第四章 图形的相似
8 图形的位似
第2课时 位似变换
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 如图4－8－34所示，在直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B(2，3)．按要求完成下列问题：
(1)将点O，A，B的横、纵坐标都乘2，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OAB位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比．
(2)如果将点O，A，B的横、纵坐标都乘－2呢？
图4－8－34
[说明与建议] 说明：能让学生在活动中举一反三，触类旁通，善于发现，勤于探究，敢于质疑，学会总结，形成自主学习的良好学习习惯；特别是引导学生总结，为新课的学习做好铺垫，有利于帮助学生体会到新旧知识之间的联系与转化．建议：首先让学生独立根据题意写出各对应点的坐标，在课本中描出对应的三角形，然后由老师通过多媒体课件展示，最后引导学生总结．
复习导入 我们上节课学习了位似图形，常会看到一些这样的图片：(多媒体出示)
图4－8－35
观察以上图形，哪些是位似图形？
问题(多媒体出示)：
①什么是位似图形？
②如何判断两个图形是否位似？
③怎样求两个位似图形的相似比？
④如何将画在纸上的一个图形放大，使放大前后对应线段的比为1∶2？你有哪些方法？
[说明与建议] 说明：本节课的内容需要大量用到判断两个图形是否位似以及求相似比，
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而通过直角坐标系确定一个多边形的位似图形，其实也是将多边形放大或缩小的方法之一．通过复习，回顾位似图形的相关知识，为新课的学习做好铺垫．建议：复习时间不宜过长，但是对于问题②③，一定要给学生足够的思考和交流时间．学生在此时归纳总结出方法，就会使接下来的学习顺利很多．
素材二 教材母题挖掘
教材母题——第117页例2
在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－3，3)．以原点O为位似中心，画出四边形OABC的位似图形，使它与四边形OABC的相似比是2∶3.
【模型建立】
根据位似的性质可以将一个多边形成比例的放大或缩小．为使所画的图形更准确、美观，可以把原始图形放在平面直角坐标系中，剩下的任务就是让学生能在平面直角坐标系中正确地找出图形变换后对应点的位置即可．
【变式变形】
1．[泰州中考] 如图4－8－36，平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，－3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且点O′的坐标为(－1，0)，则点B′的坐标为____．
图4－8－36
2．[青岛中考] 如图4－8－37，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A，B的对应点分别为点A′，B′，点A，B，A′，B′均在图中的格点上．若线段AB上有一点P(m，n)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(D)
图4－8－37
A．(－，n) B．(m，n) C．(m，) D．(，)
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3．[绥化中考] 如图4－8－38，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是________；
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2∶1，点C2的坐标是________；
(3)△A2B2C2的面积是________平方单位．
图4－8－38
[答案：(1)图略 (2，－2) (2)图略 (1，0) (3)10]
素材三 考情考向分析
[命题角度1] 利用位似的性质求点的坐标
利用位似可以成比例的放大或缩小一个图形，在图形上的对应点也会发生相应的变换，所以可以根据位似的性质确定点的坐标．
例 如图4－8－39，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O.若点A的坐标是(1，2)，则点A′的坐标是(C)
A．(2，4) B．(－1，－2) C．(－2，－4) D．(－2，－1)
图4－8－39
[命题角度2] 利用位似的性质画图并解决问题
利用位似图形的相似比得出对应点横纵坐标的关系是解题关键．
例 [巴中中考] 如图4－8－40，在平面直角坐标系xOy中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．
(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘－2，得到对应的点A2，B2，C2，请画出△A2B2C2；
(3)求△A1B1C1与△A2B2C2的面积比，即S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝________(不写解答过程，直接写出结果)．
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图4－8－40
[答案：(1)略 (2)略 (3)1∶4]
素材四 教材习题答案
P117随堂练习
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(3，0)，B(4，4)，C(－2，3)，画出四边形OABC以点O为位似中心的位似图形，使它与四边形OABC的相似比是2∶1.
解：略．
P118习题4.14
1．在平面直角坐标系中，△OBC各顶点的坐标分别是O(0，0)，B(6，0)，C(8，4)．将点O，B，C的横坐标、纵坐标都乘，得到三个点，以这三个点为顶点的三角形与△OBC位似吗？
解：位似．
2．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，用上一课的方法画出五边形OBCDE的位似图形，使它与五边形OBCDE的相似比为1∶2.比较两个图形对应点的坐标，你能发现什么？
解：略．
3．在平面直角坐标系中，五边形OBCDE与五边形OFGHJ位似，位似中心是原点O，五边形OBCDE与五边形OFGHJ的相似比是k，这两个五边形每组对应顶点到位似中心的距离有什么关系？
解：这两个五边形每组对应顶点到位似中心的距离的比是k.
4．在平面直角坐标系中，四边形OBCD与四边形OEFG位似，位似中心是原点O.已知C与F是对应顶点，且C，F的坐标分别是C(3，7)，F(9，21)．那么四边形OBCD与四边形OEFG
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的相似比是多少？四边形OEFG与四边形OBCD的相似比呢？
解：1∶3；3∶1.
