1
1.4 解直角三角形
知识要点基础练
知识点 1 已知两边解直角三角形
1.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D 为垂足.若 AC=4,BC=3,则 sin∠ACD 的值为 (C)
A.4
3 B.3
4 C.4
5 D.3
5
2.如图,在四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,若 EF=2,BC=5,CD=3,则 tan C 等于 (B)
A.3
4 B.4
3 C.3
5 D.4
5
知识点 2 利用已知条件解直角三角形
3.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,sin A=2
5,D 为 AC 上一点,∠BDC=45°,DC=6,求 AB 的长.
解:在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠BDC=45°,
∴BC=DC=6.
在 Rt△ABC 中,∠C=90°,sin A=BC
AB = 2
5,
∴AB=6 × 5
2 =15.
4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为边AC的中点,DE⊥BC于点E,连接BD,求 tan∠DBC
的值.2
解:∵在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=45°,BC= 2AC.
又∵D 为边 AC 的中点,∴AD=DC=1
2AC.
∵DE⊥BC 于点 E,∴∠CDE=∠C=45°,
∴DE=EC= 2
2 DC= 2
4 AC,
∴tan∠DBC=DE
BE =
2
4 AC
2AC - 2
4 AC
= 1
3.
知识点 3 求解斜三角形
5.(连云港中考)如图,在△ABC 中,∠C=150°,AC=4,tan B=1
8.求 BC 的长.
解:过点 A 作 AD⊥BC,交 BC 的延长线于点 D,
在 Rt△ADC 中,AC=4,∠ACD=30°,
∴AD=1
2AC=2,CD=AC·cos 30°=4× 3
2 =2 3.
在 Rt△ABD 中,tan B=AD
BD = 2
BD = 1
8,
∴BD=16,∴BC=BD-CD=16-2 3.
6.如图,△ABC 中,∠B=45°,∠C=75°,BC=60,解这个三角形.3
解:过点 C 作 CD⊥AB 于点 D.易得∠A=60°.
在 Rt△BCD 中,∠B=45°,
∴BD=CD=BC·sin 45°=30 2.
在 Rt△ACD 中,∠A=60°.
AD= CD
tan60°=10 6,
∴AB=BD+AD=30 2+10 6,AC=2AD=20 6.
综合能力提升练
7.如图,A 为∠α 边上的任意一点,作 AC⊥BC 于点 C,CD⊥AB 于点 D,下列用线段比表示 cos
α 的值,错误的是 (C)
A.BD
BC B.BC
AB
C.AD
AC D.CD
AC
8.在△ABC 中,∠C=90°,∠A=72°,AB=10,则边 AC 的长约为(精确到 0.1) (C)
A.9.1 B.9.5 C.3.1 D.3.5
9.已知在△ABC 中,AD 是高,AD=2,BD=2,CD=2 3,则∠BAC 的度数为 (C)
A.105° B.15°
C.15°或 105° D.60°
10.如图,在△ABC 中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2 3,则 AB 的长为 3+ 3 . 4
11.如图,在 Rt△ABC 中,AC=12,斜边 AB=13,延长 AB 到点 D,使 BD=AB,连接 CD,则 tan ∠
BCD= 6
5 .
12.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,sin B=3
5,点 D 在 BC 边上,DC=AC=6.
(1)求 AB 的值;
(2)求 tan∠BAD 的值.
解:(1)在 Rt△ABC 中,sin B=AC
AB = 3
5,AC=6,
∴AB=10.
(2)过点 B 作 BE⊥AD 交 AD 的延长线于点 E.
∵∠C=90°,AC=6,AB=10,
∴BC= AB2 - AC2=8.
又∵CD=6,∴BD=BC-CD=2.
∵∠C=90°,DC=AC=6,
∴∠ADC=45°,AD=6 2.
∴∠BDE=∠ADC=45°.
又∵BD=2,BE⊥AD,即∠E=90°,
∴BE=DE=BD·cos 45°= 2,5
∴AE=AD+DE=7 2,
∴tan∠BAD=BE
AE = 2
7 2 = 1
7.
13.如图 1 所示,将直尺摆放在三角板上,使直尺与三角板的边分别交于点 D,E,F,G,已知∠
CGD=42°.
(1)求∠CEF 的度数;
(2)将直尺向下平移,使直尺的边缘通过三角板的顶点 B,交 AC 边于点 H,如图 2 所示,点 H,B
在直尺上的读数分别为 4,13.4,求 BC 的长.
(结果保留两位小数,参考数据:sin 42°≈0.67,cos 42°≈0.74,tan 42°≈0.90)
解:(1)∵∠CGD=42°,∠C=90°,∴∠CDG=48°,
∵DG∥EF,∴∠CEF=∠CDG=48°.
(2)∵点 H,B 的读数分别为 4,13.4,
∴HB=13.4-4=9.4,∴BC=HBcos 42°≈6.96.
拓展探究突破练
14.如图,在△ABC中,∠A=30°,E为AC上一点,且AE∶EC=3∶1,EF⊥AB于点F,连接FC,求 tan
∠CFB 的值.6
解:过点 C 作 CD∥EF 交 AB 于点 D,
∴AF
FD = AE
EC=3,∴DF=1
3AF.
由EF
CD = AE
AC = 3
4可得 CD=4
3EF,
设 EF=x,由 EF⊥AF 可知△AEF 是直角三角形,且∠A=30°,
∴AE=2x,AF= 3x,
∴CD=4
3x,DF= 3
3 x.
∵CD∥EF,EF⊥AB,
∴CD⊥AB,△CFD 是直角三角形.
在 Rt△CFD 中,tan∠CFB=CD
DF =
4
3x
3
3 x
= 4 3
3 .
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