24.2点和圆、直线和圆的位置关系（讲练）
一、知识点
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)dr⇔点在⊙O外．
2.直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d＞r
d＝r
d＜r
3.切线的判定
（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
4.切线的性质
（1）切线与圆只有一个公共点.
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）切线垂直于经过切点的半径.
5.切线长
（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
6.三角形的外接圆
图形
相关概念
圆心的确定
内、外心的性质
经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形
三角形三条垂直平分线的交点
到三角形的三个顶点的距离相等
7.三角形的内切圆
到三角形的三条边的距离相等
22
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形
到三角形三条角平分线的交点
二、标准例题：
例1：已知⊙O的半径OA长为，若OB＝，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：∵⊙O的半径OA长为，若OB＝，
∴OA＜OB，
∴点B在圆外，
故选：A．
总结：本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是根据数据判断出点到直线的距离和圆的半径的大小关系，难度不大．
例2：已知是的直径，弦与相交，．
(1)如图，若为弧的中点，求和的度数；
(2)如图，若D为弧上一点，过点作的切线，与的延长线交于点，若DP//AC，求∠OCD的度数．
【答案】(1)∠ABC=50°，；(2)∠OCD=25°.
【解析】(1)如图1，连接，
∵AB为直径，
22
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠BAC=50°，
∵为弧的中点，，
∴,
∵，
∴；
(2)如图2，连接，
∵切于点，
∴，即．
由，又，
∴．
∵是的一个外角，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
总结：本题主要考查了切线的性质、圆周角定理，圆的切线垂直于过切点的半径；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角等于90°.熟练掌握相关性质和定理是解题关键.
22
例3：如图，在4×4的网格图中，A、B、C是三个格点，其中每个小正方形的边长为1，△ABC的外心可能是（ ）
A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点
【答案】D
【解析】解：由图可知，△ABC是锐角三角形，
∴△ABC的外心只能在其内部，
由此排除A选项和B选项，
由勾股定理得，BP＝CP＝≠PA，
∴排除C选项，
故选：D．
总结：本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理，熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键．
例4：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【答案】A
【解析】∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OF=r，
22
∴S四边形AEOF=r²，
连接AO，BO，CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴，
∴r=2，
∴S四边形AEOF=r²=4，
故选A.
总结：本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.
三、练习
1．边长为的正三角形的外接圆的半径为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，连接OB，OC，过O作OD⊥BC；
∵BC=1,
∴BD=,
∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC==120°，
∵OB=OC，
22
∴∠BOD==60°，
∴∠OBD=30°，OB=．
故选C．
2．⊙O的半径为5cm，A是线段OP的中点，当OP=7cm时，点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．不能确定
【答案】A
【解析】∵OP=7cm，A是线段OP的中点，
∴OA=3.5cm，小于圆的半径5cm，
∴点A在圆内．
故选A．
3．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵AC是⊙O的切线，
∴，且，
∴，
故选：B．
4．已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【解析】设⊙A的半径为X,⊙B的半径为Y,⊙C的半径为Z.
22
解得
故选：C
5．如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，若∠P=50°，则∠C的值是（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【答案】D
【解析】解：连接OA、OB，
∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=50°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°，
又∵∠ACB和∠AOB分别是弧AB所对的圆周角和圆心角，
∴∠C=∠AOB=×130°=65°．
故选：D．
6．如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是( )
22
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
【答案】D
【解析】∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，所以A成立；
∠BPD＝∠APD，所以B成立；
∴AB⊥PD，所以C成立；
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AB⊥PD，且AC＝BC，
只有当AD∥PB，BD∥PA时，AB平分PD，所以D不一定成立，
故选D．
7．如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（ ）.
A．； B．； C．； D．.
【答案】D
【解析】解：连接.，
∵.分别与相切于.两点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
22
8．如图，内心为，连接并延长交的外接圆于，则线段与的关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【解析】连接，如图，
内心为，
，
，
，
，
即，
．
故选A．
9．如图,O的直径AB=2,点D在AB的延长线上,DC与O相切于点C,连接AC.若∠A=30°,则CD长为( )
22
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，连接BC，OC，
∵AB是直径,
∴∠BCA=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠CBA=90°−30°=60°，
∵DC是切线，
∴∠BCD=∠A=30°,∠OCD=90°，
∴∠D=∠CBA−∠BCD=60°−30°=30°，
∵AB=2，
∴OC=1，
∴OD=2，
∴CD=，
故选D.
