1
专题 24.3 正多边形和圆（讲练）
一、 知识点
1.正多边形与圆
（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),
如图所示①.
（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：
中心角=120° 中心角=90° 中心角=60°，△BOC 为等边△
a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2
二、标准例题：
例 1：如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【解析】∵在正六边形 ABCDEF 中，∠BCD＝ ＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝ （180°﹣120°）＝30°，
故选：A．
总结：本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的
关键．
(6 2) 180
6
− ×
1
22
例 2：如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一
个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接 AC，
设正方形的边长为 a，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC 为圆的直径，
∴AC= AB= a，
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为： ，
故选 C.
总结：本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键．
例 3：如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，BE 是⊙O 的直径，连接 BF，延长 BA，过 F 作 FG⊥BA，垂足为 G.
(1)求证：FG 是⊙O 的切线；
(2)已知 FG＝2 ，求图中阴影部分的面积.
4
5
3
4
2
3
1
2
2 2
2
2
2 2
32( )2
a
a
ππ
= ≈
×
33
【答案】(1)见解析；(2) 图中阴影部分的面积为 .
【解析】(1)证明：连接 OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴ ，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG 是⊙O 的切线；
(2)解：∵ ，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF 是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
8
3
π
AB AF EF= =
AB AF EF= =4
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2 ，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝ .
总结：此题考查切线的判定，等边三角形的判定，扇形面积，解题关键在于利用等弧对等角
三、练习
1．如图，正六边形 的边长为 2，分别以点 为圆心，以 为半径作扇形 ，扇形
．则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵正六边形 的边长为 2，
∴正六边形 的面积是： ， ，
∴图中阴影部分的面积是： ，
故选：B．
2．有一个正五边形和一个正方形边长相等，如图放置，则 的值是（）
3
260 4 8
360 3
π π× =
ABCDEF ,A D ,AB DC ABF
DCE
46 3 3
π− 86 3 3
π− 412 3 3
π− 412 3 3
π−
ABCDEF
ABCDEF
( )2 2sin 60 36 6 2 6 32 2
°×
× = × × = 120FAB EDC∠ = ∠ =
2120 2 86 3 2 6 3360 3
π π× ×− × = −
1∠5
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：正五边形的内角的度数是
正方形的内角是 90°，
则∠1=108°-90°=18°．
故选：B．
3．如图，已知正方形 的顶点 、 在 上，顶点 、 在 内，将正方形 绕点 逆
时针旋转，使点 落在 上.若正方形 的边长和 的半径均为 ，则点 运动的路径长为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：设圆心为 O，连接 AO，BO， OF，
∵AB=6，AO=BO=6，
15° 18° 20° 9°
1 (5 2) 180 1085
° °× − × =
ABCD A B O C D O ABCD A
D O ABCD O 6cm D
2 cmπ 3
2 cmπ cmπ 1
2 cmπ6
∴AB=AO=BO，
∴三角形 AOB 是等边三角形，
∴∠OAB=60°
∵AF=AO=FO=6，
∴△FAO 是等边三角形，
∴∠OAF=60°
∠FAB=∠OAB+∠OAF =120°，
∴∠EAC=120°-90°=30°，
∵AD=AB=AF=6，
∴点 D 运动的路径长为： =π．
故选：C．
4．如图，在正五边形 中， ， 的延长线交于点 ，则 等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵五边形 ABCDE 是正五边形，∴∠AED=∠EDC=108°，∴∠FED=∠FDE=72°，由三角形的内角和定
理得：∠F=180°﹣72°﹣72°=36°．
故选 C．
5．如图，已知正五边形 内接于 ，连结 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵五边形 为正五边形
30 6
180
π× ×
ABCDE AE CD F F∠
30° 32° 36° 38°
ABCDE O BD ABD∠
60° 70° 72° 144°
ABCDE7
∴
∵
∴
∴
故选：C．
6．如图，正六边形的边长为 2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的 6
个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：6 个月牙形的面积之和 ，
故选：A．
7．阅读理如图 1,在平面内选一定点 O,引一条有方向的射线 Ox,再选定一个单位长度,那么平面上任一点 M
的位置可由∠MOx 的度数 θ 与 OM 的长度 m 确定,有序数对(θ,m)称为 M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系
称为“极坐标系”。应用：在图 2 的极坐标系下，如果正六边形的边长为 2，有一边 OA 在射线 Ox 上，则正
六边形的顶点 C 的极坐标应记为___.
