2020年九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数讲解与练习（含解析新人教版）.docx

1 专题 22.3 实际问题与二次函数（讲练） 一、知识点 1、实物抛物线一般步骤 ① 据题意，结合函数图象求出函数解析式； ②确定自变量的取值范围； ② 据图象，结合所求解析式解决问题. 2、实际问题中求最值 ① 分析问题中的数量关系，列出函数关系式； ② 研究自变量的取值范围； ③ 确定所得的函数； ④ 检验 x 的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值； ④ 解决提出的实际问题. 3、结合几何图形 ① 根据几何图形的性质，探求图形中的关系式； ③ 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； ④ 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题 二、标准例题： 例 1：如图，斜坡AB 长 10 米，按图中的直角坐标系可用 y= x+5 表示，点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴上．在 坡上的 A 处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到 B 处，抛物线可用 y= x2+bx+c 表示． （1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）； （2）求水柱离坡面 AB 的最大高度； 3 3 − 1 3 −2 （3）在斜坡上距离 A 点 2 米的 C 处有一颗 3.5 米高的树，水柱能否越过这棵树？ 【答案】（1）y=- x2+ x+5；（2）当 x= 时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为 ；（3）水 柱能越过树，理由见解析 【解析】（1）∵AB=10、∠OAB=30°， ∴OB= AB=5、OA =10× =5 ， 则 A（5 ，0）、B（0，5）， 将 A、B 坐标代入 y=- x2+bx+c，得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为 y=- x2+ x+5； （2）水柱离坡面的距离 d=- x2+ x+5-（- x+5） =- x2+ x =- （x2-5 x） =- （x- ）2+ ， ∴当 x= 时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为 ； （3）如图，过点 C 作 CD⊥OA 于点 D， 1 3 4 3 3 5 3 2 25 4 1 2 3 2 3 3 1 3 1 75 5 3 03 5 b c c − × + + =  = 4 3 3 5 b c  =  = 1 3 4 3 3 1 3 4 3 3 3 3 1 3 5 3 3 1 3 3 1 3 5 3 2 25 4 5 3 2 25 43 ∵AC=2、∠OAB=30°， ∴CD=1、AD= ， 则 OD=4 ， 当 x=4 时，y=- ×（4 ）2+ ×4 +5=5＞1+3.5， 所以水柱能越过树． 总结：本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 例 2：某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用 20 长的篱笆围成一个矩形 （篱 笆只围 两边），设 . （1）若花园的面积为 96 ，求 的值； （2）若在 处有一棵树与墙 的距离分别是 11 和 5 ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考 虑树的粗细），求花园面积 的最大值. 【答案】（1） 的值为 8 或 12；（2）当 时， 的值最大，最大值为 99 【解析】解：（1） ， ， 的值为 8 或 12 （2）依题意得 ，得 当 时， 随 的增大而增大， 3 3 3 1 3 3 4 3 3 3 m ABCD ,AB BC AB x= m 2m x P ,CD AD m m S x 9x = S (20 ) 96x x− = 1 8x = 2 12x = x 5 20 11 x x ≥  − ≥ 5 9x≤ ≤ 2(20 ) ( 10) 100S x x x= − = − − + 5 9x≤ ≤ S x4 所以，当 时， 的值最大，最大值为 99 总结：此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行求解. 例 3：一家商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售、增加盈利，该店采 取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每 天可多售出 2 件 （1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为　 件； （2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1200 元？ （3）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大值是多少元？ 【答案】（1）26；（2）每件商品应降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元；（3）当每件商品降价 15 元时，该商店每天销售利润最大值为 1250 元． 【解析】（1）若降价 3 元，则平均每天销售数量为 20+2×3＝26 件． 