1
专题 22.1 二次函数的图象和性质（测试）
一、单选题
1．抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【解析】解：∵ ，
∴抛物线顶点坐标为 ，对称轴为 ．
故选：C．
2．将抛物线 y=﹣3x2+1 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后所得到的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】抛物线 y=﹣3x2+1 的顶点坐标为（0，1），将抛物线向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位，则
平移后抛物线的顶点为（1，3），则 y=-3 +3.
3．如图，二次函数 的图象经过点 ， ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【解析】由图象可知图象与 y 轴交点位于 y 轴正半轴，故 c>0. A 选项错误；
函数图象与 x 轴有两个交点，所以 ＞0，B 选项错误；
观察图象可知 x＝－1 时 y=a－b＋c＞0，所以 a－b＋c＞0，C 选项错误；
根据图象与 x 轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线， ，
23 6 2y x x= − + +
2x = 2x = − 1x = 1x = −
2 23 6 2 3( 1) 5y x x x= − + + = − − +
(1,5) 1x =
23( 1) 1y x= − + − 23( 1) 3y x= − + +
23( 1) 1y x= − − + 23( 1) 3y x= − − +
21x −（ ）
2y ax bx c= + + ( )1,0A ( )5,0B
0c < 2 4 0b ac− <
0a b c− + < 3x =
2 4b ac−
1 5
2x
+=2
x＝3 即为函数对称轴，D 选项正确；
故选 D
4．一个二次函数的图象过（ ，5），（1，1）和（3，5）三个点，则这个二次函数的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设二次函数的解析式为 ，
由于图象过( ，5)，(1，1)和(3，5)三个点，把它们分别代入解析式得，
，
解得： ，
所以二次函数的关系式为 ，
故选 B．
5．如图，抛物线 的对称轴为直线 ，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A、由抛物线的开口向下知 ，与 轴的交点在 轴的正半轴上，可得 ，因此 ，故
本选项正确，不符合题意；
B、由抛物线与 轴有两个交点，可得 ，故本选项正确，不符合题意；
C、由对称轴为 ，得 ，即 ，故本选项错误，符合题意；
D、由对称轴为 及抛物线过 ，可得抛物线与 轴的另外一个交点是 ，所以 ，
1−
2 2 2y x x−= − + 2 2 2y x x−= + 2 2 1y x x= − + 2 2 2y x x−= −
2y ax bx c= + +
1−
5
1
9 3 5
a b c
a b c
a b c
− + =
+ + =
+ + =
1
2
2
a
b
c
=
= −
=
2 2 2y x x−= +
2y ax bx c= + + 1x =
0ac < 2 4 0b ac− > 2 0a b− = 0a b c− + =
0a < y y 0c > 0ac <
x 2 4 0b ac− >
12
bx a
= − = 2a b= − 2 0a b+ =
1x = (3,0) x ( 1,0)− 0a b c− + =3
故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
6．已知抛物线 （ 为常数， ），其对称轴是 ，与 轴的一个交点在 ，
之间.有下列结论：① ；② ；③若此抛物线过 和 两点，则
，其中，正确结论的个数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵抛物线的对称轴为 x=1，
∴ ，∵
∴
∵抛物线与 x 轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是 x=1，
∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，
∴抛物线与 y 轴的正半轴相交，∴
∴ ，①正确；
∵抛物线与 x 轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，
∴当 x=-1 时，y=a-b+c＜0，故②错误；，
∵抛物线的对称轴为 x=1，
∴ 与（4， ）关于对称轴对称，
∵抛物线开口向下，当 x 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ ，故③正确，
故选：C．
7．将抛物线 y=2x2 经过怎样的平移可得到抛物线 y=2(x+3)2+4（ ）
A．先向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位 B．先向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位
