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3.7 切线长定理
知识要点基础练
知识点 1 切线长的概念
1.下列说法正确的有 (C)
①切线就是切线长;②切线是可以度量的;③切线长是可以度量的;④切线与切线长是不同的
量,切线是直线,而切线长是线段的长度.
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
2.如图,直线 PA 过半圆的圆心 O,交半圆于 A,B 两点,PC 切半圆于点 C,已知 PC=3,PB=1,则该
半圆的半径为 4 .
知识点 2 切线长定理
3.一个钢管放在 V 形架内,如图是其截面图,O 为钢管的圆心.如果钢管的半径为 25 cm,∠
MPN=60°,则 OP= (A)
A.50 cm B.25 3 cm
C.50 3
3 cm D.50 3 cm
4.如图,若☉O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30°,切线 CD 与 AB 的延长线交于点 D,且☉O 的半
径为 2,则 CD 的长为 (A)2
A.2 3 B.4 3 C.2 D.4
5.如图,直尺、三角板和☉O 相切,AB=8 cm.求☉O 的直径.
解:设☉O 与三角板相切于点 E,连接 OE,OA,OB.
∵AC,AB 都是☉O 的切线,切点分别是 E,B,
∴∠OBA=∠OEA=90°,OE=OB.
又∵OA=OA,∴Rt△OAE≌Rt△OAB(HL),
∴∠OAE=∠OAB=1
2∠BAC.
∵∠CAD=60°,∴∠BAC=120°,
∴∠OAB=1
2×120°=60°,
∴OB=AB· 3=8 3(cm),
∴☉O 的直径是 16 3 cm.
6.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,O 是 AB 上的一点,以 O 为圆心,OB 为半径的圆与 AB 交于点
E,与 AC 切于点 D,连接 DB,DE,OC.若 AD=2,AE=1,求 CD 的长.
解:连接 OD.∵∠ABC=90°,OB 是半径,∴CB 切☉O 于点 B.
∵AC 切☉O 于点 D,∴CB=CD.
又∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.
∵BE 为☉O 的直径,∴∠BDE=∠ODA=90°,3
∴∠ODB=∠ADE,∴∠ADE=∠ABD,
∴△ADE∽△ABD,可得 AD2=AE·AB.
又∵AD=2,AE=1,∴AB=4.
设 CD=CB=x,
在 Rt△ABC 中,有(x+2)2=x2+42,解得 x=3,
∴CD=3.
综合能力提升练
7.已知☉O 的半径是 4,P 是☉O 外的一点,且 PO=8,从点 P 引☉O 的两条切线,切点分别是
A,B,则 AB= (C)
A.4 B.4 2 C.4 3 D.2 3
8.(重庆中考)如图,已知AB 是☉O 的直径,点 P 在 BA 的延长线上,PD 与☉O 相切于点 D,过点 B
作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C.若☉O 的半径为 4,BC=6,则 PA 的长为 (A)
A.4 B.2 3 C.3 D.2.5
9.已知 PA,PB 是☉O 的两条切线,A,B 为切点,直线 OP 交☉O 于点 C,D,交 AB 于点 E,AF 为☉O
的直径,下列结论:①∠ABP=∠AOP;②BC = DF;③PC·PD=PE·PO.其中正确的结论有 (A)
A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个
10.如图,AB 与☉O 相切于点 B,线段 OA 与弦 BC 垂直于点 D,∠AOB=60°,BC=4 cm,则切线 AB=
4 cm.
11.如图,从☉O 外一点 P 引☉O 的两条切线 PA,PB,切点分别是 A,B,若 PA=8 cm,C4
是AB上的一个动点(点 C 与 A,B 两点不重合),过点 C 作☉O 的切线,分别交 PA,PB 于点 D,E,则
△PED 的周长是 16 cm .
【变式拓展】如图,半圆 O 与等
腰直角三角形两腰 CA,CB 分别切于 D,E 两点,直径 FG 在 AB 上,若 BG= 2-1,则△ABC 的周长
为 (A)
A.4+2 2 B.6
C.2+2 2 D.4
12.如图,EB,EC 是☉O 的两条切线,B,C 是切点,A,D 是☉O 上的两点.若∠E=46°,∠DCF=32°,
则∠A 的度数是 99° .
13.如图,已知在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 是∠BAC 的角平分线.
(1)以 AB 上的一点 O 为圆心,AD 为弦在图中作出☉O;(不写作法,保留作图痕迹)
(2)试判断直线 BC 与☉O 的位置关系,并证明你的结论.5
解:(1)☉O 如图所示.
(2)相切.
理由:连接 OD.∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA.
∵AD 是∠BAC 的角平分线,∴∠OAD=∠DAC,
∴∠ODA=∠DAC,∴OD∥AC.
∵AC⊥BC,∴OD⊥BC,即 BC 是☉O 的切线.
14.如图,AB 是半圆 O 的直径,C 是半圆 O 上一点,CD⊥AB 于点 D,从 C,B 两点分别作半圆 O 的
切线,它们相交于点 E,连接 AE 交 CD 于点 P.求证:PD∶CE=AD∶AB.
证明:∵CD⊥AB,∴∠PDA=90°.
∵EB 为半圆 O 的切线,AB 是半圆 O 的直径,
∴EB⊥AB,即∠EBA=90°,
又∵∠PAD=∠EAB,∴△APD∽△AEB,
∴PD∶BE=AD∶AB,
∵EC,EB 都是半圆 O 的切线,∴CE=BE,
∴PD∶CE=AD∶AB.6
15.(凉山州中考)如图,已知AB 为☉O 的直径,AD,BD 是☉O 的弦,BC 是☉O 的切线,切点为 B,OC
∥AD,BA,CD 的延长线相交于点 E.
(1)求证:DC 是☉O 的切线;
(2)若 AE=1,ED=3,求☉O 的半径.
解:(1)连接 DO.
∵AD∥OC,∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD.
又∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,
∴∠COD=∠COB.
在△COD 和△COB 中,∵OD=OB,∠COD=∠COB,OC=OC,
∴△COD≌△COB,∴∠CDO=∠CBO.
∵BC 是☉O 的切线,∴∠CBO=90°,
∴∠CDO=90°,
又∵点 D 在☉O 上,∴DC 是☉O 的切线.
(2)设☉O 的半径为 R,则 OD=R,OE=R+1,
∵CD 是☉O 的切线,∴∠EDO=90°,
∴ED2+OD2=OE2,
∴32+R2=(R+1)2,解得 R=4,
∴☉O 的半径为 4.
拓展探究突破练
16.如图,在正方形 ABCD 中,以 BC 为直径在正方形 ABCD 内作半圆 O,AE 切半圆于点 F 交 CD 于
点 E.
(1)求证:AO⊥EO;7
(2)连接 DF,求 tan∠FDE 的值.
解:(1)∵∠ABC=∠DCB=90°,
∴AB,CD 均为半圆的切线,
连接 OF,∵AE 切半圆于点 F,
∴∠BAO=∠FAO,∠CEO=∠FEO.
∵∠BAE+∠CEA=180°,
∴∠OAF+∠OEF=90°,
∴∠AOE=90°,∴AO⊥EO.
(2)设 OB=OC=2,则 AB=4.
易证 Rt△AOB∽Rt△OEC,
∴CE=EF=1,DE=3,AE=AF+EF=AB+EF=5.
过点 F 作 FG⊥DE 于点 G,则 FG∥AD.
∴EF
EA = FG
AD = EG
ED,即1
5 = FG
4 = EG
3 ,
∴FG=4
5,EG=3
5,DG=12
5 ,
∴tan∠FDE=1
3.
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