第四章 图形的相似
7 相似三角形的性质
第1课时 相似三角形中的对应线段之比
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题．如图4－7－1，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的立柱．
图4－7－1
(1)试写出△ABC与△A′B′C′的对应边之间的关系和对应角之间的关系．
(2)△ACD与△A′C′D′相似吗？为什么？如果相似，指出它们的相似比．
(3)如果CD＝1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？
(4)据此，你可以发现相似三角形具有怎样的性质？
[说明与建议] 说明：从学生熟悉的建筑模型房入手，激发学生的学习兴趣，层层设问，引发学生思维层层递进，从相似三角形的最基本性质展开研究．使学生明确相似比与对应高的比的关系，有利于激起学生的兴趣，感受了分类的必要性．建议：引导学生感受实际房屋房梁的特征，根据抽象出来的几何图形解决问题，为本节课的学习做好铺垫．
复习导入 前面我们学习了相似三角形的有关知识．
问题1 什么叫相似三角形？
问题2 如何判定两个三角形相似？
问题3 相似三角形有何性质？
问题4 想一想：一个三角形有三条重要的线段，你知道是哪三条吗？如果两个三角形相似，那么这些对应线段之间有什么关系呢？
[说明与建议] 说明：回顾前面所学内容，加深学生对所学知识的理解，通过设问，激发学生的学习兴趣，为学习新知识做准备，让学生明确本节课学习的内容．建议：重点让学生回顾理解三角形中的三条重要的线段——中线、高线和角平分线的特征．
素材二 教材母题挖掘
教材母题——第107页例1
如图4－7－2，AD是△ABC的高，AD＝h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E.
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当SR＝BC时，求DE的长．如果SR＝BC呢？
图4－7－2
【模型建立】
根据相似三角形的性质可知：相似三角形的对应中线之比、对应高线之比、对应角平分线之比都等于相似比．我们借助三角形中的中线、高线或角平分线来寻找三角形中线段的对应关系，即可解决问题．
【变式变形】
1．如图4－7－3，已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AB＝10，A′B′＝5，BD＝6.求B′D′的长．[答案：3]
图4－7－3
2．如图4－7－4，已知△ABC∽△DEF，BG，EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.8 cm，求EH的长．[答案：3.2 cm]
图4－7－4
3．如图4－7－5所示，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC＝60 cm，AD＝40 cm，四边形PQRS是正方形．
(1)△ASR与△ABC相似吗？为什么？
(2)求正方形PQRS的边长．
图4－7－5
[答案：(1)相似，理由略 (2)24 cm]
素材三 考情考向分析
[命题角度] 利用相似三角形的性质求周长
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比．把求线段长的问题转化为三角形的相似来研究，要学会灵活地运用这种方法解决相关问题．
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图4－7－6
例 在△ABC中，AB＝12，AC＝10，BC＝9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图4－7－6所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为(D)
A．9.5 B．10.5 C．11 D．15.5
素材四 教材习题答案
P107随堂练习
1．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，＝，B′D′＝4 cm，求BD的长．
解：6 cm.
2．两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2 cm和5 cm，求这两个三角形的相似比．在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3 cm，那么较长的中线有多长？
解：2∶5；7.5 cm.
P108习题4.11
1．△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线．已知AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，求△ABC与△A′B′C′对应高的比．
解：8∶3.
2．如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15 cm.他准备了一支长为20 cm的蜡烛，想要得到高度为5 cm的像，蜡烛应放在距离纸筒多远的地方？
解：60 cm.
3．如图，在△ABC中，AB＝5，D，E分别是边AC和AB上的点，且 ∠ADE＝∠B，DE＝2，求AD·BC的值．
解：∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴AD·BC＝AB·DE，
∵AB＝5，DE＝2，
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∴AD·BC＝5×2＝10.
4．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，且∠CAB＝∠CBD.已知AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝5.5，求DE的长．
解：∵∠CAB＝∠CBD，∠ACB＝∠BCE，∴△ABC∽△BEC，∴＝.
∴＝，∴BE＝.
∵BD＝5.5，
∴DE＝BD－BE＝5.5－＝.
素材五 图书增值练习
素材六 数学素养提升
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