2020年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程测试卷（含解析新人教版）.docx

1 专题 04 21.3 实际问题与一元二次方程测试卷 一、单选题 1．一个菱形的边长是方程 的一个根，其中一条对角线长为 8，则该菱形的面积为（　　） A．48 B．24 C．24 或 40 D．48 或 80 【答案】B 【解析】 解： ， 所以 ， ， ∵菱形一条对角线长为 8， ∴菱形的边长为 5， ∴菱形的另一条对角线为 ， ∴菱形的面积 ． 故选：B． 2．为了美化校园环境，加大校园绿化投资．某区前年用于绿化的投资为 18 万元，今年用于绿化的投资为 33 万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为 x，则（　　） A．18（1+2x）＝33 B．18（1+x2）＝33 C．18（1+x）2＝33 D．18（1+x）+18（1+x）2＝33 【答案】C 【解析】 由题意可得， 18（1+x）2＝33， 故选：C． 3．扬帆中学有一块长 ，宽 的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学 设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为 ，则可列方程为（　　） 2 8 15 0x x− + = ( )( )5 3 0x x− − = 1 5x = 2 3x = 2 22 5 4 6− = 1 6 8 242 = × × = 30m 20m xm2 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设花带的宽度为 ，则可列方程为 ， 故选：D． 4．若等腰三角形的三边长均满足方程 x2﹣7x+10＝0，则此三角形的周长为（　　） A．9 B．12 C．9 或 12 D．不能确定 【答案】B 【解析】 解：（x﹣2）（x﹣5）＝0， x﹣2＝0 或 x﹣5＝0， 所以 x1＝2，x2＝5， 因为 2+2＝4＜5， 所以等腰三角形的三边长分别为 5，5，2， 所以等腰三角形的周长为 12． 故选：B． 5．把一根长 9m 的钢管截成 1m 长和 2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中 1m 长的钢管 有 a 根，则 a 的值可能有（　　） A．3 种 B．4 种 C．5 种 D．9 种 【答案】B 【解析】 解：设 的钢管 根，根据题意得： ( )( ) 330 20 20 304x x− − = × × ( )( ) 130 2 20 20 304x x− − = × × 130 2 20 20 304x x+ × = × × ( )( ) 330 2 20 20 304x x− − = × × xm 330 2 20 20 3( 4( ) ) 0x x− − = × × 2m b3 ， 、 均为整数， ， ， ， ． 故选：B． 6．方程 的整数解有（ ） A．3 组 B．4 组 C．5 组 D．6 组 【答案】D 【解析】 解： ∵x 是整数解 ∴x=-1，y2-4y+4=0，解得 y=2； x=0，y2-3y=0，解得 y=0 或 y=3； x=1，y2-2y-2=0，y 没有整数解； x=2，y2-y-2=0，解得 y=-1 或 y=2； x=3，y2=0，解得 y=0. 故选：D. 7．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出 同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是 ，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设这种植物每个支干长出 个小分支， 依题意，得： ， 解得： （舍去）， ． 2 9a b+ = a b 1 4 a b =∴ = 3 3 a b =  = 5 2 a b =  = 7 1 a b =  = 2 2 3( )x xy y x y+ + = + 2 2 3( )x xy y x y+ + = + ( ) ( ) 2 2 2 2 ( 3) 3 0 ( 3) 4 3 0 1 3 y x y x x x x x x + − + − = ∆ = − − − ∴−    43 4 5 6 7 x 21 43x x+ + = 1 7x = − 2 6x =4 故选：C． 8．某学校拟建一间矩形活动室，一面靠墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 1m 宽的门，已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为 27m，建成后的活动室面积为 75m2，求矩形活动室 的长和宽，若设矩形宽为 x，根据题意可列方程为( ) A．