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直角三角形的边角关系
章末小结与提升
直角三角形的边角关系
{锐角三角函数{定义{sinA = ∠A的对边
斜边 = a
c
cosA = ∠A的邻边
斜边 = b
c
tanA = ∠A的对边
∠A的邻边 = a
b
锐角三角函数间关系{sinA = cosB,tanA·tanB = 1
sin2A + cos2A = 1,tanA = sinA
cosA
特殊角的三角函数值{sin30° = 1
2 ,sin45° = 2
2 ,sin60° = 3
2
cos30° = 3
2 ,cos45° = 2
2 ,cos60° = 1
2
tan30° = 3
3 ,tan 45° = 1,tan60° = 3
解直角三角形{解直角三角形{定义:由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程
常用关系式{三边之间的关系a2 + b2 = c2
两锐角间的关系∠A + ∠B = 90°
边角之间的关系(锐角三角函数)
应用举例{基本概念{仰角、俯角
坡度、坡角
方位角
应用直角三角形解决实际问题的步骤{审题
建模
解题
答题
类型 1 锐角三角函数
典例 1 如图,方格中的每个小正方形的边长均为 1,已知△ABC 的三个顶点均在小正
方形的顶点上,则 sin B 的值为 ()
A. 3
3 B.2 3
3
C.2 5
3 D. 5
52
【解析】如图,连接 CD,由勾股定理得 CD= 2,BC= 10,BD=2 2,则 CD2+BD2=BC2,∴∠
CDB=90°,∴sinB=CD
BC = 2
10 = 5
5 .
【答案】 D
【针对训练】
1.如图,由 6 个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网络,小矩形的顶点称为这个矩形网络
的格点,已知小矩形较短边长为 1,点 A,B,C,D 都在格点上,则 sin ∠BAD 的值为 (A)
A. 5
5 B.1
2 C.2 5
5 D.2
2.如图,Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,设∠ABC=α,则下列结论错误的是 (D)
A.BC= AC
sinα B.CD=ADtanα
C.BD=ABcosα D.AC=ADcosα
3.(舟山中考)如图,把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排,求得 tan ∠BA1C=1,tan ∠
BA2C=1
3,tan ∠BA3C=1
7,计算 tan ∠BA4C= 1
13 ,…按此规律,写出 tan ∠
BAnC= 1
n2 - n + 1 .(用含 n 的代数式表示)
类型 2 特殊角的三角函数值
典例 2 已知 α,β 均为锐角,且满足|sinα - 1
2| + (tanβ - 1)2=0,则
α+β= . 3
【解析】∵|sinα - 1
2| + (tanβ - 1)2=0,∴sinα=1
2,tanβ=1,∴α=30°,β=45°,∴
α+β=30°+45°=75°.
【答案】 75°
【针对训练】
1.在△ABC 中,三边之比为 BC∶AC∶AB=1∶ 3∶2,则 sin A+tanA 等于 (A)
A.3 + 2 3
6 B.1
2 + 3 C.3 3
2 D. 3 + 1
2
2.在△ABC 中,∠A,∠B 为锐角,且有|tan B- 3|+(2sin A- 3)2=0,则△ABC 的形状是 等边
三角形 .
3.计算:2tan45° - sin230°
2 3tan60° - sin260° - 2sin60° + 1.
解:原式=
2 × 1 - (1
2)2
2 3 × 3 - ( 3
2 - 1)2
=
2 - 1
4
6 - (1 - 3
2 )
= 7
24-1+ 3
2
= 3
2 - 17
24.
类型 3 解直角三角形
1.在△ABC 中,已知∠C=90°,BC=4,sin A=2
3,那么 AC 边的长是 (B)
A.6 B.2 5
C.3 5 D.2 13
2.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,sin A=4
5,BC=8,D 是 AB 的中点,过点 B 作直线 CD 的垂线,垂
足为 E.
(1)求线段 CD 的长;
(2)求 cos∠ABE 的值.
解:(1)在△ABC 中,∵∠ACB=90°,
∴sin A=BC
AB = 4
5,
又∵BC=8,∴AB=10,
∵D 是 AB 的中点,∴CD=1
2AB=5.4
(2)在 Rt△ABC 中,∵AB=10,BC=8,
∴AC= AB2 - BC2=6,
∵D 是 AB 的中点,
∴BD=5,S△BDC=1
2S△ABC,即1
2CD·BE=1
2·1
2AC·BC,∴BE=24
5 ,
在 Rt△BDE 中,cos∠DBE=BE
BD = 24
25.
3.如图所示,把一张长方形卡片 ABCD 放在每格宽度为 12 mm 的横格纸中,恰好四个顶点都在
横格线上,已知∠α=36°,求长方形卡片的周长.(结果精确到 1 mm,参考数据:sin
36°≈0.60,cos 36°≈0.80,tan 36°≈0.75)
解:作 BE⊥l 于点 E,DF⊥l 于点 F.
∵α+∠DAF=180°-∠BAD=90°,∠ADF+∠DAF=90°,
∴∠ADF=α=36°.
根据题意得 BE=24 mm,DF=48 mm.
在 Rt△ABE 中,sin α=BE
AB,
∴AB= BE
sin36°≈40 mm.
在 Rt△ADF 中,cos∠ADF=DF
AD,
∴AD= DF
cos36°≈60 mm.
∴长方形卡片的周长为 2×(40+60)=200 mm.