【答案】(60°,4).
【解析】如图，设正六边形的中心为 D，连接 AD，
( )1
5 5 2 180 108ABC C∠ = ∠ = − × ° = °
CD CB=
181 ( 8 32 6)0 10CBD∠ = °− ° = °
72ABD ABC CBD∠ = ∠ − ∠ = °
6 3 π− 6 3 2π− 6 3 π+ 6 3 2π+
2 13 2 6 2 3 6 32
π π π = − − × × × = − 8
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，
∴△AOD 是等边三角形，
∴OD=OA=2,∠AOD=60°，
∴OC=2OD=2×2=4，
∴正六边形的顶点 C 的极坐标应记为(60°,4).
故答案为(60°,4).
8．如图， 、 、 、 为一个外角为 的正多边形的顶点．若 为正多边形的中心，则
__．
【答案】30°
【解析】多边形的每个外角相等，且其和为 ，
据此可得多边形的边数为： ，
∴∠AOD=3× =120°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA= =30°，
故答案为：30°.
9．若正六边形的边长为 3，则其较长的一条对角线长为___.
A B C D 40 O OAD∠ =
360
360 940
=
360
9
°
180 120
2
°− °9
【答案】6.
【解析】正六边形的中心角为 =60°，
∴△AOB 是等边三角形，
∴OB=AB=3，
∴BE=2OB=6，
即正六边形最长的对角线为 6，
故答案为：6.
10．如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧
围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为 ，则勒洛三角形的周长为__________．
【答案】
【解析】勒洛三角形的周长为 3 段相等的弧，每段弧的长度为：
则勒洛三角形的周长为：
故答案为：
11．如图，在正八边形 ABCDEFGH 中，连接 AC、AE，则AE
AC＝_____．
【答案】 2
360
6
°
a
aπ
60π a 1 πa.180 3
⋅ =
1 πa 3 πa.3
× =
πa.10
【解析】解：连接 AG、GE、EC，则四边形 ACEG 为正方形，故AE
AC = 2．
故答案是： 2．
12．如图，⊙O 的半径为 1cm，正六边形内接于⊙O，则图中阴影部分面积为_____．
【答案】
【解析】解：如图，连接 BO，CO，OA．
由题意得，△OBC，△AOB 都是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OBC＝60°，
∴OA∥BC，
∴△OBC 的面积＝△ABC 的面积，
∴图中阴影部分的面积等于扇形 OBC 的面积＝ ．
故答案为：
13．如图，将边长为 2m 的正六边形铁丝框 ABCDEF 変形为以点 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗
细）．则所得扇形 AFB（阴影部分）的面积_____．
6
π
260 1 =360 6
π π×
6
π11
【答案】8m2．
【解析】∵正六边形 ABCDEF 的边长为 2m，
∴ ，
∴ 的长 （m），
∴扇形 AFB（阴影部分）的面积 （m2）．
故答案为：8m2．
14．如图，正六边形内接于⊙O，⊙O 的半径为 4，则圆中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】已知圆的半径为 4，则面积为 16π，
空白正六边形为六个边长为 4 的正三角形，
每个三角形面积为 4 ，
则正六边形面积为 24 ，
所以阴影面积为 ．
故答案为： ．
15．试比较图中两个几何图形的异同，请分别写出它们的两个相同点和两个不同点。例如，相同点：正方
形的对角线相等，正五边形的。对角线也相等；不同点：正方形是中心对称图形，正五边形不是中心对称
图形。
相同点：①_________________；②___________________
不同点：①______________________；②____________________.
2AB BC CD DE EF FA m＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝
BDF 2 6 2 2 8= × − − =
1 8 2 82
× ×＝ ＝
16 24 3π −
3
3
16 24 3π −
16 24 3π −12
【答案】详见解析.
【解析】相同点：①都有相等的边；②都有相等的内角；③都有外接圆和内切圆；④都是轴对称图形；⑤
对称轴都交于一点．（写出两条即可）
不同点：①边数不同：②内角的度数不同；③内角和不同；④对角线的条数不同；⑤对称轴的条数不
同．（写出两条即可）
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