x(27﹣3x)＝75 B．x(3x﹣27)＝75 C．x(30﹣3x)＝75 D．x(3x﹣30)＝75 【答案】C 【解析】 解：设矩形宽为 xm，则矩形的长为(30﹣3x)m， 根据题意得：x(30﹣3x)＝75． 故选：C． 9．一水果商某次按一定价格购进一批苹果，销售过程中有 20%的苹果正常损耗.则该水果商按一定售价卖 完苹果正好不亏不赚，则售价应该在定价基础上加价(本题不考虑税收等其他因素)( ) A．50% B．40% C．25% D．20% 【答案】C 【解析】 设水果购进的价格为 a，售价应该在定价基础上加价为 x，根据题意得： a(1+x)×(1﹣20%)=a， 解得：x=0.25=25%， 故选 C. 10．某公司今年 4 月的营业额为 2500 万元，按计划第二季度的总营业额要达到 9100 万元，设该公司 5、6 两月的营业额的月平均增长率为 x．根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． 22500(1 ) 9100x+ ＝ 22500(1 %) 9100x+ ＝ 22500(1 ) 2500(1 ) 9100x x+ + + ＝5 D． 【答案】D 【解析】 解：设该公司 5、6 两月的营业额的月平均增长率为 x．根据题意列方程得： ． 故选：D． 11．我国古代伟大的数学家刘微将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的 直角三角形．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示若 a＝3，b＝4，则该三角形的 面积为（　　） A．10 B．12 C． D． 【答案】B 【解析】 解：设小正方形的边长为 x， ∵a＝3，b＝4， ∴AB＝3+4＝7， 在 Rt△ABC 中，AC2+BC2＝AB2， 即（3+x）2+（x+4）2＝72， 整理得，x2+7x﹣12＝0， 而长方形面积为 x2+7x+12＝12+12＝24 ∴该三角形的面积为 12， 故选：B． 22500 2500(1 ) 2500(1 ) 9100x x+ + + + ＝ 22500 2500 1 2500 1 9100x x+ + + +（ ） （ ）＝ 99 8 53 46 12．如图是某公司今年 1～5 月份的收入统计表（有污染，若 2 月份，3 月份的增长率相同，设它们的增长 率为 x，根据表中信息，可列方程为（　　） 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 1 ▄ 4 5 ▄ A．（1+x）2＝4﹣1 B．（1+x）2＝4 C．（1+2x）2＝7 D．（1+x）（1+2x）＝4 【答案】B 【解析】 解：设 2 月份，3 月份的增长率为 x，依题意有 1×（1+x）2＝4， 即（1+x）2＝4． 故选：B． 13．一个长 30cm，宽 20cm 的长方形纸板，将四个角各剪去一个边长为 xcm 的小正方形后，剩余部分刚好 围成一个底面积为 200cm2 的无盖长方体盒子，根据题意可列方程（ ） A．(30﹣x)(20﹣x)＝200 B．(30﹣2x)(20﹣2x)＝200 C．30×20﹣4x2＝200 D．30×20﹣4x2﹣(30+20)x＝200 【答案】B 【解析】 解：由题意可得， （30-2x）（20-2x）=200， 故选：B． 14．宾馆有 50 间房供游客居住，当每间房每天定价为 180 元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加 10 元时，就会空闲一间房.如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 20 元的费用.当房价定为 元x7 时，宾馆当天的利润为 10890 元.则有( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】房价定为 元，由题意得 ， 故选 C. 15．某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学， 第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有 36 人会做这个实验；若设 1 人每次都能 教会 x 名同学，则可列方程为( ) A．x+(x+1)x＝36 B．1+x+(1+x)x＝36 C．1+x+x2＝36 D．x+(x+1)2＝36 【答案】B 【解析】 设 1 人每次都能教会 x 名同学， 根据题意得：1+x+(x+1)x＝36． 故选：B． 16．用总长 10m 的铝合金材料做一个如图所示的窗框（不计损耗），窗框的上部是等腰直角三角形，下部是 两个全等的矩形，窗框的总面积为 3m2（材料的厚度忽略不计）．