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2.4 二次函数的应用
第 1 课时 用二次函数解决问题(1)
知识要点基础练
知识点 1 利用二次函数求图形面积的最值
1.已知一个直角三角形两直角边之和为 20 cm,则这个直角三角形的最大面积为 (B)
A.25 cm2 B.50 cm2
C.100 cm2 D.不确定
2.用长 8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框(如图),那么这个窗户的最大
透光面积是 (C)
A.64
25 m2 B.4
3 m2
C.8
3 m2 D.4 m2
【变式拓展】如图,某农场要盖一排 n 间长方形的羊圈,打算一面利用旧墙,其余各面用木材
围成栅栏,若计划用木材围成总长 400 m 的栅栏,设每间羊圈的一边长为 x(m),n 间羊圈的总
面积为 S(m2),则 S 关于 x 的函数表达式是 S=-(n+1)x2+400x ,当 x= 200
n + 1 时,S 最大.
知识点 2 建立适当坐标系解决问题
3.(铜仁中考)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标
系,其函数的关系式为 y=- 1
25x2,当水面离桥拱顶的高度 DO 是 4 m 时,这时水面宽度 AB 为 (C)2
A.-20 m B.10 m C.20 m D.-10 m
4.如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成,其拱状图形为抛物线的一部分,栅栏的跨径
AB 间,按相同间隔 0.2 米用 5 根立柱加固,拱高 OC 为 0.36 米,则立柱 EF 的长为 (C)
A.0.4 米 B.0.16 米
C.0.2 米 D.0.24 米
5.(绍兴中考)如图所示的一座拱桥,当水面宽 AB 为 12 m 时,桥洞顶部离水面 4 m.已知桥洞的
拱形是抛物线,以水平方向为 x 轴,建立平面直角坐标系,若选取点 A 为坐标原点时的抛物线
表达式是 y=-1
9(x-6)2+4,则选取点 B 为坐标原点时的抛物线表达式是 y=-1
9(x+6)2+4 .
6.在体育测试时,九年级的一名高个子男生推铅球,已知铅球所经过的路线是某二次函数图
象的一部分(如图),若这个男生出手处 A 点的坐标为(0,2),铅球路线的最高处 B 点的坐标为
(6,5).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)该男生把铅球推出去多远?(精确到 0.01 米)
解:(1)设二次函数的表达式为 y=a(x-6)2+5,
将 A(0,2)代入,得 2=a(0-6)2+5,解得 a=- 1
12.
所以二次函数的表达式为 y=- 1
12(x-6)2+5.3
(2)由- 1
12(x-6)2+5=0,得 x1=6+2 15,x2=6-2 15.
结合图象可知,C 点坐标为(6+2 15,0).
所以 OC=6+2 15≈13.75(米).
答:该男生把铅球推出去约 13.75 米.
综合能力提升练
7.如图,正方形 ABCD 的边长为 5,E 是 AB 上一点,F 是 AD 延长线上一点,且 BE=DF.四边形 AEGF
是矩形,则矩形 AEGF 的面积 y 与 BE 的长 x 之间的函数关系式为 (D)
A.y=5-x B.y=5-x2
C.y=25-x D.y=25-x2
8.(临沂中考)足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出,足球飞行的路线是一条抛
物线,不考虑空气阻力,足球距离地面的高度h(单位:m)与足球被踢出后经过的时间t(单位:s)
之间的关系如下表:
t012 3 4 5 6 7 …
h08
1
4
1
8
2
0
2
0
1
8
1
4
…
下列结论:①足球距离地面的最大高度为 20 m;②足球飞行路线的对称轴是直线 t=9
2;③足球
被踢出 9 s 时落地;④足球被踢出 1.5 s 时,距离地面的高度是 11 m.其中正确结论的个数是
(B)
A.1 B.2 C.3 D.44
9.在矩形 ABCD 的各边 AB,BC,CD 和 DA 上分别选取点 E,F,G,H,使得 AE=AH=CF=CG,如果
AB=6,BC=4,则四边形 EFGH 的最大面积为 25
2 .
10.羽毛球比赛中的某次运动路线可以看作是一条抛物线.若不考虑外力因素,羽毛球行进高
度 y(米)与水平距离 x(米)之间满足关系 y=-2
9x2+8
9x+10
9 ,则羽毛球飞出的水平距离为 5
米.
11.如图,正方形 ABCD 的顶点 A,B 与正方形 EFGH 的顶点 G,H 同在一段抛物线上,且抛物线的
顶点在 CD 上,若正方形 ABCD 的边长为 10,则正方形 EFGH 的边长为 5 5-5 .
12.(武汉中考)飞机着陆后滑行的距离 y(单位:m)关于滑行时间 t(单位:s)的函数表达式是
y=60t-3
2t2.在飞机着陆滑行中,最后 4 s 滑行的距离是 24 m.
13.如图,矩形 ABCD 的两边长 AB=18 cm,AD=4 cm,点 P,Q 分别从点 A,B 同时出发,点 P 在边 AB
上沿 AB 方向以每秒 2 cm 的速度匀速运动,点 Q 在边 BC 上沿 BC 方向以每秒 1 cm 的速度匀速
运动.设运动时间为 x 秒,△PBQ 的面积为 y(cm2).
(1)求 y 关于 x 的函数表达式,并写出 x 的取值范围;
(2)求△PBQ 的面积的最大值.
解:(1)∵S△PBQ=1
2PB·BQ,PB=AB-AP=18-2x,BQ=x,5
∴y=1
2x(18-2x),即 y=-x2+9x(0
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