2020年九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质测试卷（含解析新人教版）.docx

1 专题 24.1 圆的有关性质（测试） 一、单选题 1．下列各角中，是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 顶点在圆心，两边和圆相交的角是圆心角，选项 D 中，是圆心角， 故选 D． 2．一个周长是 l 的半圆，它的半径是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 半圆的周长为半径的 倍加上半径的 2 倍，所以一个周长是 l 的半圆，它的半径是 ，所以选 C. 3．如图，AB，AC 分别是⊙O 的直径和弦， 于点 D，连接 BD，BC，且 ， ，则 BD 的长为（ ） A． B．4 C． D．4.8 【答案】C 【解析】∵AB 为直径， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， l π÷ 2l π÷ ( )2l π÷ + ( )1l π÷ + π ( )2l π÷ + OD AC⊥ 10AB = 8AC = 2 5 2 13 90ACB °∠ = 2 2 2 210 8 6BC AB AC= − = − = OD AC⊥ 1 42CD AD AC= = =2 在 中， ． 故选 C． 4．如图， 是 的弦， 交 于点 ，点 是 上一点， ，则 的度 数为（ ）． A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【解析】解：如图，∵ ， ∴ ． ∵ 是 的弦， 交 于点 ， ∴ ． ∴ ． 故选：D． . 5．如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点 A 处安装了一台监视器，它的监控角度是 65°．为了监控整 个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器（　　）台． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A Rt CBD∆ 2 24 6 2 13BD = + = AB O OC AB⊥ O C D O 30ADC∠ = ° BOC∠ 30ADC∠ = ° 2 60AOC ADC∠ = ∠ = ° AB O OC AB⊥ O C  AC BC= 60AOC BOC∠ = ∠ = °3 【解析】设需要安装 n（n 是正整数）台同样的监控器，由题意，得：65°×2×n≥360°， 解得 n≥ ，∴至少要安装 3 台这样的监控器，才能监控整个展厅．故选：A． 6．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 ，点 是这段弧所在圆的圆心， ，点 是 的中点， 且 ，则这段弯路所在圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解： ， ， 在 中， ， 设半径为 得： ， 解得： ， 这段弯路的半径为 故选：A． 7．若 和 的度数相等，则下列命题中正确的是（ ） A． = B． 和 的长度相等 C． 所对的弦和 所对的弦相等 D． 所对的圆心角与 所对的圆心角相等 【答案】D 【解析】如图， 与 的度数相等， A、根据度数相等，不能推出弧相等，故本选项错误； B、根据度数相等，不能推出两弧的长度相等，故本选项错误； C、根据度数相等，不能推出所对应的弦相等，故本选项错误； 36 13 O 40AB m= C AB 10CD m= 25m 24m 30m 60m OC AB⊥ 20AD DB m∴ = = Rt AOD∆ 2 2 2OA OD AD= + r ( )22 210 20r r= − + 25r m= ∴ 25m AB CD AB CD AB CD AB CD AB CD AB CD4 D、根据度数相等，能推出弧所对的两个圆心角相等，故本选项正确； 故选 D． 8．如图，C、D 为半圆上三等分点，则下列说法：① = = ；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝ OC；④△AOD 沿 OD 翻折与△COD 重合．正确的有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】A 【解析】∵C、D 为半圆上三等分点， ∴ ，故①正确， ∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相， ∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确， ∵OA=OD=OC=OB， ∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形， ∴△AOD 沿 OD 翻折与△COD 重合．