第四章 图形的相似
2 平行线分线段成比例
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
置疑导入 如图4－2－1，一组等距离的平行线截直线AC所得到的线段相等，那么在直线A′C′上所截得的线段有什么关系呢？
图4－2－1
[说明与建议] 说明：让学生通过试验来体会——如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等的数学事实，以此来为学习平行线分线段成比例基本事实做铺垫．通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望．建议：运用印有等距离平行线的作业纸和刻度尺做试验：(1)画一条与这组平行线垂直的直线l1，则直线l1被这组平行线截得的线段相等吗？为什么？(2)任意画一条与这组平行线相交的直线l2，量一量直线l2被这组平行线截得的线段是否相等．
复习导入 (1)什么是成比例线段？
(2)如图4－2－2，你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是2∶3吗？
图4－2－2
[说明与建议] 说明：通过复习成比例线段的内容，为学生能够更好地探究平行线分线段成比例基本事实做铺垫．再利用一个生活中的实例激发学生探究的欲望．学生对“不通过测量快速将一根绳子分成两部分”这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法．从而紧扣学生的好奇心，引入新课，揭示课题．建议：第(1)小题直接让学生回答，第(2)小题让学生进行思考，产生疑问与好奇，引出新课内容．
素材二 教材母题挖掘
教材母题——第83页例题
如图4－2－3所示，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC.
(1)如果AE＝7，EB＝5，FC＝4，那么AF的长是多少？
(2)如果AB＝10，AE＝6，AF＝5，那么FC的长是多少？
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图4－2－3
【模型建立】
根据平行线分线段成比例基本事实的推论可知：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例，进而用比例式求解计算．
【变式变形】
1．如图4－2－4，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC.
(1)如果AD＝3.2 cm，DB＝1.2 cm，AE＝2.4 cm，那么EC的长是多少？
(2)如果AB＝5 cm，AD＝3 cm，AC＝4 cm，那么EC的长是多少？
图4－2－4
[答案：(1)0.9 cm (2)1.6 cm]
2．如图4－2－5，直线BD，CE被一组平行线所截，EA＝6，AC＝7，AD＝5，求AB的长．[答案：]
图4－2－5
3．如图4－2－6，已知点D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC.求证：OD∶OA＝OE∶OB.[答案：略]
图4－2－6
素材三 考情考向分析
[命题角度1] 利用平行线分线段成比例基本事实判断
利用平行线分线段成比例基本事实可以快速地得到一些线段间的关系，要求学生学会利用平行线分线段成比例的知识进行简单的证明．第一是要找准截线(一组平行线)和被截线；第二是要找准被截得线段的对应关系．
例 [郑州中考] 如图4－2－7，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(A)
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图4－2－7
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
[命题角度2] 利用平行线分线段成比例基本事实的推论计算
通过应用平行线分线段成比例基本事实的推论，规范书写格式，培养学生严谨的逻辑推理能力，一方面是为了巩固对推论的理解，另一方面也为后面证明相似三角形的判定定理做了铺垫．
例 [温州中考] 如图4－2－8，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.已知AE＝6，＝，则EC的长是(B)
图4－2－8
A．4.5 B．8 C．10.5 D．14
素材四 教材习题答案
P84随堂练习
已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，求x的值．
解：x＝5.25.
P84习题4.3
1．如图，两条直线被三条平行线所截．
(1)在图(1)中，AB＝5，BC＝7，EF＝4，求DE的长；
(2)在图(2)中，DE＝6，EF＝7，AB＝5，求AC的长．
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解：(1)DE＝；(2)AC＝.
2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC.
(1)如果AD＝3.2 cm，DB＝1.2 cm，AE＝2.4 cm，那么EC的长是多少？
(2)如果AB＝5 cm，AD＝3 cm，AC＝4 cm，那么EC的长是多少？
解：(1)EC＝0.9 cm；(2)EC＝ cm.
3．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和BC上的点，且DE∥AC，＝，＝，求.
解：∵＝，∴＝＝.
∵DE∥AC，
∴＝＝＝.
4．如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，AD∶DB＝2∶3，BC＝20 cm，求BF的长．
解：∵DE∥BC，∴＝＝.
∵EF∥AB，∴＝＝.
∴＝，即＝，
∴BF＝8 cm.
素材五 图书增值练习
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专题 平行线分线段成比例定理的灵活运用
如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN＋PQ＝2PN．
【知识要点】
1．两条直线被一组平行线所截，所得的应对线段成比例。
2．平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。
【方法技巧】
1．当题目中出现三条以上平行线，且求线段的长度或比值时常利用平行线获得比例线段．
2．证明比例式（或等积式）的常用方法是利用平行线分线段成比例定理，或者通过判定三角形相似，有时要通过两次相似的判定，等量代换，寻找中间比等才能得到待证的比例式．
参考答案：
证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形．
∵F是AC的中点，∴DF的延长线必过O点，且＝．
∵AB∥CD，∴＝．
∵AD∥CE，∴＝．
∴＋＝＋＝．
又∵＝＝，∴OQ＝3DN．
∴CQ＝OQ－OC＝3DN－OC＝3DN－AD，AN＝AD－DN．
∴AN＋CQ＝2DN．
∴＋＝＝2．即MN＋PQ＝2PN．
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素材六 数学素养提升
《面积法证明平行线分线段成比例定理》
在九年级数学上册P82中，学习相似三角形判定前先介绍了平行线分线段成比例定理，课本中只是让计算后得到了平行线分线段成比例定理，下面谈谈如何利用面积法证明平行线分线段成比例定理。
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