7
相似三角形的性质
第四章
图形的相似
考场对接
题型一
利用相似三角形的性质求线段
的
长度
第四章 图形的相似
例题
1
如图 4-7-6 所 示, 在等腰三角形ABC中, 底边 BC=60 cm, 高AD=40 cm, 四 边形PQRS是正方形.
(1)△ASR与△ABC相似吗？为什么？
(2)求正方形PQRS的边长．
考场对接
第四章 图形的相似
分析
(1)根据正方形的性质及相似三角形的判定可得到△ASR∽△ABC；
(2)设正方形PQRS的边长为x cm, 用x分别表示出SR, SP(即ED), AE的长, 然后根据△ASR∽△ABC,利用相似三角形对应高的比等于相似比求解．
考场对接
第四章 图形的相似
解
(1)相似.理由：∵四边形PQRS是正方形, ∴SR∥PQ, ∴∠ASR=∠ABC, ∠ARS=∠ACB,∴△ASR∽△ABC.
(2)设正方形PQRS的边长为xcm, 则SR=xcm, SP=DE=xcm, AE=(40-x)cm. ∵△ASR∽△ABC,
∴AE∶AD=SR∶BC. ∵BC=60 cm, AD=40 cm,
∴(40-x)∶40=x∶60, ∴ x=24, 即正方形PQRS的 边长为24 cm．
考场对接
第四章 图形的相似
锦囊妙计
利用相似三角形的性质求线段长度的方法
根据相似三角形对应线段的比等于相似比 列方程解决问题
.
考场对接
第四章 图形的相似
6
或
8
例题
2
在△ABC中, AB=9, AC=12, BC=18,D为AC上一点, DC= AC, 在AB上取一点E, 得到△ADE, 若△ABC 和△ADE 相似 , 则 DE 的长为＿＿＿.
考场对接
第四章 图形的相似
考场对接
第四章 图形的相似
锦囊妙计
分类讨论思想在相似三角形问题中的应用
对于未给出图形的问题, 要注意根据边或 角 的不同对应情况分类讨论, 根据对应边成比例得 到不同情况下的方程, 全面解答问题.
考场对接
第四章 图形的相似
题型二
利用相似三角形的性质求周长和面积
例题
3
已知两个相似三角形的一对对应角平 分线的长分别是35 cm和14 cm.
(1)已知它们的周长相差60 cm, 求这两个三角 形的周长；
(2)已知它们的面积相差588 cm2, 求这两个三 角形的面积.
考场对接
第四章 图形的相似
解
(1)∵相似三角形的一对对应角平分线的 长分别是35 cm和14 cm, ∴这两个三角形的相似比 为5∶2, ∴这两个三角形的周长比为5∶2.
设较大的三角形的周长为5x cm, 较小的三角 形的周长为2x cm.
∵它们的周长相差60 cm,
∴3x=60, 解得x=20,
∴5x=5×20=100(cm), 2x=2×20=40(cm),
∴较大的三角形的周长为100 cm, 较小的三角 形的周长为40 cm.
考场对接
第四章 图形的相似
(2)∵这两个三角形的相似比为5∶2,
∴这两个三角形的面积比为25∶4.
设较大的三角形的面积为25y cm
²
, 较小的三 角形的面积为4y cm
²
.
∵它们的面积相差588 cm
²
,
∴(25-4)y=588, 解得y=28,
∴ 25 y = 25 × 28 = 700 (cm
²
) , 4 y = 4 × 28 =112 (cm
²
),
∴较大的三角形的面积为700 cm
²
, 较小的三 角形的面积为112 cm
²
.
考场对接
第四章 图形的相似
锦囊妙计
利用相似三角形的性质求周长和面积的方法
利用相似三角形的周长比等于相似比
,
面积 比等于相似比的平方这一性质
,
可在已知两个相 似三角形的相似比和其中一个三角形的周长(面 积)
,
求另一个三角形的周长(面积)的情况下
,
不 必求出三角形的每一条边及高
,
通常会用方程思 想来解决问题
.
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