第四章 图形的相似
*5 相似三角形判定定理的证明
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 (1)观察并思考，用叠合法证明如图4－5－1所示两个风筝图形相似．
图4－5－1
(2)相似三角形的判定方法有哪些？
[说明与建议] 说明：利用学生感兴趣的动画演示开始本节课的学习和探讨，更有助于培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣．建议：通过让学生寻找身边形状相同的三角形，来理解相似三角形的特征，并寻求相似的判定方法，为本节课的学习做好铺垫．
复习导入 回答下列问题：
问题1：相似三角形的定义是什么？
问题2：相似三角形的判定方法有哪些？
[说明与建议] 说明：一是巩固所学内容，由浅入深，激发学生的学习兴趣；二是为新课的学习做好铺垫．通过学生回顾复习已得结论，激发学生的学习兴趣．建议：问题由学生口答完成，其他学生矫正．完成后教师引导学生，从而引入新课．引导性语言：通过复习，我发现你们掌握得很好．今天这节课，我们一起对三角形相似的条件进行证明．
素材二 考情考向分析
[命题角度1] 利用相似三角形的性质求边长
相似三角形的对应角相等、对应边成比例，根据相似三角形边的对应关系可以求边长．
例 [毕节中考] 如图4－5－2，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于(A)
图4－5－2
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A. B. C. D.
[命题角度2] 利用相似的判定证明相似
两个三角形相似的判定有三条：①两角分别相等；②两边成比例且夹角相等；③三边成比例．在证明两个三角形相似时，要根据题目所给的已知条件灵活选择判定方法．
例 [益阳中考] 如图4－5－3，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E.求证：△ABD∽△CBE.
图4－5－3
[答案：略]
[命题角度3] 证明两三角形相似并解决综合问题
根据题目寻找条件证明两个三角形相似，并能利用相似来解决动点问题．解决此类问题的关键是要注意分情况讨论．这要求学生对于证明三角形相似的判定理解透彻，能从题目中分析出不同的对应关系．
例 [武汉中考] 如图4－5－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)．
(1)如图①，连接PQ，若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
(2)如图②，连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；
(3)试证明PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
图4－5－4
解：(1)①当△BPQ∽△BAC时，
∵＝，BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm，
∴＝，∴t＝1；
②当△BPQ∽△BCA时，∵＝，∴＝，
∴t＝.∴t＝1或t＝时，△BPQ与△ABC相似．
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图4－5－5
(2)如图4－5－5所示，过点P作PM⊥BC于点M，设AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝PBsinB＝3t，BM＝4t，MC＝8－4t.
∵∠NAC＋∠NCA＝90°，∠PCM＋∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，
∴△ACQ∽△CMP，∴＝，∴＝，解得t＝.
(3)如图4－5－6，仍有PM⊥BC于点M，PQ的中点设为D点，再作PE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.
图4－5－6
∵∠ACB＝90°，∴DF为梯形PECQ的中位线，∴DF＝.
∵QC＝4t，PE＝8－BM＝8－4t，∴DF＝＝4.
∵BC＝8，过BC的中点R作直线平行于AC，∴RC＝DF＝4成立，
∴点D在过点R的中位线上，∴PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
[命题角度4] 利用相似求最值
求最值的基本思路是利用两点之间线段最短．能够利用对称的性质找到动点的位置，再利用相似等知识解决问题．
例 [天津中考] 如图4－5－7，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OBA.
(1)如图①，求点E的坐标．
(2)如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B，BE′.
①设AA′＝m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2＋BE′2，并求出使A′B2＋BE′2取得最小值时点E′的坐标；
②当A′B＋BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可)．
图4－5－7
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图4－5－8
解：(1)∵点A(－2，0)，B(0，4)，∴OA＝2，OB＝4.
∵∠OAE＝∠OBA，∠EOA＝∠AOB＝90°，∴△OAE∽△OBA，∴＝，
即＝，解得OE＝1，∴点E的坐标为(0，1)．
(2)①如图4－5－8，连接EE′.由题设知AA′＝m(0
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