故答案为：26； （2）设每件商品应降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1200 元，根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200 整理，得 x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20 要求每件盈利不少于 25 元 ∴x2＝20 应舍去，解得 x＝10 答：每件商品应降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1200 元． （3）设每件商品降价 n 元时，该商店每天销售利润为 y 元 则：y＝（40﹣n）（20+2n） y＝﹣2n2+60n+800 n＝﹣2＜0 ∴y 有最大值 当 n＝15 时，y 有最大值＝1250 元，此时每件利润为 25 元，符合题意 即当每件商品降价 15 元时，该商店每天销售利润最大值为 1250 元． 总结：本题主要考查一元二次方程的应用问题，特别注意函数的取值范围，再求最大值是要先分析函数的 取值范围，在计算函数值的最大值. 例 4：随着 技术的发展，人们对各类 产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款 产品， 根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第 （ 为正整数）个销售周期 每台的销售价格为 元， 与 之间满足如图所示的一次函数关系. 9x = S 5G 5G 5G x x y y x5 （1）求 与 之间的关系式； （2）设该产品在第 个销售周期的销售数量为 （万台）， 与 的关系可用 来描述。根据以 上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？ 【答案】（1） 与 之间的关系式为 ；（2）第 个销售周期的销售收入最大，此时该产 品每台的销售价格是 元. 【解析】（1）设 与 之间的关系式为 y=kx+b， 把（1，7000），（5,5000）代入 y=kx+b， 得 ，解得 ∴ 与 之间的关系式为 ； （2）令销售收入 W=py= = ∴当 x=7 时，W 有最大值为 16000， 此时 y=-500×7+7500=4000 故第 个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是 元. 总结：此题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与二次函 数的图像与性质. 三、练习 1．如图，以 40m/s 的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如 果不考虑空气阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有函数关系 h＝ 20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　） y x x p p x 1 1 2 2p x= + y x 500 7500y x= − + 7 4000 y x 7000 5000 5 k b k b = +  = + 500 7500 k b = −  = y x 500 7500y x= − + 1 1( )( 500 7500)2 2x x+ − + 2250( 7) 16000x− − + 7 40006 A．小球的飞行高度不能达到 15m B．小球的飞行高度可以达到 25m C．小球从飞出到落地要用时 4s D．小球飞出 1s 时的飞行高度为 10m 【答案】C 【解析】A、当 h＝15 时，15＝20t﹣5t2， 解得：t1＝1，t2＝3， 故小球的飞行高度能达到 15m，故此选项错误； B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20， 故 t＝2 时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误； C、∵h＝0 时，0＝20t﹣5t2， 解得：t1＝0，t2＝4， ∴小球从飞出到落地要用时 4s，故此选项正确； D、当 t＝1 时，h＝15， 故小球飞出 1s 时的飞行高度为 15m，故此选项错误； 故选：C． 2．如图是王阿姨晚饭后步行的路程 s(单位：m)与时间 t(单位：min)的函数图象，其中曲线段 AB 是以 B 为 顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( ) A．25min~50min，王阿姨步行的路程为 800m B．线段 CD 的函数解析式为 C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D．曲线段 AB 的函数解析式为 32 400 25 50s t t= + ≤ ≤（ ） 23 20 1200 5 20s t t= − − + ≤ ≤（ ） （ ）7 【答案】C 【解析】观察图象可知 5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为 2000-1200=800m，故 A 选项正确，C 选项错误； 设线段 CD 的解析式为 s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得 ，解得： ， 所以线段 CD 的函数解析式为 ，故 B 选项正确； 由曲线段 AB 是以 B 为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为 y=a(x-20)2+1200， 把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200， 解得：a=-3， 所以曲线段 AB 的函数解析式为 ，故 D 选项正确， 故选 C. 本题考查了函数图象的应用问题，C 项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以 C 是错误的． 3．