C．先向右平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位 D．先向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位
【答案】A
【解析】抛物线 y=2x2 的顶点坐标为（0，0），抛物线 y=2（x+3）2+4 的顶点坐标为（-3，4），
点（0，0）需要先向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位得到点（-3，4）．
∴抛物线 y=2x2 先向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位得到抛物线 y=2（x+3）2+4．
2y ax bx c= + + , ,a b c 0a < 1x = x ( )2,0
( )3,0 0abc < 0a b c− + = ( )12, y− ( )23, y
1 2y y<
0 1 2 3
b 12a
− = a 0<
b 0>
c 0>
abc 0<
( )12, y− 1y
1>
1 2y y
y x＝ 2y x
= − 2y x＝ 2y x＝﹣
( ) ( )1, , 1,A m B m−
∴ A B y
y x y＝ ， ＝ 2
x
− ,A B
0n ＞ ，
m n m∴ ﹣ ＜ ；
( ) ( )1, , 2,B m C m n− y x
0a < y x
D∴
D
2 4y x bx= − + + ( 2, )n− (4, )n6
【解析】解：抛物线 经过 和 两点，
可知函数的对称轴 ，
，
；
，
将点 代入函数解析式，可得 ；
故选：B．
13．已知抛物线 ，顶点为 D，将 C 沿水平方向向右（或向左）平移 m 个单位，得到抛
物线 ，顶点为 ，C 与 相交于点 Q，若 ，则 m 等于（ ）
A． B． C．﹣2 或 D．﹣4 或
【答案】A
【解析】抛物线 沿水平方向向右（或向左）平移 m 个单位得到
∴ ， ，
∴Q 点的横坐标为： ，
代入 求得 ，
若 ，则 是等腰直角三角形，
∴ ，
2 4y x bx= − + + ( 2, )n− (4, )n
=1x
12
b∴ =
2b∴ =
2 2 4y x x∴ = − + +
( 2, )n− =-4n
21: ( 1) 12C y x= − −
1C 1D 1C 1 60DQD °∠ =
4 3± 32± 2 3 4 3
21: ( 1) 12CC y x= − −
21 ( 1) 12y x m= − − −
(1, 1)D − 1( 1, 1)D m + −
2
2
m +
21 ( 1) 12y x= − −
22 , 12 8
m mQ
+ −
1 60DQD °∠ = 1DQD∆
1 | |QD DD m= =7
由勾股定理得， ，
解得 ，
故选：A．
14．如图，抛物线 与 轴相交于 、 两点，点 在点 左侧，顶点在折线 M-P-N 上移动，
它们的坐标分别为 、 、 .若在抛物线移动过程中，点 横坐标的最小值为-3，则
的最小值是（ ）
A．-15 B．-12 C．-4 D．-2
【答案】A
【解析】解：由题意得：当顶点在 M 处，点 A 横坐标为-3，
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）2+4，
将点 A 坐标（-3，0）代入上式得：0=a（-3+1）2+4，
解得：a=-1，
顶点在 N 处，抛物线的表达式为：y=-（x-3）2+1，
当顶点在 N 处时，y=a-b+c 取得最小值，
当 x=-1 时，y=a-b+c=-（-1-3）2+1=-15，
故选：A．
15．在平面直角坐标系内，已知点 A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线 上，若抛物线y＝ax2﹣x+1
（a≠0）与线段 AB 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是（ ）
22 2
22 1 1 12 8
m m m
+ − − + =
+
4 3m = ±
2y ax bx c= + + x A B A B
( 1,4)M − (3,4)P (3,1)N A
a b c− +
1 1
2 2y x= +8
A．a≤﹣2 B．a＜ C．1≤a＜ 或 a≤﹣2D．﹣2≤a＜
【答案】C
【解析】∵抛物线 y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段 AB 有两个不同的交点，
∴令 ＝ax2﹣x+1，则 2ax2﹣3x+1＝0
∴△＝9﹣8a＞0
∴a＜
①当 a＜0 时，
解得：a≤﹣2
∴a≤﹣2
②当 a＞0 时，
解得：a≥1
∴1≤a＜
综上所述：1≤a＜ 或 a≤﹣2
故选：C．
二、填空题
16．若一条抛物线与 的形状相同且开口向上，顶点坐标为（0，2），则这条抛物线的解析式为
9
8
9
8
9
8
1 1
2 2x +
9
8
1 1 0
1 1 1
a
a
+ + ≤
− + ≤
1 1 0
1 1 1
a
a
+ + ≥
− + ≥
9
8
9
8
21
2y x=9
_____．
【答案】
【解析】根据题意设抛物线解析式为 ，
把(0，2)代入得：b=2，
则抛物线解析式为 ，
故答案为： .
17．若二次函数 y=ax2−bx+5(a≠0)的图象与 x 轴交于(1,0)，则 b−a+2014 的值是______.