类型 4 解直角三角形的应用
典例 3 (烟台中考)某中学广场上有旗杆如图 1 所示,在学习解直角三角形以后,数
学兴趣小组测量了旗杆的高度.如图 2,某一时刻,旗杆 AB 的影子一部分落在平台上,另一部
分落在斜坡上,测得落在平台上的影长 BC 为 4 米,落在斜坡上的影长 CD 为 3 米,AB⊥BC,同一
时刻,光线与水平面的夹角为 72°,1 米的竖立标杆 PQ 在斜坡上的影长 QR 为 2 米,求旗杆的
高度.(结果精确到 0.1 米,参考数据:sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan 72°≈3.08)
【解析】如图,作 CM∥AB 交 AD 于点 M,MN⊥AB 交 AB 于点 N.5
由题意得CM
CD = PQ
QR,即CM
3 = 1
2,解得 CM=3
2,
在 Rt△AMN 中,∵∠ANM=90°,MN=BC=4,∠AMN=72°,
∴tan72°=AN
MN,∴AN≈12.3,
∵MN∥BC,AB∥CM,∴四边形 MNBC 是平行四边形,
∴BN=CM=3
2,∴AB=AN+BN=13.8 米.
【针对训练】
1.如图,大海中某岛 C 的周围 25 km 范围内有暗礁.一艘海轮沿正东方向航行,在 A 处望见 C
在北偏东 60°处,前进 20 km 后到达点 B,测得 C 在北偏东 45°处.如果该海轮继续沿正东方
向航行,有无触礁危险?请说明理由.(参考数据: 2≈1.41, 3≈1.73)
解:没有触礁危险.
理由:过点 C 作 CD⊥AB,交 AB 的延长线于点 D.
由题意可知∠ACD=60°,∠BCD=45°,设 CD=x.
在 Rt△ACD 中,∵tan∠ACD=AD
CD,∴AD= 3x.
在 Rt△BCD 中,∵tan∠BCD=BD
CD,∴BD=x.
∵AD-BD=AB,∴ 3x-x=20,
∴x= 20
3 - 1≈27.4 km.
∵27.4>25,∴该海轮继续沿正东方向航行,没有触礁危险.
2.(安徽中考)为了测量竖直旗杆 AB 的高度,某综合实践小组在地面 D 处竖直放置标杆 CD,并
在地面上水平放置一个平面镜 E,使得点 B,E,D 在同一水平线上,如图所示,该小组在标杆的
F 处测得旗杆顶 A 的仰角为 39.3°,平面镜 E 的俯角为 45°,FD=1.8 米,问旗杆 AB 的高度约
为多少米?(结果保留整数,参考数据:tan 39.3°≈0.82,tan 84.3°≈10.02)6
解:方法一:由题意知∠AEB=∠FED=45°,
∴∠AEF=90°.
在 Rt△AEF 中,tan∠AFE=AE
FE,
∴AE
FE=tan 84.3°≈10.02,
在△ABE 和△FDE 中,∠ABE=∠FDE=90°,∠AEB=∠FED.
∴△ABE∽△FDE,∴AB
FD = AE
FE,则AB
FD=10.02,
∴AB=10.02×FD=18.036≈18(米).
答:旗杆 AB 的高度约为 18 米.
方法二:作 FG⊥AB 于点 G,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8,
由题意知△ABE 和△FDE 均为等腰直角三角形,
∴AB=BE,DE=FD=1.8,
∴FG=DB=DE+BE=AB+1.8.
在 Rt△AFG 中,tan∠AFG=AG
FG,即AG
FG=tan 39.3°,
∴AB - 1.8
AB + 1.8≈0.82,
解得 AB=18.2≈18 米.
答:旗杆 AB 的高度约为 18 米.
3.如图,直线 l 与 t 轴垂直,垂足为 D,它与从原点出发的三条射线分别交于点 A,B,C.射线
OA,OB,OC 分别表示正常行走的人,站在自动扶梯上不走的人,在自动扶梯上同时正常行走的
人所移动的路程 s(m)与时间 t(min)的函数关系,在这些关系中,正常行走的人的速度相同,
自动扶梯的速度也相同.
(1)猜想线段 AD,BD,CD 之间满足的数量关系,并说明理由;
(2)已知∠COD=60°,∠BOD=45°,正常行走的人的速度是自动扶梯的速度的多少倍?
解:(1)CD-BD=AD.
理由:在时间相同的情况下,AD=tv 人,BD=tv 自动扶梯,CD=tv 人+自动扶梯.7
CD-BD=tv 人+自动扶梯-tv 自动扶梯=t(v 人+自动扶梯-v 自动扶梯)=tv 人=AD.
(2)在 Rt△COD 中,tan∠COD=CD
OD,∴CD= 3OD.
在 Rt△BOD 中,tan∠BOD=BD
OD,∴BD=OD,
∴AD=CD-BD=( 3-1)OD,
∴ v人
v自动扶梯
= AD
OD ÷ BD
OD = ( 3 - 1)OD
OD ·OD
BD = 3-1,
即正常行走的人的速度是自动扶梯的速度的( 3-1)倍.
4.美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过,沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一.数
学课外实践活动中,小林在南滨河路上的 A,B 两点处,利用测角仪分别对北岸的一个观景亭
D 进行了测量.如图,测得∠DAC=45°,∠DBC=65°.若 AB=132 米,求观景亭 D 到南滨河路 AC
的距离约为多少米?(结果精确到 1 米,参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan
65°≈2.14)
解:过点 D 作 DE⊥AC,垂足为 E,设 BE=x.
在 Rt△DEB 中,tan ∠DBE=DE
BE,
∵∠DBC=65°,∴DE=xtan 65°.
又∵∠DAC=45°,∴AE=DE,
∴132+x=xtan 65°,解得 x≈115.8,∴DE≈248 米.
答:观景亭 D 到南滨河路 AC 的距离约为 248 米.
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