故④正确， ∴正确的说法有：①②③④共 4 个， 故选 A． 9．下列说法： ①优弧一定比劣弧长； ②面积相等的两个圆是等圆； ③长度相等的弧是等弧； ④经过圆内的一个定点可以作无数条弦； ⑤经过圆内一定点可以作无数条直径． 其中不正确的个数是（　　） AD CD BC   AD CD BC= =5 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】解：在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，所以①错误； 面积相等的两个圆半径相等，则它们是等圆，所以②正确； 能完全重合的弧是等弧，所以③错误； 经过圆内一个定点可以作无数条弦，所以④正确； 经过圆内一定点可以作无数条直径或一条直径，所以⑤错误． 故选：C． 10．如图所示，AB 是半圆 O 的直径。若∠BAC=20°，D 是 AC 的中点，则∠DAC 的度数是( ) A．30° B．35° C．45° D．70° 【答案】B 【解析】连接 BC，因为 AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB=90°。又因为∠BAC=20°，所以∠ABC=70°，所以 的度数是 140°.因为 D 是 的中点，所以 的度数是 70°，所以∠DAC=35°，故选 B. 11．如图，在 的内接四边形 中， 是直径， ，过 点的切线 与 的延 长线交于点 ，则 的度数为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接 AC，OD， AC AC CD O ABCD AB 120BCD∠ = ° D DP BA P ADP∠ 30° 35° 40° 45°6 ∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACD=120°-90°=30°， ∴∠AOD=60° ∵OD=OA， ∴△AOD 是等边三角形， ∴∠ADO=60°， ∵DP 是⊙O 的切线， ∴∠ODP=90°， ∴∠ADP=∠ODP-∠ODA=90°-60°=30°． 故选 A． 12．在同一平面内，点 P 到圆上的点的最大距离为 7，最小距离为 1，则此圆的半径为( ) A．6 B．4 C．3 D．4 或 3 【答案】D 【解析】 当 P 点在圆内时，半径为（7+1）÷2=4 当 P 点在圆外时，半径为（7-1）÷2=3 故选 D 13．如图，已知⊙O 的半径为 6cm，两弦 AB 与 CD 垂直相交于点 E，若 CE＝3cm，DE＝9cm，则 AB＝（　　） A． cm B．3 cm C．5 cm D．6 cm 3 3 3 37 【答案】D 【解析】解：如图，连接 OA， ∵⊙O 的半径为 6cm，CE+DE＝12cm， ∴CD 是⊙O 的直径， ∵CD⊥AB， ∴AE＝BE，OE＝3，OA＝6， ∴AE＝ ， ∴AB＝2AE＝ ， 故：D. 14．如图所示，四边形 ABCD 是圆内接四边形，如果 的度数为 240°，那么∠C 的度数为( ) A．120° B．80° C．60° D．40° 【答案】C 【解析】 根据圆周角定理，由于 =240°，所以 =120°，则∠C=60°.故选择 C. 15．用直尺和圆规作 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线 CD，甲、乙两人的作法如图：根据两人的作法可判断（　　） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 2 2 3 3OA − ΟΕ = 6 3 BCD BCD BD8 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 【答案】C 【解析】解：观察可得甲、乙两人的作法均正确， 故选：C． 16．已知锐角∠AOB 如图，（1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作 ，交射线 OB 于点 D，连接 CD； （2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交 于点 M，N； （3）连接 OM，MN． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ） A．∠COM=∠COD B．若 OM=MN，则∠AOB=20° C．MN∥CD D．