【答案】2019
【解析】解：根据题意，将（1，0）代入得：a-b+5=0，
则 a-b=-5，
∴b-a+2014=-（a-b）+2014=5+2014=2019，
故答案为：2019．
18．如图，抛物线 与 x 轴相交于 两点，与 轴相交于点 ，点 在抛物线上，且
． 与 轴相交于点 ，过点 的直线 平行于 轴，与拋物线相交于 两点，则线段
的长为_____．
【答案】
【解析】解：由图可知，
21 +22y x=
21 +2y x b=
21 +22y x=
21 +22y x=
21 1 24 2y x x= − + + ,A B y C D
/ /CD AB AD y E E PQ x ,P Q
PQ
2 510
当 时， ，
解得： ， ，
∴点 的坐标为 ；
当 时， ，
∴点 的坐标为(0，2)；
当 时， ，
解得： ， ，
∴点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
将 ， 代入 ，得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ．
当 时， ，
∴点 的坐标为 ．
0y = 21 1 2 04 2x x− + + =
1 2x = − 2 4x =
A ( 2,0)−
0x = 21 1 2 24 2y x x= − + + =
C
2y = 21 1 2 24 2x x− + + =
1 0x = 2 2x =
D (2,2)
AD ( 0)y kx b k= + ≠
( 2,0)A − (2,2)D y kx b= +
2 0
2 2
k b
k b
− + =
+ =
1
2
1
k
b
=
=
AD 1 12y x= +
0x = 1 1 12y x= + =
E (0,1)11
当 时， ，
解得： ， ，
∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
19．关于 x 的二次函数 的图象与 x 轴交于点 和点 ，与 y 轴交于点
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标.
【答案】（1） （2）对称轴：直线 ；顶点坐标为 .
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为 y=a（x+1）（x-3），
将 C（0，3）代入得：3=-3a，解得 a=-1，
∴抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3．
（2）y=-x2+2x+3=- ．
∴对称轴：直线 ；顶点坐标为 .
20．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（0，2），B（2，2），抛物线 F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2．
（1）求抛物线 F 的顶点坐标（用含 m 的式子表示）；
（2）当抛物线 F 与线段 AB 有公共点时，直接写出 m 的取值范围．
【答案】（1）F 的顶点坐标（m，﹣2）；（2）﹣2≤m≤0，2≤m≤4.
【解析】（1）由函数解析式 y＝x2﹣2mx+m2﹣2，根据函数的对称轴公式可得其对称轴为 x= m，则 x= m 代入
函数可得 y＝-2，故得到顶点坐标为（m，﹣2）；
1y = 21 1 2 14 2x x− + + =
1 1 5x = − 2 1 5x = +
P (1 5,1)− Q (1 5,1)+
1 5 (1 5) 2 5PQ = + − − =
2 5
2y ax bx c= + + ( )1,0A − ( )3,0B ( )0,3C
2y x 2x 3= − + + 1x = ( )1,4
2x 1 4− +（ ）
1x = ( )1,412
（2）当 m≤0 时，抛物线 F 与线段 AB 有公共点时，
令 x＝0，则 m2﹣2≤2，
∴﹣2≤m≤2，
∴﹣2≤m≤0；
当 0＜m＜2 时，抛物线 F 与线段 AB 有公共点时，
m2﹣2＞2 或 m2﹣4m+2＞2，
∴m＞2 或 m＜﹣2 或 m＞4 或 m＜0，
∴m 不存在；
当 m≥2 时，抛物线 F 与线段 AB 有公共点时，
令 x＝2，则 m2﹣4m+2≤2，
∴0≤m≤4，
∴2≤m≤4；
综上所述：﹣2≤m≤0，2≤m≤4；
21．已知：二次函数 (a 为常数)．
(1)请写出该二次函数图象的三条性质；
(2)在同一直角坐标系中，若该二次函数的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个交点，
求 的取值范围．
【答案】(1)见解析；(2) ．
【解析】(1)①图象开口向上；②图象的对称轴为直线 ；③当 时， 随 的增大而增大；④当