若设等腰直角三角形的斜边长为 xm，下列 方程符合题意的是（　　） A． B． C． =3 D． =3 (180 20) 50 1089010 xx  + − − =   18050 50 20 1089010 xx − − − × =   180( 20) 50 1089010 xx − − − =   ( 180) 50 50 20 1089010 xx  + − − × =   x ( ) x 180x 20 50 1089010 − − − =   3(2 2) 3( ) 104 xx x − + − = 3(2+ 2) 3( + ) 104 xx x + = 210 2 2 1 3 2 x xx x − −⋅ + 210 2 2 1 3 4 x xx x − −⋅ +8 【答案】D 【解析】 设等腰直角三角形的斜边长为 xm，则等腰直角三角形的直角边长为 xm，下部两个全等矩形合成的大矩 形的长为 xm，宽为 ， 依题意，得：x• + ×（ x）2＝3， 即 =3 故选：D． 二、填空题 17．一条长 64cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形．若两个正方形的面积和等于 160cm²，则两个正 方形的边长分别为_________． 【答案】12cm 和 4cm． 【解析】 设一个正方形的边长为 xcm ∵正方形的四边相等 ∴此正方形的周长是 4xcm,另一个正方形的边长是 cm 根据题意得 x2+ 2=160 解得 x1=12；x2=4. 当 x=12 时, =4； 当 x=4 时, =12， 所以另一个正方形的边长为 4 或 12. 答：两个正方形的边长为 12 厘米和 4 厘米， 故答案为：12 厘米和 4 厘米. 2 2 10 2 2 3 x x− − 10 2 2 3 x x− − 1 2 2 2 210 2 2 1 3 4 x xx x − −⋅ + 64-4 4 x 64-4 4 x（ ） 64-4 4 x 64-4 4 x9 18．一个两位数，它的个位数与十位数的和是 12，而这两个数的积比这个两位数少 16 ，这个两位数是 ____。 【答案】48 【解析】 设十位数字为 x，则个位数字为 12−x x(12−x)=10x+(12−x)−16 解得 x1=4,x2=−1(不合题意,舍去) ∴12−x=8 ∴两位数是 4×10+8=48. 故答案为 48. 19．如图，将正方形 ABCD 剪成左图所示的四块，恰好能拼成右图所示的矩形．若 EC＝1，则 BE＝_____． 【答案】1 + 5 2 　． 【解析】 设 BE＝b，EC＝a，依题意得(a+b)2＝b(b+a+b)， 而 a＝1， ∴b2﹣b﹣1＝0， ∴b＝1 ± 5 2 ，而 b 不能为负， ∴BE＝b＝1 + 5 2 ， 故答案为：1 + 5 2 ．10 20．一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取 了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件．当每件商品降价多 少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？若设降价 x 元，可列方程___________． 【答案】 【解析】 设衬衫的单价应下降 x 元， 由题意得：（20+2x）×（40-x）=1200， 故答案为： ． 三、解答题 21．某农机厂四月份生产某型号农机 台，第二季度（包括四、五、六三个月）共生产该型号农机 台.求该农机厂五、六月份平均增长率. 【答案】五、六月份平均增长率为 . 【解析】 解：设五、六月份平均增长率为 . 根据题意得， 解得， （不符合题意舍去） 答：五、六月份平均增长率为 . 22．如图所示，甲、乙两块边长为 a 米（a＞1）的正方形田地，甲地修了两条互相垂直的宽为 1 米的通道， 乙地正中间修了边长为 1 米的蓄水池，甲乙两田地的剩余地方全部种植小麦，一年后收获小麦 m 千克．（m＞ 0） （1）甲地的小麦种植面积为　 　平方米，乙地的小麦种植面积为　 　平方米； （2）甲乙两地小麦种植面积较小的是　 　地； （3）若高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍，求 a 的值． 【答案】（1）（a﹣1）2，（a2﹣1）；（2）甲；（3）a 的值为 99． ( )( )40 20 2 1200x x− + = ( )( )40 20 2 1200x x− + = 500 1820 20% x ( ) ( )2500 500 1 500 1 1820x x+ + + + = 1 20.2, 3.2x x= = − 20% 50 4911 【解析】 解：（1）甲地的小麦种植面积为：（a﹣1）2（平方米）； 乙地的小麦种植面积＝a2﹣12＝a2﹣1（平方米）． 