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专题 02 21.1-21.2 一元二次方程及其解测试卷
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
A. ，当 a=0 时，不是一元二次方程，故不符合题意；
B. ，是一元二次方程，符合题意；
C. ，不是整式方程，故不符合题意；
D. ，整理得：2+x=0，不是一元二次方程，故不符合题意，
故选 B.
2．一元二次方程 的一次项系数为（ ）
A．1 B． C．2 D．-2
【答案】D
【解析】
解:一元二次方程 ,则它的一次项系数为-2,
所以 D 选项是正确的.
3．方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：
可得
2 0ax bx c+ + = 2 3 0x x+ = 2
1 1 0x x
+ = ( )2 2 1 0x x x+ − − =
2ax bx c 0+ + =
2x 3x 0+ =
2
1 1 0x x
+ =
( )2x 2 x x 1 0+ − − =
23 2 1 0x x− − =
1−
23 2 1 0x x− − =
( )( )2 3 2 0x x− + =
3
2x = − 2x = 1 2
32, 2x x= − = 1 2
32, 2x x= = −
( )( )2 3 2 0x x− + =
1 2
3 , 22x x= = −2
故选 C.
4．方程 x（x-1）=2 的两根为（ ）．
A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2
【答案】D
【解析】
方程移项并化简得 x −x−2=0，
a=1，b=−1，c=−2
△=1+8=9>0
∴x=
解得 x1=-1，x2=2.
故选 D
5．关于 x 的方程(x+a) =b(b>0)的根是（ ）
A．x=± -a B．x=±a+
C．当 b≥0 时，x=-a± D．当 a≥0 时，x=a±
【答案】A
【解析】
∵b>0，
∴两边直接开平方,得：x+a=± ，
∴x=± -a，
故选：A
6．用配方法解一元二次方程 x2－8x＋3＝0 时,可将方程化为（ ）
A．(x－8)2＝13 B．(x＋4)2＝13 C．(x－4)2＝13 D．(x＋4)2＝19
【答案】C
【解析】
∵x2－8x＋3＝0,
∴x2－8x=-3，
∴x2－8x+16=-3+16，
∴(x－4)2＝13，
2
1
2
9±
2
b b
b b
b
b3
故选 C.
7．若关于 x 的一元二次方程 有实数根，则整数 a 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解析】根据题意得 a-6≠0 且△=（-2）2-4×（a-6）×3≥0，
解得 a≤ 且 a≠6，
所以整数 a 的最大值为 5.
故选 B.
8．关于一元二次方程 根的情况描述正确的是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
【答案】A
【解析】
解：∵
∴原方程有两个相等的实数根。
故答案为：A
9．下列方程有两个相等的实数根的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
A、△=b2 -4ac=1+24=25>0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、△=b2 -4ac=36-36=0，方程有两个相等的实数根，符合题意；
C、△=b2 -4ac=25-40=-150，方程有两个不相等的实数根，不符合题意，
( ) 26 2 3 0a x x− − + =
19
3
2 5 2 5x x+ =
2 5 2 5x x+ =
2 2 5 5 0x x∴ − + =
2( 2 5) 4 1 5 20 20 0∴∆ = − − × × = − =
2 6 0x x+ − = 23 6 3 0x x− + =
2 5 10 0x x− + = 23 9 0x x+ =4
故选 B.
10．已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx﹣8＝0 的一个实数根为 2，则另一实数根及 m 的值分别为（ ）
A．－4， 2 B．﹣4，﹣2 C．4，－2 D．4，2
【答案】A
【解析】
设另一个实数根为 x1，则有
2+x1=-m，2x1=-8，
解得：x1=-4，m=2，
故选 A.
11．若关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵关于 x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴
，
∴ ．
故选：B．
12．已知 是方程 的一个根，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
把 n 代入方程得到 ，故
∴ 3（ ）-7=3-7=-4，
故选 D.
13．若关于 x 的一元二次方程的两个根为 x1=1，x2=2，则这个方程可能是（ ）
A．x2-3x+2=0 B．x2+3x+2=0 C．x2+3x-2=0 D．x2-2x+3=0
【答案】A
2 2 0x x k+ − =
1k < − 1k > − 1k < 1k >
2 2 0x x k+ − =
2 4 4 4 1 ( )b ac k− = − × × −
4 4 0k= + >
1k > −
n 2 2 1 0x x− − = 23 6 7n n− − =
10− 7− 6− 4−
2 2 1 0n n − =− 2 2 1n n− =
23 6 7n n− − = 2 2n n−5
【解析】
解：∵x1=1，x2=2，
∴x1+x2=3，x1x2=2，
∴以 x1，x2 为根的一元二次方程可为 x2-3x+2=0．
故选：A．
14．在用配方法解下列方程时，配方错误的是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
A. ，故此选项错误
B. ，故此选项正确
C. ，故此选项错误
D. ，故此选项错误
15．一个等腰三角形的底边长是 6，腰长是一元二次方程 的一根，则此三角形的周长是
（ ）
A．16 B．12 C．14 D．12 或 16
【答案】A
【解析】
解方程 ，得： 或 ，
若腰长为 3，则三角形的三边为 3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为 5，则三角形三边长为 5、5、6，此时三角形的周长为 16，
故选：A．
2 22 99 1 0)0 10(x x x⇒－ － ＝ － ＝
2
2 7 812 7 4 0 4 8t t t − − = ⇒ − =
2 28 9 0 4 25( )x x x⇒＋ － ＝ ＋ ＝
2 2(4 2 2 6)y y y⇒－ ＝ － ＝
2 22 99 1 0)0 10(x x x⇒－ － ＝ － ＝
2
2 7 812 7 4 0 4 16
− − = ⇒ − = t t t
2 28 9 0 4 25( )x x x⇒＋ － ＝ ＋ ＝
2 2(4 2 2 6)y y y⇒－ ＝ － ＝
2 8 15 0x x− + =
2 8 15 0x x− + = 3x = 5x =6
16．如果 4a﹣2b+c＝0，则方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一根是（ ）
A．0 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】C
【解析】
解：当 x＝﹣2 时，4a﹣2b+c＝0，
所以若 4a﹣2b+c＝0，则方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一根是 x＝﹣2．
故选：C．
二、填空题
17．若分式 的值为 ，则 的值等于__________．
【答案】
【解析】
，
由①得： ，
或 ，
由②得： ，
，
∴综上 ，
故答案是：-1.