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图 1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过 吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图 2 所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平 面内，与拱脚所在的水平面相交于 A，B 两点，拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米)，跨径为 90 米(即 AB=90 米)，以最高点 O 为坐标原点，以平行于 AB 的直线为 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢 拱的函数表达式为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米)，跨径为 90 米(即 AB=90 米)，以最高点 O 为坐 标原点，以平行于 AB 的直线为 轴建立平面直角坐标系， ∴设抛物线解析式为 y=ax2，点 B(45，-78)， 1200 25 2000 50 m n m n = +  = + 32 400 m n =  = 32 400 25 50s t t= + ≤ ≤（ ） 23 20 1200 5 20s t t= − − + ≤ ≤（ ） （ ） x 226 675y x= 226 675y x= − 213 1350y x= 213 1350y x= − x8 ∴-78=452a， 解得：a= ， ∴此抛物线钢拱的函数表达式为 ， 故选 B. 4．用一根长为 20cm 的铁丝围成一个长方形，若该长方形的一边长为 xcm，面积为 ycm2，则 y 与 x 之间的 关系式为_____． 【答案】y＝﹣x2+10x 【解析】解：由题意知：y=x•（ ）=x（10-x）=-x2+10x． 故答案为：y=-x2+10x． 5．飞行中的炮弹经 秒后的高度为 米，且高度与时间的关系为 ，若此炮弹在第 7 秒 与第 13 秒时的高度相等，则炮弹在最高处的时间是第________秒。 【答案】10 【解析】∵此炮弹在第 7 秒与第 13 秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是：x= =10， ∴炮弹所在高度最高时：时间是第 10 秒． 故答案为 10． 6．某种商品每件进价为 10 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元（10≤x≤20 且 x 为整数）出售， 可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元． 【答案】15 【解析】解：设利润为 w 元， 则 w＝（20﹣x）（x﹣10）＝﹣（x﹣15）2+25， ∵10≤x≤20， ∴当 x＝15 时，二次函数有最大值 25， 故答案是：15． 7．如图所示，某小区要用篱笆围成一矩形花坛，花坛的一边用足够长的墙，另外三边所用的篱笆之和恰好 26 675 − 226 675y x= − 20 2 2 x− x y ( )2 0y ax bx c a= + + ≠ 7 13 2 +9 为 米．求矩形 的面积（用 表示，单位：平方米）与边 （用 表示， 单位：米）之间的函数关系式. 【答案】S=x(16−2x)=−2x +16x 【解析】根据题意可得 AB=x，BC=16−2x， ∴S=x(16−2x)=−2x +16x 故答案为：S=x(16−2x)=−2x +16x 8．商场里某产品每月销售量 y（只）与销售单价 x（元）满足一次函数关系，经调查部分数据如表：（已 知每只进价为 10 元，每只利润=销售单价-进价） 销售单价 x（元） 21 23 25 … 月销售额 y（只） 29 27 25 … （1）求出 y 与 x 之间的函数表达式； （2）这产品每月的总利润为 w 元，求 w 关于 x 的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，最大 利润是多少元？ （3）由于该产品市场需求量较大，进价在原有基础上提高了 a 元（a＜10），但每月销售量与销售价仍满足 上述一次函数关系，此时，随着销售量的增大，所得的最大利润比（2）中的最大利润减少了 144 元，求 a 的值． 【答案】（1）y=-x+50；（2）当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 400 元；（3）8； 【解析】解：（1）设 y=kx+b（k≠0）， 根据题意代入点（21，29），（25，25）， ∴ 解得 ， ∴y=-x+50． 16 ABCD s AB x 2 2 2 21 29 25 25 k b k b + =  + = 1 50 k b = −  =10 （2）依题意得，w=（x-10）（-x+50）=-x2+60x-500=-（x-30）2+400， ∵a=-1＜0， ∴当 x=30 时，w 有最大值 400， 即当销售单价定为 30 元时，每月可获得最大利润 400 元． （3）最新利润可表示为-x2+60x-500-a（-x+50）=-x2+（60+a）x-500-50a， ∴此时最大利润为 =400-144， 解得 a1=8，a2=72， ∵当 a=72 时，销量为负数舍去． ∴a=8． 9．金堂三溪镇被中国柑桔研究所誉为“中国脐橙第一乡”，2016 年 12 月某公司到三溪镇以 2.5 元/千克购 得脐橙 12000 千克，这些脐橙的销售期最多还有 60 天，60 天后库存的脐橙不能再销售，需要当垃圾处理， 处理费为 0.1 元/千克，经测算，脐橙的销售价格定为 8 元/千克时，每天可售出 100 千克;销售单价每降低 0.5 元，每天可多售出 50 千克. (1).如果按 8 元/千克的价格销售,能否在 60 天内售完?这些脐橙按此价格销售,获得的利润是多少? (2).如果按 6 元/千克的价格销售,这些脐橙获得的利润是多少?当这些脐橙销售价格定为 x( )元/ 千克时，可以使公司每天获得利润最大，每天的最大利润为多少？ 【答案】（1）不能在 60 天内售完.17400 元； （2）42000 元，这些脐橙销售价格定为 5 元/千克时，可以使公司每天获得最大利润 1000 元. 【解析】解：（1） ∴不能在 60 天内售完. （元） （2） （天） 40