第四章 图形的相似
1 成比例线段
第1课时 线段的比
素材一 新课导入设计
情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣
情景导入 同学们，色彩斑斓的世界中有许多美丽的图形，它们有的形状、大小都相同，这就是我们前面学过的全等形(多媒体出示图4－1－1①)；有的只有形状相同，这就是相似图形(多媒体出示图②)．你知道如何刻画图形的相似吗？你知道如何判定两个三角形相似吗？你知道如何将一个图形放大或缩小吗？从今天开始，我们进入第四章的学习．
图4－1－1
本章将研究图形的相似，探索三角形相似的条件，了解相似三角形的性质，并利用图形的相似解决一些简单的实际问题．本节课就让我们一起从“成比例线段”开始学习本章．【板书课题：第1课时 线段的比】
[说明与建议] 说明：通过用幻灯片展示生活中的图片，引入本章的学习内容——图形的相似．初步感知相似图形，引发学生思考相似图形的特征，激发学生的求知欲及学习兴趣．为新课的学习做好情感铺垫．建议：学生观看生活中存在的全等形及相似图形，体会数学来源于生活，在全等形的基础上感知相似图形，也可以让学生寻找身边的形状相同的图形，以便理解相似图形的特点，为本节课的学习做好铺垫．
悬念激趣 请从下图中找出形状相同的图形．这些形状相同的图形有什么不同？怎样描述它们的不同呢？(多媒体展示图片)
图4－1－2
生活中存在大量形状相同，但大小不同的图形．这些形状相同的图形有什么不同？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，今天这节课，我们先学习成比例线段．
[说明与建议] 说明：以形状相同的图形为背景，从生活中的图片到几何图形，
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从识别相同到寻找不同，设计的问题逐步深入，再到用什么描述形状相同图形的不同点，引出学习线段的比的必要性．建议：学生先自主观察这些图形的特点，然后在小组内交流自己的看法，交流后借助多媒体展示自己的成果．教师在学生交流展示时可作以下引导：(1)图中形状相同的图形，大小有什么不同？(2)形状相同的图形，其中的一个如何由另一个得到？(多媒体动画演示图形的放大与缩小)(3)形状相同的图形对应的线段是如何变化的？(4)形状相同而大小不同的两个图形，你认为应该如何来描述它们的大小关系？
素材二 教材母题挖掘
教材母题——第78页例1
如图4－1－3所示，一块矩形绸布的长AB＝a m，宽AD＝1 m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即＝，那么a的值应当是多少？
图4－1－3
【模型建立】
四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．四条线段成比例有顺序性，如a，c，d，b是成比例线段，是指＝，不能写成＝.根据线段的比相等，由已知的三个量即可求出第四个量．
【变式变形】
1．线段a的长度是线段b的长度的5倍，则a∶b＝__5∶1__．
2．一条线段的长度是另一条线段长度的，则这两条线段之比是__3∶5__．
3．已知a，b，c，d是成比例线段，a＝4 cm，b＝6 cm，d＝9 cm，则c＝__6_cm__.
4．如果2x＝5y，那么＝____．
5．已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，求线段d的长．
[答案：4 cm]
素材三 考情考向分析
[命题角度1] 利用成比例线段的概念判断
成比例线段是指在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段．在利用它来处理问题时，一定要注意这四条线段是有顺序性的．
例 下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是(B)
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A．1，2，3，4 B．1，2，2，4 C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
[命题角度2] 利用比例尺计算实际距离
在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺，因此，已知比例尺与图上长度(或实际长度)就能求出实际长度(或图上长度)．
例 在比例尺为1∶200的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B两地间的实际距离为__9__m.
[命题角度3] 利用矩形折叠求线段的比
矩形的折叠，主要是通过折叠图形构造轴对称图形来解决问题．由于折叠前后折叠部分图形的形状、大小不变，因此利用轴对称性，可以转化相等的线段，相等的角等，从而可以求出线段的比．
例 [枣庄中考] 如图4－1－4，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，若AE＝BE，则长AD与宽AB的比值是____．
图4－1－4
素材四 教材习题答案
P79随堂练习
1．你知道地图比例尺的含义吗？生活中还有哪些利用线段比的事例？
解：略．
2．一条线段的长度是另一条线段的5倍，求这两条线段的比．
解：5∶1.
3．a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，求段线d的长．
解：4 cm.
P79习题4.1
1．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝10 cm；在△DEF中，ED＝EF＝12 cm，DF＝8 cm，求AB与EF之比、AC与DF之比．
解：根据勾股定理求出AC＝10 cm.
AB∶EF＝5∶6; AC∶DF＝5∶4.
2．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，AB＝12 cm，AE＝6 cm，EC＝5 cm，且＝，求AD的长．
解：设AD＝x cm，则BD＝AB－AD＝(12－x)(cm)．
∵＝，∴＝，
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解得x＝，即AD＝ cm.
3．如图，将一张矩形纸片沿它的长边对折(EF为折痕)，得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，那么原来矩形的长边与短边的比是多少？
解：设原来矩形的长为x，宽为y，
则对折后的矩形的长为y，宽为 ，
∵小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比．
∴x∶y＝y∶ ，
解得x：y＝ ∶1.
素材五 图书增值练习
素材六 数学素养提升
生活中的比例尺
听说正在建造中的香格大厦已经结顶，我和表弟都感到心喜欲狂。这座全钢结构写字楼－－是我们慈溪的制高点，也是宁波市首幢全钢结构的高层楼宇，我们都期盼着亲眼目睹这伟大的建筑。
星期天，风和日丽，在爸爸的带领下，我们准备参观香格大厦。来到大楼前，抬头仰望，可真高啊！弟弟在一旁不停地叫：“到底有几米高？”我问爸爸，爸爸也摇摇头，“有什么办法知道它的高度呢？”
这时我忽然想起我们数学课学到的比例知识，“对，有了”。 弟弟急切地问：“难道你要爬上去量” 我胸有成竹地说；“用不着爬上去，可以运用比例的知识来测量，” 弟弟更加迷惑了：“什么比例？”
爸爸在一旁看着我，微笑着点点头。不一会，爸爸从附近的商店里买来了一把钢卷尺。 测量开始了，我和弟弟测量，请爸爸做记录员。
我们先测量了大厦的影子长度是36.25米，又测量了爸爸的影子的长度是0.73米。接着我们进行计算。
大厦影子的长度/大厦的高度=爸爸影子的长度/爸爸的身高,
36.25/大厦的高度=0.73/1.75
大厦的高度=36.25×1.75÷0.73 =63.44÷0.73≈86.9米
这时弟弟站在一旁说：“这样的测量计算方法行吗?”
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我满有把握地回答“行！因为物体的影长与实际长度是成正比例的。
在同一时间同一地点，大厦影子的长度/大厦的高度等于爸爸影子的长度/爸爸的身高” 为了证明我们的测量结果，爸爸带我们询问了这儿施工的工人，原来香格大厦高近100米，地上28层，地下3层车库，总建筑面积4.5万平方米。我们测量的结果86.9米，是地上28层的高度，再加上3层车库大概也有100米吧！弟弟听后心服口服。
今天的参观真是使我受益非浅，我亲身体验到数学知识与现实生活是紧密地联系着的，我们平时要多多地运用数学的眼光去观察世界，用数学知识来解决实际问题。
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