第四章 图形的相似
8 图形的位似
第1课时 位似图形及其性质
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 问题1：观察下列图形，每一组图形都有什么特点？
图4－8－1
问题2：如图4－8－1(2)，在图片①上取一点A，它与另一张图片(如图片②)上相应的点A′之间的连线是否经过镜头中心点O？在图片上换其他的点试一试，还有类似的规律吗？
[说明与建议] 说明：通过用幻灯片展示生活中的图片，引入本节课的学习内容——图形的位似，让学生体会本节课学习的价值，激发学生的学习兴趣，启发学生寻找图形的特点．建议：可以让学生寻找身边类似的一组图形，以便理解位似的特征，为本节课的学习做好铺垫．
归纳导入 请同学们观察一组图片，思考下列问题：
图4－8－2
(1)它们是相似图形吗？
(2)图形位置间有什么关系？你能寻找出一些规律吗？
归纳：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′＝k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心．
[说明与建议] 说明：从发生在学生身边的事件入手，让学生体会数学来源于生活．通过观察图形，发现位似图形来源于相似图形，同时又特殊于相似图形．采取小组合作交流的方式，让学生充分研究，引发学生初步感知位似图形，思考位似图形的特征，激发学生的求知欲及学习兴趣．建议：在得到位似定义的时候要抓住两个关键点：一是特殊的相似，二是每一组对应点所在的直线都经过同一点．
素材二 教材母题挖掘
教材母题——第113页例1
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如图4－8－3，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2.
图4－8－3
【模型建立】
根据位似的定义可知位似是一种特殊的相似，特殊在它任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点．因此，位似具有相似的所有性质．位似中心的确定就是根据它所特有的性质．
【变式变形】
1．如图4－8－4所示，以点P为位似中心，把图形ABCDE放大，使得放大前后对应线段的比为1∶2.
图4－8－4
[答案：略]
2.你能把图4－8－5中的四边形ABCD缩小到原来的吗？试画出缩小后的四边形A′B′C′D′.
图4－8－5
[答案：能，画图略]
3．如图4－8－6，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，点O为位似中心，OD＝OD′，则A′B′∶AB是多少？
图4－8－6
[答案：2∶1]
素材三 考情考向分析
[命题角度1] 利用位似求点的坐标
当把几何图形放在平面直角坐标系中求点的坐标时，可把问题转化为图形的位似来研究
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，利用位似的性质：位似图形的对应边成比例且对应点到位似中心的距离之比等于相似比，即可解决问题．
例 [武汉中考] 如图4－8－7，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为(A)
图4－8－7
A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)
[命题角度2] 利用位似的性质求位似中心
位似中心是位似图形上对应点所在直线的交点，因此在确定位似图形的位似中心时，通过作直线找到交点，即确定位似中心的位置．
例 图4－8－8中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(D)
图4－8－8
A．点M B．点N C．点O D．点P
[命题角度3] 利用位似的性质求图形面积
位似是一种特殊的相似，故相似图形的一切性质都适用于位似图形．此类问题可以借助“相似多边形的面积比等于相似比的平方”来解决．
例 如图4－8－9，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心．若OA＝2AA′，S△ABC＝8，则S△A′B′C′＝__18__．
图4－8－9
素材四 教材习题答案
P114随堂练习
已知点O在△ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与△ABC位似，且相似比为
5
.
解：略．
P115习题4.13
1．已知边长为1的正方形ABCD，以它的两条对角线的交点为位似中心，画一个边长为2并与它位似的正方形．
解：略．
2．画一个任意四边形ABCD，在它的内部任取一点O，以点O为位似中心，画一个四边形A′B′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为.
解：略．
3．相似多边形都是位似多边形吗？若不是，请举反例；若是，请说明理由．
解：略．
4．九年级(1)班的同学们筹备一次主题班会，为了活跃气氛，他们想把下面的两个图样放大，使得放大前后对应线段的比为1∶2，然后做成各种彩纸图片．请你帮助他们画出放大后的图样．
解：略．
素材五 图书增值练习
素材六 数学素养提升
生活中的位似图形的应用
应用之一：幻灯机
幻灯机是教师常用的教具之一，它能把精致的图片投到银幕上.幻灯机的工作原理如图1，光源A就是位似中心，它发出的两条光线与幻灯片上图形的两点和银幕上图形的对应两点组成相似的△ABC和△ADE.如果给出某些量的数值，还可以计算其它量.
例如给出如图2的数据，可以计算出银幕上图案的高度.
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应用之二：照相机
照相机能够把大家美好的瞬间及时拍录下来，如图3 就是它的工作原理图.两条光线与相机透镜的交点A就是位似中心，底片上的点B、C和对应大树上的点E、D以及点A组成的 △ABC和△AED是相似三角形.
例如若底片BC的长度是3cm，底片与相机透镜的距离是4cm，大树高石15m，你能求出相机透镜与大树的距离吗？（答案：20cm）
应用之三：小孔成像
小孔成像是光的直线传播中的典型现象.用一根蜡烛通过小孔成像的原理在暗箱里成一个倒立的像，如图4所示.小孔O是位似中心，两条光线AD和BC形成了两个相似三角形△OAB和△ODC.
例 在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物AB长的 （ ）
（A）3倍 （B） （C） （D）不知AB的长度，无法判断
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