MN=3CD 【答案】D 【解析】解：由作图知 CM=CD=DN， ∴∠COM=∠COD，故 A 选项正确； ∵OM=ON=MN， ∴△OMN 是等边三角形， PQ PQ9 ∴∠MON=60°， ∵CM=CD=DN， ∴∠MOA=∠AOB=∠BON= ∠MON=20°，故 B 选项正确； ∵∠MOA=∠AOB=∠BON=20°， ∴∠OCD=∠OCM=80°， ∴∠MCD=160°， 又∠CMN= ∠AON=20°， ∴∠MCD+∠CMN=180°， ∴MN∥CD，故 C 选项正确； ∵MC+CD+DN＞MN，且 CM=CD=DN， ∴3CD＞MN，故 D 选项错误； 故选：D． 二、填空题 17．如图， 是⊙ 的直径， 、 是⊙ 上的两点， ，则 _____ ． 【答案】 【解析】 ， ． 故答案为： ． 18．若一条弦分圆为 1：4 两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是______. 【答案】36°或 144°. 【解析】解： 1 3 1 2 AB O C D O 120AOC∠ = ° CDB∠ = ° 30  180 180 120 60BOC AOC∠ = °− ∠ = °− ° = ° ∴ 1 302CDB BOC∠ ∠ = °＝ 3010 连接 OA、OB， ∵一条弦 AB 把圆分成 1：4 两部分，如图， ∴弧 AC′B 的度数是 ×360°=72°，弧 ACB 的度数是 360°﹣72°=288°， ∴∠AOB=72°， ∴∠ACB= ∠AOB=36°， ∴∠AC′B=180°﹣36°=144°， 故答案为：36°或 144°． 19．《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代 数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸， 锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为 1 寸，锯 道 尺（1 尺＝10 寸），则该圆材的直径为______寸． 【答案】26． 【解析】 设 的半径为 ． 在 中， ， 则有 ， 解得 ， ∴ 的直径为 26 寸， 故答案为：26． 20．如图，已知 ， 为 的两条弦，延长 到 ，使 .若 ，则 1 5 1 2 1AB = O r Rt ADO∆ 5, 1,AD OD r OA r= = − = 2 2 2(5 )1r r= + − 13r = O AB AC O CA D AD AB= 30ADB∠ = ° BOC∠ =11 ______ . 【答案】120°. 【解析】∵ AD=AB ∴ ∠BDA=∠ABD (等边对等角) ∵ ∠BDA=30° ∴ ∠ABD=30° ∵ ∠BAC 是△ABD 的一个外角 ∴ ∠BAC=∠ABD+∠BDA (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∴ ∠BAC=60° ∵ ∠BOC 是 所对的圆心角,∠BAC 是 所对的圆周角 ∴ ∠BOC=2∠BAC=120° (同弧所对圆心角为圆周角的两倍) 三、解答题 21．如图，已知 E 是⊙O 上任意一点，CD 平分∠ACB，求证：ED 平分∠AEB． 【答案】见解析. 【解析】∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ∴ED 平分∠AEB． 22．如图所示，在 中， 是直径， 为 上一点，过点 作弦 ， ，若 ， ，求 . BC BC CD ACB∠  AD DB= AED BED∠ = ∠ O AB P AB P MN 45NPB∠ = ° 2AP = 6BP = MN12 【答案】 . 【解析】过点 O 作 OD⊥MN 于点 D，连接 ON，则 MN=2DN， ∵AB 是⊙O 的直径，AP=2，BP=6， ∴⊙O 的半径= （2+6）=4， ∴OP=4-AP=4-2=2， ∵∠NPB=45 ゜， ∴△OPD 是等腰直角三角形， ∴OD= ， 在 Rt△ODN 中， DN= ， ∴MN=2DN=2 ． 23．如图， 是半圆的直径.图①中，点 在半圆外；图②中，点 在半圆内，请仅用无刻度的直尺. (1)在图①中，画出 的三条高的交点； (2)在图②中，画出 中 边上的高. 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】(1)如图①，点 就是所求作的点 2 14MN = 1 2 2 2 2 16 2ON OD = −− = 14 14 AB C C ABC∆ ABC∆ AB P13 (2)如图②， 为 边上的高 24．