时， 随 的增大而减小；⑤当 时，函数有最小值；
(2)∵二次函数的图象与一次函数 的图象有两个交点，
∴ ，即 ，
，解得 ，
∵二次函数的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个交点，
∴二次函数 的图象与 轴 的部分有两个交点，
画出二次函数 的图象，结合图象，
2 4 3 2y x x a= − + +
4x ≤ 2 1y x= −
a
5 23 a≤ <
2x = 2x > y x 2x <
y x 2x =
2 1y x= −
2 4 3 2 2 1x x a x− + + = − 2 6 3 3 0x x a− + + =
36 4(3 3) 12 24 0a a∆ = − + = − + > 2a <
4x ≤ 2 1y x= −
2 6 3 3w x x a= − + + x 4x ≤
2 6 3 3w x x a= − + +13
可知当 时， ，
∴当 时， ，得 ，
∴当二次函数的图象在 的部分与一次函数 的图象有两个交点时，
的取值范围为 ．
22．如图，抛物线 y＝﹣ x2﹣x+4 与 x 轴交于 A，B 两点(A 在 B 的左侧)，与 y 轴交于点 C．
(1)求点 A，点 B 的坐标；
(2)求△ABC 的面积；
(3)P 为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP 面积的最大值．
【答案】(1)A(﹣4，0)，B(2，0)；(2)S△ABC＝12；(3)当 x＝﹣2 时，△ACP 最大面积 4
【解析】解：(1)设 y＝0，则 0＝﹣ x2﹣x+4
∴x1＝﹣4，x2＝2
∴A(﹣4，0)，B(2，0)
(2)令 x＝0，可得 y＝4
4x = 2 6 3 3 0x x a− + + ≥
4x = 2 6 3 3 3 5 0x x a a− + + = − ≥ 5
3a ≥
4x ≤ 2 1y x= −
a 5 23 a≤ <
1
2
1
214
∴C(0，4)
∴AB＝6，CO＝4
∴S△ABC＝ ×6×4＝12
(3)如图：作 PD⊥AO 交 AC 于 D
设 AC 解析式 y＝kx+b
∴
解得：
∴AC 解析式 y＝x+4
设 P(t，﹣ t2﹣t+4)则 D(t，t+4)
∴PD＝(﹣ t2﹣t+4)﹣(t+4)＝﹣ t2﹣2t＝﹣ (t+2)2+2
∴S△ACP＝ PD×4＝﹣(t+2)2+4
∴当 x＝﹣2 时，△ACP 最大面积 4
23．如图，已知抛物线 的顶点为 ，与 轴相交于点 ，对称轴为直线 ，
点 是线段 的中点.
（1）求抛物线的表达式；
1
2
{4=b
0=-4k+b
{k=1
b=4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2y ax bx c= + + ( )4,3A y ( )0, 5B − l
M AB15
（2）写出点 的坐标并求直线 的表达式；
（3）设动点 ， 分别在抛物线和对称轴 l 上，当以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形时，
求 ， 两点的坐标.
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）点 、 的坐标分别为 或
、 或 ．
【解析】解：（1）函数表达式为： ，
将点 坐标代入上式并解得： ，
故抛物线的表达式为： ；
（2） 、 ，则点 ，
设直线 的表达式为： ，
将点 坐标代入上式得： ，解得： ，
故直线 的表达式为： ；
（3）设点 、点 ，
①当 是平行四边形的一条边时，
点 向左平移 2 个单位、向下平移 4 个单位得到 ，
同样点 向左平移 2 个单位、向下平移 4 个单位得到 ，
即： ， ，
解得： ， ，
故点 、 的坐标分别为 、 ；
②当 是平行四边形的对角线时，
由中点定理得： ， ，
解得： ， ，
M AB
P Q A P Q M
P Q
21 4 52
= − + −y x x ( )2, 1−M 2 5y x= − P Q ( )6,1
( )2,1 ( )4, 3− ( )4,1
( )24 3y a x= = +
B 1
2a = −
21 4 52
= − + −y x x
( )4,3A ( )0, 5B − ( )2, 1−M
AB 5y kx= −
A 3 4 5k= − 2k =
AB 2 5y x= −
( )4,Q s 21, 4 52P m m m − + −
AM
A M
21, 4 52P m m m − + −
( )4,Q s
2 4m − = 21 4 5 42 m m s− + − − =
6m = 3s = −
P Q ( )6,1 ( )4, 3−
AM
4 2 4m+ = + 213 1 4 52 m m s− = − + − +
2m = 1s =16
