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专题 22.2 二次函数与一元二次方程（测试）
一、单选题
1．抛物线 与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】当 时， ，则抛物线与 轴的交点坐标为 ，
当 时， ，解得 ，抛物线与 轴的交点坐标为 ，
所以抛物线与坐标轴有 2 个交点．
故选 C．
2．已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的对称轴为 x＝－1，与 x 轴的一个交点为(2，0)．若关于 x 的一元
二次方程 ax2＋bx＋c＝p（p＞0）有整数根，则 p 的值有（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】B
【解析】解：∵抛物线 y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为 x=-1，
∴ =-1，解得 b=2a．
又∵抛物线 y=ax2+bx+c（a＜0）与 x 轴的一个交点为（2，0）．
把（2，0）代入 y=ax2+bx+c 得，0=4a+4a+c，
解得，c=-8a．
∴y=ax2+2ax-8a（a＜0），
对称轴 h=-1，最大值 k= =-9a．如图所示，
2 4 4y x x= − + −
0x = 2 4 4 4y x x= − + − = − y (0, 4)−
0y = 2 4 4 0x x− + − = 1 2 2x x= = x (2,0)
2
b
a
−
24 ( 8 ) 4
4
a a a
a
⋅ − −2
顶点坐标为（-1，-9a），
令 ax2+2ax-8a=0，
即 x+2x-8=0，
解得 x=-4 或 x=2，
∴当 a＜0 时，抛物线始终与 x 轴交于（-4，0）与（2，0）．
∴ax2+bx+c=p
即常函数直线 y=p，由 p＞0，
∴0＜y≤-9a，
由图象得当 0＜y≤-9a 时，-4＜x＜2，其中 x 为整数时，x=-3，-2，-1，0，1，
∴一元二次方程 ax2+bx+c=p（p＞0）的整数解有 5 个．
又∵x=-3 与 x=1，x=-2 与 x=0 关于直线 x=-1 轴对称，
当 x=-1 时，直线 y=p 恰好过抛物线顶点．
所以 p 值可以有 3 个．
故选：B．
3．已知二次函数 （ 为常数），当自变量 的值满足 时，其对应对的函数值 的最大
值为 ，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】当 即 时，有 ，解得： （舍去）；当 即 时，
函数有最大值为 ，不符合题意；当 ，即 时，有 ，解得： （舍去） .综
上所诉： 的值为 或 ，故选 B.
( )2y x h= − + h x 2 5x≤ ≤ y
1− h
3− 6− 1− 6− 1− 3− 4− 6−
2,h− < 2h > − ( )22 1h− + = − 1 1,h = −
2 3h = − 2 5,h≤ − ≤ 5 2h− ≤ ≤ −
0 5h− > 5h < − ( )25 1h− + = − 3 4h = − 4 6h = −
h 1− 6−3
4．如图，在二次函数 y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息：①b2﹣4ac＞0；②abc＜
0；③ ；④b2＝4a(c﹣1)；⑤关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝3 无实数根，共中信息错误的
个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】解：①根据图象可知：△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，故①正确；
②由图象可知：a＜0，c＞0，
由对称轴可知： ＜0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故②错误；
③由图象可知：﹣1＜ ＜0，
∴2a﹣b＜0，
当 x＝1 时，y
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