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3.3 垂径定理
知识要点基础练
知识点 1 垂径定理及推论
1.下列命题中错误的有 (A)
①弦的垂直平分线经过圆心;②平分弦的直径垂直于弦;③平分弦的直径平分弦所对的两段弧.
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
2.在☉O 中,弦 AB 的长为 6,圆心 O 到 AB 的距离为 4,则☉O 的半径为 (C)
A.10 B.6 C.5 D.4
3.(泸州中考)如图,AB 是☉O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 E.若 AB=8,AE=1,则弦 CD 的长是 (B)
A. 7 B.2 7
C.6 D.8
【变式拓展】(安顺中考)已知☉O 的直径 CD=10 cm,AB 是☉O 的弦,AB⊥CD,垂足为 M,且 AB=8
cm,则 AC 的长为 (C)
A.2 5 cm B.4 5 cm
C.2 5 cm 或 4 5 cm D.2 3 cm 或 4 3 cm
知识点 2 垂径定理的应用
4.如图是一个圆弧形门拱,拱高 AB=1 m,跨度 CD=4 m,那么这个门拱的半径为
(B)2
A.2 m
B.2.5 m
C.3 m
D.5 m
5.一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径 OA=1 m,水面宽 AB=1.2 m,某天下雨后,水
管水面上升了 0.2 m,则此时排水管水面宽 CD 等于 1.6 m.
6.如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为 O,直径 AB 是河底线,弦 CD 是水位线,CD∥AB,
且 AB=26 m,OE⊥CD 于点 E.水位正常时测得 OE∶CD=5∶24.
(1)求 CD 的长;
(2)现汛期来临,水面要以每小时 4 m 的速度上升,则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满?
解:(1)∵直径 AB=26 m,∴OD=1
2AB=13 m,
∵OE⊥CD,∴DE=1
2CD,
∵OE∶CD=5∶24,∴OE∶DE=5∶12,
∴设 OE=5x,DE=12x,
∴在 Rt△ODE 中,(5x)2+(12x)2=132,解得 x=1,
∴CD=2DE=2×12×1=24 m.
(2)延长 OE 交☉O 于点 F,由(1)得 OE=1×5=5 m,
∴EF=OF-OE=13-5=8 m,
∵8
4=2(小时),∴经过 2 小时桥洞会刚刚被灌满.3
综合能力提升练
7.在半径为 13 的☉O 中,弦 AB∥CD,弦 AB 和 CD 的距离为 7,若 AB=24,则 CD 的长为 (D)
A.10
B.4 30
C.10 或 4 30
D.10 或 2 165
8.过☉O 内一点 M 的最长弦为 10 cm,最短弦长为 8 cm,则 OM 的长为 (C)
A.9 cm B.6 cm
C.3 cm D. 41 cm
9.(广州中考)如图,在☉O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB⊥CD,垂足为 E,连接 CO,AD,∠BAD=20°,
则下列说法中正确的是 (D)
A.AD=2OB
B.CE=EO
C.∠OCE=40°
D.∠BOC=2∠BAD4
10.(衢州中考)如图,AC 是☉O 的直径,弦 BD⊥AO 于点 E,连接 BC,过点 O 作 OF⊥BC 于点 F,若
BD=8 cm,AE=2 cm,则 OF 的长度是 (D)
A.3 cm B. 6 cm
C.2.5 cm D. 5 cm
11.如图,已知 AB 是☉O 的直径,弦 CD 交 AB 于点 E,∠CEA=30°,OE=4,DE=5 3.求弦 CD 及☉O
的半径长.
解:过点 O 作 OM⊥CD 于点 M,连接 OD.
∵∠CEA=30°,∴∠OEM=∠CEA=30°.
在 Rt△OEM 中,∵OE=4,
∴OM=OE·sin 30°=2,EM=OE·cos 30°=2 3.
∵DE=5 3,∴DM=DE-EM=3 3.
∵OM 过圆心,OM⊥CD,∴CD=2DM,∴CD=6 3.
∵OM=2,DM=3 3,
∴在 Rt△DOM 中,OD= OM2 + DM2 = 22 + (3 3)2 = 31,
∴弦 CD 的长为 6 3,☉O 的半径长为 31.5
12.如图,已知 AD 是☉O 的直径,AB,BC 是☉O 的弦,AD⊥BC,垂足是 E,BC=8,DE=2,求☉O 的半
径长和 sin ∠BAD 的值.
解:设☉O 的半径为 r,
∵直径 AD⊥BC,
∴BE=CE=1
2BC=1
2×8=4,∠AEB=90°,
在 Rt△OEB 中,由勾股定理得 OB2=OE2+BE2,
即 r2=42+(r-2)2,解得 r=5,∴AE=5+3=8,
∵在 Rt△AEB 中,由勾股定理得 AB= 82 + 42=4 5,
∴sin ∠BAD=BE
AB = 4
4 5 = 5
5 .
13.如图,AB 是半圆 O 的直径,AC 是弦,点 P 从点 B 开始沿 BA 边向点 A 以 1 cm/s 的速度移动,
若 AB 长为 10 cm,点 O 到 AC 的距离为 4 cm.
(1)求弦 AC 的长;
(2)问经过几秒后,△APC 是等腰三角形.
解:(1)过点 O 作 OD⊥AC 于点 D,易知 AO=5 cm,OD=4 cm,从而 AD=3 cm,AC=6 cm.
(2)经过14
5 s 后,AC=PC,△APC 是等腰三角形;
经过 4 s 后,AP=AC,△APC 是等腰三角形;
经过 5 s 后,AP=CP,△APC 是等腰三角形.
拓展探究突破练
14.(金华中考)如图 1 是小明制作的一副弓箭,A,D 分别是弓臂 BAC 与弓弦 BC 的中点,弓弦
BC=60 cm.沿 AD 方向拉弓的过程中,假设弓臂 BAC 始终保持圆弧形,弓弦不伸长.如图 2,当弓
箭从自然状态的点 D 拉到点 D1 时,有 AD1=30 cm,∠B1D1C1=120°.6
(1)图 2 中,求弓臂两端 B1,C1 的距离.
(2)如图 3,将弓箭继续拉到点 D2,使弓臂 B2AC2 为半圆,则 D1D2 的长为多少.
解:(1)如图,连接 B1C1,B1C1 与 AD1 相交于点 E,
∵D 是弓弦 BC 的中点,
∴AD1=B1D1=C1D1=30 cm,
由三点确定一个圆可知,D1 是弓臂 B1AC1 的圆心,
∵A 是弓臂 B1AC1 的中点,
∴∠B1D1D=1
2∠B1D1C1=60°,B1E=C1E,AD1⊥B1C1,
在 Rt△B1D1E 中,B1E=B1D1×cos∠D1B1E=30× 3
2 =15 3 cm,
则 B1C1=2B1E=30 3 cm.
(2)连接 B2C2,B2C2 与 AD1 相交于点 E1,
∵将弓箭继续拉到点 D2,使弓臂 B2AC2 为半圆,
∴E1 是弓臂 B2AC2 的圆心,
∵弓臂 B2AC2 长不变,7
∴120π × 30
180 = 180π × B2E1
180 ,解得 B2E1=20 cm,
在 Rt△B2D2E1 中,由勾股定理可得 D2E1= B2D22 - B2E21 = 302 - 202=10 5 cm,
则 AD2=AE1+D2E1=(20+10 5) cm,
即 D1D2=AD2-AD1=20+10 5-30=(10 5-10) cm.
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