故点 、 的坐标分别为 、 ；
故点 、 的坐标分别为 或 、 或 ．
24．如图，已知抛物线 y＝x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B，AB＝2，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 x＝2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设 D 为抛物线的顶点，连接 DA、DB，试判断△ABD 的形状，并说明理由；
（3）设 P 为对称轴上一动点，要使 PC﹣PB 的值最大，求出 P 点的坐标．
【答案】（1）抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x+3；（2）△ADB 是等腰直角三角形；理由见解析；（3）P
（2，﹣3）．
【解析】
（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线 x＝2．
∴点 A 的坐标是（1，0），点 B 的坐标是（3，0）．
∵抛物线 y＝x2+bx+c 与 x 轴交于点 A，B，
∴1、3 是关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c＝0 的两根．
由韦达定理，
1+3＝﹣b，1×3＝c，
∴b＝﹣4，c＝3，
∴抛物线的函数表达式为 y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴D（2，﹣1），
∴AD2+BD2＝（2﹣1）2+（﹣1）2+（2﹣3）2+（﹣1）2＝4，
P Q ( )2,1 ( )4,1
P Q ( )6,1 ( )2,1 ( )4, 3− ( )4,117
∵AB2＝22＝4，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ADB 是直角三角形，
由对称性有 AD＝BD，
∴△ADB 是等腰直角三角形；
（3）连接 CA，延长 CA 与直线 x＝2 交于点 P，连接 BP，如图 2，
∵A、B 两点关于直线 x＝2 对称，
∴PB＝PA，
∴PC﹣PB＝PC﹣PA＝AC 其值最大（∵另取一点 P′，有 P′C﹣P′B＝P′C﹣P′A＜AC），
令 x＝0，得 y＝x2﹣4x+3＝3，
∴C（0，3），
∵A（1，0），
∴易求直线 AC 的解析式为：y＝﹣3x+3，
当 x＝2 时，y＝﹣3x+3＝﹣3，
∴P（2，﹣3）．
25．已知，点 为二次函数 图象的顶点，直线 分别交 轴正半轴， 轴
于点 .
（1）如图 1，若二次函数图象也经过点 ，试求出该二次函数解析式，并求出 的值.
（2）如图 2，点 坐标为 ，点 在 内，若点 ， 都在二次函数图象上，试
比较 与 的大小.
M 2( ) 4 1y x b b= − − + + 5y mx= + x y
,A B
,A B m
A (5,0) M AOB∆ 1
1( , )4C y 2
3( , )4D y
1y 2y18
【答案】（1） , ；（2）①当 时， ；②当 时， ；③
当 时，
【解析】（1）如图 1，∵直线 与 轴交于点为 ，∴点 坐标为
又∵ 在抛物线上，∴ ，解得
∴二次函数的表达式为
∴当 时，得 ，
∴
代入 得， ，∴
（2）如图 2，根据题意，抛物线的顶点 为 ，即 点始终在直线 上，
∵直线 与直线 交于点 ，与 轴交于点 ，而直线 表达式为
解方程组 ，得
∴点 ，
∵点 在 内，∴
当点 关于抛物线对称轴（直线 ）对称时， ，∴
2( 2) 9y x= − − + 1m = − 10 2b< < 1 2y y> 1
2b = 1 2y y=
1 4
2 5b< < 1 2y y<
5y mx= + y B B (0,5)
(0,5)B 25 (0 ) 4 1b b= − − + + 2b =
2( 2) 9y x= − − +
0y = 1 5=x 2 1x = −
(5,0)A
5y mx= + 5 5 0m + = 1m = −
M ( ,4 1)b b + M 4 1y x= +
4 1y x= + AB E y F AB 5y x= − +
4 1
5
y x
y x
= +
= − +
4
5
21
5
x
y
=
=
4 21( , )5 5E (0,1)F
M AOB∆ 40 5b< <
,C D x b= 1 3
4 4b b− = − 1
2b =19
且二次函数图象的开口向下，顶点 在直线 上
综上：①当 时， ；②当 时， ；③当 时， .
M 4 1y x= +
10 2b< < 1 2y y> 1
2b = 1 2y y= 1 4
2 5b< < 1 2y y
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