故答案为：（a﹣1）2，（a2﹣1）； （2）∵（a﹣1）2﹣（a2﹣1）＝a2﹣2a+1﹣a2+1＝﹣2a+2＝﹣2（a﹣1）， 又 a＞1，∴a﹣1＞0， ∴﹣2（a﹣1）＜0， ∴（a﹣1）2＜a2﹣1， ∴甲乙两地小麦种植面积较小的是甲地． 故答案为甲； （3）∵高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍， ∴ ＝ × ， 整理，得 a2﹣100a+99＝0， 解得 a1＝1（舍去），a2＝99， 经检验，a＝99 是原方程的根． 故所求 a 的值为 99． 23． 公司 年使用自主研发生产的“ ”系列甲、乙、丙三类芯片共 万块，生产了 万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的 倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多 万块．这些“ ”芯片解决了该公司 年生产的全部手机所需芯片的 ． （1）求 年甲类芯片的产量； （2） 公司计划 年生产的手机全部使用自主研发的“ ”系列芯片．从 年起逐年扩大“ ” 芯片的产量， 年、 年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数 ，乙 类芯片的产量平均每年增长的百分数比 小 ，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增. 年到 年，丙类芯片三年的总产量达到 亿块．这样， 年的 公司的手机产量比 年全年的 手机产量多 ，求丙类芯片 年的产量及 的值． 【答案】（1） 万块；（2）丙类芯片 年的产量为 万块， ． 【解析】 （1）设 年甲类芯片的产量为 万块， HW 2018 QL 2800 2800 2 400 QL 2018 10% 2018 HW 2020 QL 2019 QL 2019 2020 %m %m 1 2018 2020 1.44 2020 HW 2018 10% 2020 m 400 2020 8000 400m = 2018 x12 由题意得： ， 解得： ； 答： 年甲类芯片的产量为 万块； （2） 年万块丙类芯片的产量为 万块， 设丙类芯片的产量每年增加的数量为 万块， 则 ， 解得： ， 丙类芯片 年的产量为 万块， 年 公司手机产量为 万部， ， 设 ， 化简得： ， 解得： ，或 （舍去）， ， ， ； 答：丙类芯片 年的产量为 万块， ． 24．某淘宝网店销售台灯，每个台灯售价为 60 元，每星期可卖出 300 个，为了促销，该网店决定降价销 售．市场调查反映：每降价 1 元，每星期可多卖 30 个．已知该款台灯每个成本为 40 元， （1）若每个台灯降 x 元( ),则每星期能卖出 个台灯，每个台灯的利润是 元． （2）在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得 6480 元的利润，应将每件的售价定为多少元？ 【答案】（1）(300+30x) ，(20-x) ；（2）定价为 52 元. 【解析】 （1）∵每降价 1 元，每星期可多卖 30 个． ∴每个台灯降 x 元( ),则可多卖出 30x 个， ∴每星期能卖出（300+30x）个台灯， ( )2 2 400 2800x x x x+ + + + = 400x = 2018 400 2018 3 400 1600x + = y 1600 1600 1600 2 14400y y+ + + + = 3200y = ∴ 2020 1600 2 3200 8000+ × = 2018 HW 2800 10% 28000÷ = ( ) ( )2 2400 1 % 2 400 1 % -1m m+ + × + ( )8000 28000 1 10%+ = × + %m t= 23 2 56 0t t+ − = 4t = 14 3t = − ∴ 4t = ∴ % 4m = ∴ 400m = 2020 8000 400m = 0x > 0x >13 降价前每个台灯的利润为：60-40=20 元， 由于每个台灯降价 x 元，所以降价后每个台灯的利润为：（20-x）元； （2）设每个台灯降 x 元，根据题意得， (20-x)(300+30x)=6480, 解得 x=8,x=2(舍去） ∴定价为 52 元 答：在顾客得实惠的前提下，该淘宝网店还想获得 6480 元的利润，应将每件的售价定为 52 元 25．