存在点 P,使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请
说明理由.
解:(1)设抛物线的表达式为 y=ax2+bx+c,
把 A,B,C 三点坐标代入,得{a - b + c = 0,
16a + 4b + c = 0,
c = -4,
解得{a = 1,
b = -3,
c = -4.
∴抛物线的表达式为 y=x2-3x-4.
(2)作 OC 的垂直平分线 DP,交 OC 于点 D,交 BC 下方抛物线于点 P,
∴PO=PC,此时 P 点即为满足条件的点,
∵C(0,-4),
∴D(0,-2),
∴P 点纵坐标为-2,
代入抛物线表达式,得 x2-3x-4=-2,解得 x=3 - 17
2 (小于 0,舍去)或 x=3 + 17
2 ,
∴存在满足条件的 P 点,其坐标为(3 + 17
2 , - 2).
拓展探究突破练
17.已知抛物线 y=-1
2x2+mx 过点(8,0).
(1)求 m 的值;
(2)如图,在抛物线内作矩形 ABCD,使点 C,D 落在抛物线上,点 A,B 落在 x 轴上,设矩形 ABCD
的周长为 L,求 L 的最大值.
解:(1)由条件可得-1
2×82+8m=0,解得 m=4.6
(2)∵m=4,∴抛物线的表达式为 y=-1
2x2+4x.
由于抛物线和矩形都是轴对称图形,所以点 A 与 B,点 C 与 D 都关于抛物线的对称轴 x=4 对称,
设 A(n,0),则 D(n, - 1
2n2 + 4n),B(8-n,0),则 AB=8-2n.
∴L=2( - 1
2n2 + 4n)+2(8-2n)
=-n2+4n+16
=-(n-2)2+20,
∴L 的最大值为 20.
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