10．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交它的外接圆于D、E两点．若∠B=24°，∠C=106°，则 的度数为____
22
【答案】82°
【解析】解：∵DE垂直平分BC，
∴DE为直径，，
设△ABC的外接圆的圆心为O，连结OC、OA，如图，
∵∠B=24°，∠C=106°，
∴∠BAC=180°-24°-106°=50°，
∴∠EOC=∠BAC=50°，
∵∠AOC=2∠B=48°，
∴∠AOD=180°-∠COE-∠AOC=180°-50°-48°=82°，
∴的度数为82°．
故答案为82°.
11．已知△ABC 的一边长为 10，另两边长分别是方程 x2 - 14 x + 48 = 0 的两个根若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，则该圆形纸片的最小半径是_______________．
【答案】5
【解析】解：解方程x2-14x+48=0得：x1=6，x2=8，
即△ABC的三边长为AC=6，BC=8，AB=10，
∵AC2+BC2=62+82=100，AB2=100，
∴AB2=AC2+BC2，
∴∠C=90°
∵若用一圆形纸片将此三角形完全覆盖，
22
则该圆形纸片正好是△ABC的外接圆，
∴△ABC的外接圆的半径是AB=5，
故答案为：5．
12．如图，PA、PB是的切线，A、B为切点，∠OAB=38°，则∠P=____．
【答案】76．
【解析】解：∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：76．
13．如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当边AC第一次与圆相切时，旋转角为_____．
【答案】75°
【解析】解：如图，分别连接OA、OB，
22
，，
是等腰直角三角形，
，
是等边三角形，
，
，
与圆相切，
，
，
当边AC第一次与圆相切时，旋转角为，
故答案为：．
14．直线与半径为 的⊙ 相交，且点 到直线的距离为6 ，则 的取值范围是__________．
【答案】
【解析】∵直线l与半径为r的O相交，且点O到直线l的距离d=6，
∴r>6.
故答案为：r>6.
15．已知中，．
尺规作图：作出的外接圆⊙（保留作图痕迹，不写作法）．
22
【答案】答案见解析
【解析】
解：如图：．作的中垂线，交于点．
．以为圆心，为半径画圆即可．
16．如图，已知矩形ABCD是一空旷场地上的小屋示意图，其中AB：AD＝2：1．拴住小狗的绳子一端固定在点A处，请根据下面条件分别画出小狗在小屋外最大活动区域．（小狗的大小不计）
（1）若拴小狗的绳子长度与AD边长相等，请在图1中画出小狗在屋外可以活动的最大区域；
（2）若拴小狗的绳子长度与AB边长相等，请在图2中画出小狗在屋外可以活动的最大区域．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】解：（1）图1中，小狗在屋外可以活动的最大区域如图所示；
22
（2）图2中，小狗在屋外可以活动的最大区域如图所示．
17．如图，已知过点P的直线AB交⊙O于A，B两点，PO与⊙O交于点C，且PA＝AB＝6cm，PO＝12cm.
求⊙O的半径；
【答案】⊙O的半径为6cm.
【解析】如图所示，过点O作OD⊥AB于点D，则BD＝AD＝3 cm，
∴PD＝PA＋AD＝6＋3＝9(cm)，
在Rt△POD中，OD＝cm
在Rt△OBD中，OB＝cm
∴⊙O的半径为6cm.
18．如图，为⊙的直径，为⊙上一点，为的中点．过点作直线的垂线，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）与⊙有怎样的位置关系？请说明理由．
22
【答案】（1）见解析；（2）与⊙相切，理由见解析.
【解析】(1)连接，
为的中点，
∴，
，
，
；
(2)与⊙相切，理由如下：
，
，
∴∠ODE+∠E=180°，
，
∴∠E=90°，
∴∠ODE=90°，
，
又∵OD是半径，
与⊙相切．
19．如图，是的直径，弦与相交于点，与相切于点，交的延长线于点
22
，．
（1）求的度数；
（2）求的长度．
【答案】解：（1） （2）
【解析】解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，
，
∵BD是⊙O的直径，
（2）∵ ，
∴ ，
∴AB＝AC，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
，
22
∴OE＝ ，
∴AC＝AB＝OB＝2OE＝．
20．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长．
【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）.
【解析】（1）直线DE与⊙O相切，
连结OD．
∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，即，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过O作于G，
∵，
22
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形AODF是菱形，
∵，，
∴，
∴．
21．如图，五边形内接于，与相切于点，交延长线于点．
（1）若，求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）证明：∵，
∴，
∴，
22
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：连接并延长交于，作于，如图所示：
则，
∵与相切于点，
∴，
∵，
∴、是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．
22
（1）求证：MN是半圆的切线．
（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD=FG．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
而∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠BCA=90°，即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线；
（2）如图
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠5=90°，∠3+∠4=90°，
∵D是弧AC的中点，即弧CD=弧DA，
∴∠3=∠5，
∴∠1=∠4，
22
而∠2=∠4，
∴∠1=∠2，
∴FD=FG．
22
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