素材五 图书增值练习
专题一 位似作图
1．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．
2．如图，在4×5网格图中，其中每个小正方形边长均为1，梯形ABCD和五边形EFGHK的顶点均为小正方形的顶点．
（1）以B为位似中心，在网格图中作四边形A′BC′D′，使四边形A′BC′D′和梯形ABCD位似，且位似比为2：1；
（2）求（1）中四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长．（结果保留根号）
3．如图，在给定的锐角中，求作一个正方形，使落在上，分别落在边上，要求写出画法．
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专题二 坐标系下的位似变换
4．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A （1，2），B （3，1），C （2，3），以原点O为位似中心，在图中第一象限内，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′．（不要求写画法）
5．如图，对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O′A′B′．
（1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；
（2）设P（x，y）为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．
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6．如图，△ABC中，A、B两点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A'B'C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B'的横坐标是2，求点B的横坐标．
【知识要点】
1．位似图形的性质：（1）两个图形相似；（2）每组对应点所在的直线交于一点；（3）对应边平行或在同一条直线上；（4）对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
2．位似图形的画法：（1）作图时首先连接顶点和位似中心并延长；（2）按照比例确定对应点位置；（3）连接结对应点即可作出相应的位似图形．
3．（1）同向位似图形：
若以点O为位似中心在y轴的右侧将图形放大到n倍，则对应点坐标为原坐标的n倍．
（2）反向位似图形：
若以点O为位似中心在y轴的左侧将图形放大到n倍，则对应点坐标为原坐标的－n倍．
【温馨提示】
1．相似只强调图形的形状相同，与位置无关，而位似是特殊位置的相似图形，具有相似的所有性质．
2．两个位似图形一定相似，但相似图形不一定位似．
3．直角坐标系下的位似变换通常考虑两个方面：（1）位似图形的点的坐标的变化规律；（2）利用这种坐标变化的特点，画出平面直角坐标系下的位似图形．
4．在画位似图形或求点的坐标时，一定要注意位似图形的位置关系，以防漏解．
5．在画位似图形时，要分清位似比是新图形与原图形的比，还是原图形与新图形的比．
6．在画位似图形时，关键的顶点与位似中心要准确定位．
【方法技巧】
1．判定位似，一般应先证明相似．位似图形的前提一定是相似图形，且任意两对应点的连线交于一点．
2．利用作位似图形的方法可将一个图形放大或缩小．
3．画位似图形的关键是确定位似中心，位似中心可根据要求选择适当位置，所画图形的位置并不唯一．
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参考答案：
1．解：（1）图中点O为所求；
（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；
（3）△A″B″C″为所求．
A″（6，0），B″（3，－2），C″（4，－4）．
2．解：（1）如图所示：四边形A′BC′D′就是所要求作的梯形；
（2）四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分是平行四边形EFGD′，ED′＝FG＝1，
在Rt△EDF中，ED＝DF＝1，
由勾股定理得EF＝ ＝，∴D′G＝EF＝，
∴四边形A′BC′D′与五边形EFGHK重叠部分的周长
为ED′＋FG＋D′G＋EF＝1＋1＋＋＝2＋2．
3．如图．
画法：第一步：画一个有三个顶点落在两边上的正方形（如图）；
第二步：连接并延长交于点；
第三步：过点作，垂足为点；
第四步：过作交于点；
第五步：过作，垂足为点．
四边形即为所求的正方形．
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4．解：如下图所示．
5．解：（1）如图．先把△ABO作位似变换，扩大2倍，再作关于y轴对称的三角形，然后向右平移4个单位，再向上平移5个单位．
（2）设方格边长为单位1，则P（x，y）以O为位似中心放大为原来的2倍的对应点为
（2x，2y），经y轴翻折得到的对应点为（－2x，2y），再向右平移4个单位得到的对应点为（－2x＋4，2y），再向上平移5个单位得到的对应点为（－2x＋4，2y＋5）．
6．解：过点B、B'分别作BD⊥x轴于D，B'E⊥x轴于E，∴∠BDC＝∠B'EC＝90°．
∵△ABC的位似图形是△A'B'C，∴点B、C、B'在一条直线上，
∴∠BCD＝∠B'CE，∴△BCD∽△B'CE．∴＝．
又∵＝，∴＝． 又∵点B'的横坐标是2，点C的坐标是（－1，0），∴CE＝3，∴CD＝．∴OD＝，∴点B的横坐标为－．
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素材六 数学素养提升
《相 似 变 换》
我们知道，两个三角形（边数相等的多边形），如果它们的对应边成比例，且对应角相等，就称它们为相似三角形（相似多边形）．两个相似的图形，形状相同，大小可以不等，对应边的比称为相似比．特别地，相似比为1时，相似形即为全等形．
两个相似图形，如果对应顶点的连线交于一点 ，则称它们是位似的，点 称为位似中心．如下图中的相似三角形 和 ，就是位似的，因为它们的对应顶点的连线 交于一点 ． 是它们的位似中心．图形位似时，对应边的比称为位似比．也有的书更形象地把位似图形称为中心相似图形，把位似中心称为相似中心．
设为平面上的一个定点，把平面上任一点 变成直线 上的一点 （下图），使 （此处 为不等于零的一个常数）的变换，称为位似变换．上述定点 叫位似中心，常数 叫位似比．
有时把 点取在多边形内，或取在一条边上，或取在某一顶点上，也可以把一个图形放大或缩小，得到位似图形，而且更为简便，如下图所示．
我们常常看见工程技术人员绘图使用的放缩尺就是使用位似变换的原理设计的．
使用根据位似换原理制造的“放缩尺”可以很方便地按照指定的比把一个图形放大或缩小．
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