在 Rt△ABC 中，∠B=900，AC=100cm, ∠A=600,点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4cm/s 的速度向点 A 匀速运 动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/s 的速度向点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点 也随之停止运动，设点 D、E 运动的时间是 t 秒（0＜t≤25）过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，连结 DE、EF。 （1）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？若能，求相应的 t 值，若不能，请说明理由。 （2）当 t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由。 【答案】（1）能，10；（2） 或 12,理由见解析. 【解析】 解：（1）能， ∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°﹣∠A=30°， ∴AB= AC= ×60=30cm。 ∵CD=4t，AE=2t， 又∵在 Rt△CDF 中，∠C=30°，∴DF= CD=2t。∴DF=AE。 ∵DF∥AB，DF=AE，∴四边形 AEFD 是平行四边形。 当 AD=AE 时，四边形 AEFD 是菱形，即 60﹣4t=2t，解得：t=10。 ∴当 t=10 时，AEFD 是菱形。 15 2 1 2 1 2 1 214 （2）若△DEF 为直角三角形，有两种情况： ①如图 1，∠EDF=90°，DE∥BC， 则 AD=2AE，即 60﹣4t=2×2t，解得：t= 。 ②如图 2，∠DEF=90°，DE⊥AC， 则 AE=2AD，即 2t =2×60-8t，解得：t=12。 综上所述，当 t= 或 12 时，△DEF 为直角三角形 26．某文明小区 50 平方米和 80 平方米两种户型的住宅，50 平方米住宅套数是 80 平方米住宅套数的 2 倍．物 管公司月底按每平方米 2 元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费． （1）该小区每月可收取物管费 90 000 元，问该小区共有多少套 80 平方米的住宅？ （2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司 5 月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50 平方米和 80 平方米的住户分别有 40%和 20%参加了此次括动．为提离大家的积扱性，6 月份准备把活动一升级为活动二： “拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活 动二的住户会大幅增加，这样，6 月份参加活动的 50 平方米的总户数在 5 月份参加活动的同户型户数的基 15 2 2 2(60 4 )t t= − 15 215 础上将增加 ，每户物管费将会减少 ；6 月份参加活动的 80 平方米的总户数在 5 月份参加活动的 同户型户数的基础上将增加 ，每户物管费将会减少 ．这样，参加活动的这部分住户 6 月份总共 缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少 ，求 的值． 【答案】（1）该小区有 250 套 80 平方米住宅；（2） 的值为 50. 【解析】 （1）解：设该小区有 x 套 80 平方米住宅，则 50 平方米住宅有 2x 套. 由题意得知： 解得 答：该小区有 250 套 80 平方米住宅. （2） 参与活动一： 50 平方米住宅每户所交物管费为 100 元，有 套参与活动一， 80 平方米住宅每户所交物管费为 160 元，有 套参与活动二， 参与活动二： 50 平方米住宅每户所交物管费为 元，有 套参与活动一； 80 平方米住宅每户所交物管费为 元，有 50 套参与活动二； 由题意得： 令 . 化简得： . 解得： （舍去）， 2 %a 3 %10 a 6 %a 1 %4 a 5 %18 a a a 2 (50 2 80 ) 90000x x× × + = 250x = 500 40% 200× = 250 20% 50× = 3100 1 %10 a × −   200 (1 2 %)a× + 1160 1 %4 a × −   50 (1 6 %)a× + 3 1200 (1 2 %) 100 1 % 50 (1 6 %) 160 1 %10 4a a a a   × + ⋅ × − + × + ⋅ × − =       [ ] 5200 (1 2 %) 100 50 (1 6 %) 160 1 %18a a a × + ⋅ + × + ⋅ −   %t a= ( )2 1 0t t − = 1 0t = 2 1 2t =16 （舍去） 答： 的值为 50. 50a∴ = 0a = a