第四章 图形的相似
1 成比例线段
第2课时 比例的性质
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
置疑导入 如图4－1－15①所示，这两个正六边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？如图②，这两个正八边形边长的比和周长的比各是多少？你是怎么想的？
图4－1－15
[说明与建议] 说明：思维往往从人的动作、活动参与开始的，而动手操作及量一量活动，则最易激发学生的想象、思维和发现．在量一量中增强自己的感性认识与经验，进而上升到理性观察、思考与推理论证．建议：在学生操作时，教师要引导学生进行思考、分析，为进一步学习积累数学活动经验做好铺垫．
复习导入 你还记得八年级上册中“变化的鱼”吗？如果将点的横坐标和纵坐标都乘(或除以)同一个非零数，那么用线段连接这些点所围成的图形的边长如何变化？
图4－1－16①中的鱼是将坐标为(0，0)，(5，4)，(3，0)，(5，1)，(5，－1)，(3，0)，(4，－2)，(0，0)的点O，A，B，C，D，B，E，O用线段依次连接而成的；图②中的鱼是将图①中鱼上每个点的横坐标、纵坐标都乘2得到的．
图4－1－16
(1)线段CD与HL，OA与OF，BE与GM的长度分别是多少？
(2)线段CD与HL的比，OA与OF的比，BE与GM的比分别是多少？它们相等吗？
(3)你还能找到其他比相等的线段吗？
[说明与建议] 说明：利用前面学习过的知识——“变化的鱼”来引导学生找到两个图形间的共同之处．借助图形的直观性来调动学生的学习兴趣，
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并通过三个问题引出新课．建议：可以让学生认真观察，先独立思考，后小组交流，为本节课的学习做好铺垫．
素材二 教材母题挖掘
教材母题——第80页例2
在△ABC与△DEF中，已知＝＝＝，且△ABC的周长为18 cm，求△DEF的周长．
【模型建立】
根据比例中的等比性质，知各个比例式的分子之和与分母之和的比等于其中任意一个比例式．一定要注意它的前提条件：各分母之和不等于0.
【变式变形】
1．已知＝＝＝2(2a－3b＋c≠0)，求的值．[答案：2]
2．如图4－1－17，已知每个小方格的边长均为1，求线段AB，DE，BC，DC，AC，EC的长，并计算△ABC与△EDC的周长比．
图4－1－17
[答案：AB＝2，DE＝，BC＝2，DC＝，AC＝2，EC＝，△ABC与△EDC的周长比为2∶1]
素材三 考情考向分析
[命题角度1] 利用比例的性质求代数式的值
比例的性质包含基本性质、等比性质和合比性质．在遇到相关问题时，要注意考虑选择适当的方法．
例 [凉山中考] 已知＝，则的值是(D)
A. B. C. D.
[命题角度2] 比例中的双解问题
比例线段是相似三角形的基础，是沟通代数与几何计算的桥梁，但在具体处理有关比例线段的问题时，因缺乏慎重考虑，时常出现各种各样的错误，特别是在运用等比性质时忽略分母之和不等于0的前提条件．
例 若＝＝＝k，求k的值．[答案：或－1]
素材四 教材习题答案
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P80随堂练习
已知＝＝(b＋d≠0)，求的值．
解：＝.
P81习题4.2
1．已知＝＝＝(b＋d＋f≠0)，求的值．
解：＝.
2．如图，已知每个小方格的边长均为1，求AB，DE，BC，DC，AC，EC的长，并计算△ABC与△EDC的周长比．
解：AB＝2，DE＝，BC＝2，DC＝，AC＝2，EC＝，l△ABC∶l△EDC＝2∶1.
3．如果＝，那么＝，＝.你认为这个结论正确吗？为什么？
解：正确．
理由：∵＝，∴＋1＝＋1，－1＝－1，即＝，＝.
素材五 图书增值练习
专题 综合运用比例性质
1. 若＝＝，且2a－b＋3c＝21，求4a－3b＋c的值．
2．如图，已知＝＝，求证：＝．
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【知识要点】
1．成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，我们就把这四条线段叫做成比例线段．
2．比例的基本性质
(1)如果＝，那么ad＝bc，
(2)如果＝，那么b2＝ac，
(3)如果＝，那么＝.
【温馨提示】
四条线段的长度单位不统一时，要化成统一的长度单位后，再计算判断是否成比例，防止出错．
【方法技巧】
1．比例式是等式，故可利用等式性质将比例式变形．
2．遇到比例式时，可设辅助未知数k，即设这些比的比值为k，这种借助另一个未知数的解题方法叫辅助未知数法．
3．利用比例的基本性质可求长度，通常是“知三求一”，有时也可以设适当未知数列方程求解．
参考答案：
1．解：设＝＝＝k，则a＋2＝3k，b＝4k，c＋5＝6k，
即a＝3k－2，b＝4k，c＝6k－5．
∵2a－b＋3c＝21，∴2（3k－2）－4k＋3（6k－5）＝21，
∴k＝2．∴a＝4，b＝8，c＝7．
∴4a－3b＋c＝4×4－3×8＋7＝－1．
2．证明：∵＝＝，∴ ＝，
即＝，∴＝，
即＝．
素材六 数学素养提升
比例线段错解诊所
在学习比例线段时，时常出现各种各样的错误，为了方便同学们学习，现就常见的错解问题举例说明.