已知：如图 1，在 中，直径 ， ，直线 ， 相交于点 . （Ⅰ） 的度数为_________；（直接写出答案） （Ⅱ）如图 2， 与 交于点 ，求 的度数； （Ⅲ）如图 3，弦 与弦 不相交，求 的度数. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ） . 【解析】 解：（Ⅰ）连结 OD，OC，BD， ∵OD=OC=CD=2 ∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC=60° ∴∠DBC=30° ∴∠EBD=30° ∵AB 为直径， CD AB O 4AB = 2CD = AD BC E E∠ AB CD F E∠ AB CD AEC∠ 60° 60E∠ = ° 60AEC∠ = °14 ∴∠ADB=90° ∴∠E=90°-30°=60°； 故答案为：60° （Ⅱ）连结 ， ， . ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ 为直径， ∴ ， ∴ . （Ⅲ）连结 ， ， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ . ∵ 是圆的直径，∴ . ∴在 中，有 . ∴ . OD OC AC OD OC CD 2= = = ΔDOC DOC 60∠ = ° DAC 30∠ = ° EBD 30∠ = ° AB ACE 90∠ = ° E 90 30 60∠ = °− ° = ° OD OC OD OC CD 2= = = ΔDOC DOC 60∠ = ° CBD 30∠ = ° AB ADB 90∠ = ° ΔBED BED 180 CBD ADB 60∠ ∠ ∠= °− − = ° AEC BED 60∠ ∠= = °15 25．如图，已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 M 在⊙O 上， ． （1）判断 BC、MD 的位置关系，并说明理由； （2）若 AE＝16，BE＝4，求线段 CD 的长． 【答案】（1）BC∥MD，见解析；（2）CD 的长是 16． 【解析】（1）BC、MD 的位置关系是平行， 理由：∵∠M＝∠D， ∴ ， ∴∠M＝∠MBC， ∴BC∥MD； （2）连接 OC， ∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，AE＝16，BE＝4， ∴ ， ∴ ， M D∠ = ∠  BD MC= 90 20OEC EC ED AB AE BE∠ = ° = = + =， ， 10, 6OC OB OE OB BE= = = − =16 ∴ ， ∴ ， 即线段 CD 的长是 16． 26．如图，在 中， ， ，以 AB 为直径的半圆 O 交 AC 于点 D，点 E 是 上不 与点 B，D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F，连接 BE 并延长交 AC 于点 G． （1）求证： ； （2）填空： ①若 ，且点 E 是 的中点，则 DF 的长为　 　； ②取 的中点 H，当 的度数为　 　时，四边形 OBEH 为菱形． 【答案】（1）见解析（2）① ②30° 【解析】 解：（1）证明：如图 1， ， ， AB 是 的直径， ， 2 2 8CE OC OE= − = 2 16CD CE= = ABC∆ BA BC= 90ABC °∠ = BD ADF BDG∆ ≅ ∆ =4AB BD AE EAB∠ 4 2 2− BA BC= 90ABC °∠ = 45BAC °∴∠ =  O 90ADB AEB °∴∠ = ∠ = 90DAF BGD DBG BGD °∴∠ ∠ = ∠ ∠+ =+ DAF DBG∴∠ = ∠ 90ABD BAC °∠ + ∠ =17 ； （2）①如图 2，过 F 作 于 H， 点 E 是 的中点， ， ， ，即 ， ，即 ， 故答案为 ． 45ABD BAC °∴∠ = ∠ = AD BD∴ = ( )ADF BDG ASA∴∆ ≅ ∆ FH AB⊥  BD BAE DAE∴∠ = ∠ FD AD⊥ FH AB⊥ FH FD= 2sin sin 45 2 FH ABDBF °= ∠ = = 2 2 FD BF ∴ = 2BF FD= 4AB = 4cos45 2 2BD °∴ = = 2 2BF FD+ = ( 2 1) 2 2FD+ = 2 2 4 2 2 2 1 FD∴ = = − + 4 2 2−18 ②连接 OE，EH， 点 H 是 的中点， ， 四边形 OBEH 为菱形， ． 故答案为：  AE OH AE∴ ⊥ 90AEB °∠ = BE AE∴ ⊥ BE OH∴ ∥  1 2BE OH OB AB∴ = = = 1sin 2 BEEAB AB ∴ ∠ = = 30EAB °∴∠ = 30°