18．若关于 的一元二次方程 的常数项为 ，则 的值是__________．
【答案】
【解析】
关于 的一元二次方程 的常数项为 ，故有 ，解
得 m=4 或 m=-1,又因为原方程是关于 x 的一元二次方程，故 m+1≠0，m≠1
综上，m=4，故填 4
19．将方程 配方成 的形式，则． _____， _____.
【答案】－5 , 9.
【解析】
2
2
2
4 4
x x
x x
− −
− + 0 x
1−
2
2
2 0
4 4 0
x x
x x
− − =
− + ≠
①
②
( 2)( 1) 0x x− + =
1 2x = 1x = −
2( 2) 0x − ≠
2x ≠
1x = −
x ( ) 2 21 5 3 4m x x m m+ + + − = 0 m
4
x ( ) 2 21 5 3 4m x x m m+ + + − = 2 3 4m m− − 2 3 4 0m m− − =
2 10 +16 0x x =－ 2( )x a b＋ ＝ a = b =7
方程左右两边同时加 9，得
即 ，即 a=-5,b=9
20．你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程 即
为例加以说明．数学家赵爽（公元 3～4 世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：
构造图（如下面左图）中大正方形的面积是 ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形
的面积，即 ，据此易得 ．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为 1 的小正方
形网格格点上）中，能够说明方程 的正确构图是_____．（只填序号）
【答案】②．
【解析】
解： 即 ，
构造如图 中大正方形的面积是 ，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，
即 ，
据此易得 ．
故答案为： ．
三、解答题
21．选用适当的方法解下列方程
（1）x －4x－3 =0 （2）3x -7x-6 =0 （3）
【答案】（1）x =2+ ，x =2− ；（2）x =− ，x =3；（3）x =3，x =1
【解析】
(1)x −4x−3=0，
移项得：x −4x=3，
2 10 +16 0x x =－ 2 10 +16 9 9－ + =x x
2( 5) 9x − =
2 5 14 0x x+ − =
( 5) 14x x + =
2( 5)x x+ +
24 14 5× + 2x =
2 4 12 0x x− − =
2 4 12 0x x− − = ( )4 12x x − =
∴ ② 2( 4)x x+ −
24 12 4× +
6x =
②
2 2 ( ) ( )23 2 3 0x x x− + − =
1 7 2 7 1
2
3 2 1 2
2
28
配方得：x −4x+4=7，即(x−2) =7，
可得 x−2=± ，
∴x =2+ ，x =2− ；
(2)3x −7x−6=0，
因式分解得：(3x+2)(x−3)=0，
可得 3x+2=0 或 x−3=0，
解得：x =− ，x =3；
(3)(x−3) +2x(x−3)=0，
因式分解得：(x−3)[(x−3)+2x]=0，即(x−3)(3x−3)=0，
可得 x−3=0 或 3x−3=0，
解得：x =3，x =1
22．先化简，再求值： ，其中 x 满足方程 x2-2x-3=0．
【答案】
【解析】
解：原式=
=
= ；
当 x2-2x-3=0 时，
解得：x=3 或 x=-1（不合题意，舍去）
当 x=3 时，原式= ；
23．已知 1— 是方程 x2—2x+c=0 的一个根，求方程的另一个根及 c 的值。
2 2
7
1 7 2 7
2
1
2
3 2
2
1 2
2
3 11 2 2 1
x x
x x x x
− − ÷ − + + +
9
4
1 ( 2)
2 1 1
x x x x
x x x
− +⋅ −+ − +
1
xx x
− +
2
1
x
x +
9
4
39
【答案】方程的另一个根是 1+ ，c 的值为−2
【解析】
设方程的另一个根为 x ，且 x =1− .
∵x + x =2.∴x =2−(1− )=1+
又∵x ⋅ x =c.
∴c=(1− )(1+ )=−2.
∴方程的另一个根是 1+ ，c 的值为−2.
24．如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：
-1 必是该方程的一个根．
【答案】见解析
【解析】
证明：根据题意，得：a+c=b，即 a−b+c=0；
当 x=−1 时,ax2+bx+c=a(−1) 2+b(−1)+c=a−b+c=0，
∴−1 必是关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 的一个根。
25．三角形两边长分别是 6 和 8，第三边长是 x2-16x+60=0 的一个实数根，求该三角形的第三条边长和周长。
【答案】该三角形第三条边长为 10 或 6.当第三边长为 10 时，周长为 24；当第三边长为 6 时，周长为 20
【解析】
x2−16x+60=0，
x2−16x+82=4，
(x−8) 2=4
x−8=±2
∴x =10, x =6，
①当 x=10 时，6+8>10，
∴三角形周长为 6+8+10=24.
②当 x=6 时，6+6>8，
∴三角形周长为 6+6+8=20.
答：该三角形第三条边长为 10 或 6.当第三边长为 10 时，周长为 24；当第三边长为 6 时，周长为 20
3
2 1 3
1 2 2 3 3
1 2
3 3
3
1 2
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