一、对比的概念认识模糊
例1 因为＝，所以a＝4，b＝3，你认为这种说法正确吗？为什么？
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错解 正确.因为a＝4，b＝3，所以＝，反过来则有＝，即a＝4，b＝3.
剖析 ＝仅表示a、b在同一长度单位下的比值，并不表示a＝4，b＝3.
正解 这种说法是错误的.因为＝仅表示a、b在同一长度单位下的比值，它表示a＝4k，b＝3k(k＞0)，所以这种说法是错误的.
二、对线段比的单位认识不足
例2 有两条线段，它们的长度之比为a∶b＝5∶3，则a＝5cm，b＝3cm，你认为这种说法正确吗？为什么？
错解 正确.因为a＝5cm，b＝3cm，所以它们的长度之比为a∶b＝5∶3，即这种说法是正确的.
剖析 比值是没有单位的，它与采用共同单位无关.
正解 这种说法是错误的.因为a∶b＝5∶3仅表示a、b的比值，它表示a＝5k，b＝4k(k＞0)，所以这种说法是错误的.
三、忽视单位的统一
例3 A、B两地的实际距离AB＝250m，画在纸上的距离A′B′＝5cm，求纸上距离与实际距离的比.
错解 纸上距离与实际距离的比是A′B′∶AB＝5∶250＝1∶50.
剖析 求两条线段的比，就是求出这两条线段用统一单位量得的线段长度之比，这里要注意有三点：①两条线段的比与采用的长度单位无关，因此一般线段的长度单位可不写；②如果给出的线段长度单位不同，则必须化为同一长度单位后再求线段的比；③两线段的比值总是正数，如在运算中出现负数，必须舍去，结果一般化为最简整数比.由此我们可以发现本题的错解是没有将单位化同一.
正解 因为AB＝250m＝25000 cm，所以纸上距离与实际距离的比是A′B′∶AB＝5∶25000＝1∶5000.
四、错误认为两个分式相等就有分子与分母分别相等
例4 若＝，求的值.
错解 因为＝，所以解得所以＝.
剖析 这里错把两个分数相等，则它们的分子、分母分别相等，而事实上如＝，分子上的2与1、分母上的4与2都是不相等的，虽然结果是正确的，但是过程是错误的.
正解 设＝＝k(k≠0)，所以y＝(y－x)k，即xk＝yk－y＝y(k－1)，所以＝＝＝.
五、忽视使用性质的条件
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例5 若＝＝＝k.求k的值.
错解 因为＝＝＝k，所以由等比性质，得＝k，即k＝.
剖析 运用等比性质的条件是分母之和不等于0，而这里并没有说明a+b+c≠0，所以应分情况讨论.
正解 当a+b+c≠0时，由等比性质，得＝k，即k＝；当a+b+c＝0时，则有a+b＝－c，或a+c＝－b，或b+c＝－a，无论哪一种情况都有k＝－1，所以k的值为或－1.
六、错误地运用设k法解题
例6 已知x∶y∶z＝3∶5∶6，且2x－y+3z＝38，求3x+y－2z的值.
错解 设x∶y∶z＝3∶5∶6＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k，又2x－y+3z＝38，所以6k－5k+18k＝38，即k＝2，所以3x+y－2z＝9k+5k－12k＝2k＝4.
剖析 本题不能用“设x∶y∶z＝3∶5∶6＝k”的方法求解，因为“3∶5∶6＝k”这个式子是错误的，所以虽然结果正确，但开始的设法就是错误的.
正解 因为x∶y∶z＝3∶5∶6，所以可设＝＝＝k，则x＝3k，y＝5k，z＝6k，又2x－y+3z＝38，所以6k－5k+18k＝38，即k＝2，所以3x+y－2z＝9k+5k－12k＝2k＝4.
七、忽视成线段成比例的顺序性
例7 已知线段a＝3 cm，b＝5 cm，c＝7 cm.试求a、b、c的第四比例项x.
错解 因为a、b、c的第四比例项是x，所以有x∶a＝b∶c，即x＝，又a＝3 cm，b＝5 cm，c＝7 cm，所以x＝＝.
剖析 要求a、b、c的第四比例项x，就表示四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝，就是说线段成比例得讲究一个顺序性，错解正是忽略了这一点.
正解 因为四条线段a、b、c、x成比例，即有a∶b＝c∶x，所以x＝，又a＝3 cm，b＝5 cm，c＝7 cm，所以x＝＝.
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