2020年九年级数学上册第二十五章概率初步25.3用频率估计概率讲解与练习（含解析新人教版）.docx

1 专题 25.3 用频率估计概率（讲练） 一、 知识点 1. 用频率可以估计概率 一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生的频率 会稳定在某个常数 p 附近，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝p＝ . 二、标准例题： 例 1：做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下 列说法正确的是（ ） A．概率等于频率 B．频率等于 C．概率是随机的 D．频率会在某一个常数附近摆动 【答案】D 【解析】 A、概率不等于频率，A 选项错误； B、频率等于 ，B 选项错误 C、概率是稳定值不变，C 选项错误 D、频率会在某一个常数附近摆动，D 选项是正确的。 故答案为：D 总结：此题主要考查了概率公式，以及频率和概率的区别。 例 2：“五一”长假期间，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动，顾 客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表 是该活动的一组统计数据： 转动转盘的次数 n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数 m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 m n m n 1 2 正面朝上的次数 总次数 m n2 下列说法不正确的是（　　） A．当 n 很大时，估计指针落子在”铅笔“区域的概率大约是 0.70 B．假如你去转动转盘一次，获得“铅笔”概率大约是 0.70 C．如果转动转盘 3000 次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有 900 次 D．转动转盘 20 次，一定有 6 次获得“文具盒” 【答案】D 【解析】 A、频率稳定在 0.7 左右，故用频率估计概率，指针落在“铅笔”区域的频率大约是 0.70，故 A 选项正确； 由 A 可知 B、转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是 0.70，故 B 选项正确； C、指针落在“文具盒”区域的概率为 0.30，转动转盘 2000 次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有 3000×0.3＝900 次，故 C 选项正确； D、随机事件，结果不确定，故 D 选项正确． 故选 D． 总结：本题要理解用面积法求概率的方法．注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值． 例 3：下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果． 投篮次数(n) 50 100 150 200 250 300 350 投中次数(m) 28 60 78 104 123 152 251 投中频率( ) 　 　 　 　 　 　 　 (1)计算表中的投中频率(精确到 0.01)； (2)这名球员投篮一次，投中的概率约是多少(精确到 0.1)？ 【答案】（1）见解析；（2）0.5. 【解析】 （1）根据题意得： 28÷50=0.56； m n3 60÷100=0.60； 78÷150=0.52； 104÷200=0.52； 123÷250≈0.49； 152÷300≈0.51； 350÷251≈0.50； 见下表： 投篮次数(n) 50 100 150 200 250 300 350 投中次数(m) 28 60 78 104 123 152 251 投中频率( ) 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50 (2)由题意得： 投篮的总次数是 50+100+150+200+250+300+350=1400(次)， 投中的总次数是 28+60+78+104+123+152+251=796(次)， 则这名球员投篮的次数为 1400 次，投中的次数为 796， 故这名球员投篮一次,投中的概率约为： ≈0.5. 故答案为：0.5. 总结：本题考查利用频率估计概率，解题的关机爱你是掌握利用频率估计概率. 例 4：为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位:cm），并绘制了如下两 幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题． （1）填空：样本容量为　 　，a＝　 　； （2）把频数分布直方图补充完整； （3）若从该地随机抽取 1 名学生，估计这名学生身高低于 160cm 的概率． m n 796 14004 【答案】（1）故答案为 100，30；（2）见解析；（3）0.45． 【解析】 解：（1） ， 所以样本容量为 100； B 组的人数为 ， 所以 ，则 ； 故答案为 ， ； （2）补全频数分布直方图为： （3）样本中身高低于 的人数为 ， 5415 100360 ÷ = 100 15 35 15 5 30− − − − = 30 100 30100a = × =     30a = 100 30 160cm 15 30 45+ =5 样本中身高低于 的频率为 ， 所以估计从该地随机抽取 名学生，估计这名学生身高低于 的概率为 ． 总结：本题考查了利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精 确．也考查了统计中的有关概念． 三、练习 1．以下说法合理的是（　　） A．小明做了 3 次掷图钉的实验，发现 2 次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 B．某彩票的中奖概率是 5%，那么买 100 张彩票一定有 5 张中奖 C．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 D．小明做了 3 次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2 次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的 概率还是 【答案】D 【解析】 解：小明做了 3 次掷图钉的实验，发现 2 次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 是错误的，3 次试验不 能总结出概率，故选项 A 错误， 某彩票的中奖概率是 5%，那么买 100 张彩票可能有 5 张中奖，但不一定有 5 张中奖，故选项 B 错误， 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是 不正确，中靶与不 中靶不是等可能事件，一般情况下，脱靶的概率大于中靶的概率，故选项 C 错误， 小明做了 3 次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2 次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的可能 性是 ，故选项 D 正确， 故选：D． 2．小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所 示： 160cm 45 0.45100 = 1 160cm 0.45 2 3 1 2 1 2 2 3 1 2 1 26 移植棵数 成活数 成活率 移植棵数 成活数 成活率 50 47 1500 1335 270 235 3500 3203 400 369 7000 6335 750 662 14000 12628 下面有四个推断： ①当移植的树数是 1500 时，表格记录成活数是 1335，所以这种树苗成活的概率是 ； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活 的概率是 ； ③若小张移植 10000 棵这种树苗，则可能成活 9000 棵； ④若小张移植 20000 棵这种树苗，则一定成活 18000 棵． 其中合理的是 　　 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【解析】 解： 当移植的树数是 1 500 时，表格记录成活数是 1 335，这种树苗成活的概率不一定是 ，故错误； 随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在 附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活 的概率是 ，故正确； 若小张移植 10 000 棵这种树苗，则可能成活 9 000 棵，故正确； 若小张移植 20 000 棵这种树苗，则不一定成活 18 000 棵，故错误． 故选：C． 3．某运动员投篮 5 次，投中 4 次，则该运动员下一次投篮投中的概率为（ ） A．1 5 B．1 4 C．4 5 D．不能确定 【答案】D 【解析】 ( )n ( )m ( )m / n ( )n ( )m ( )m / n 0.940 0.890 0.870 0.915 0.923 0.905 0.883 0.902 0.890 0.900 0.900 ( ) ① 0.890 ② 0.900 0.900 ③ ④7 因为投中是不确定的事件，所以下次投篮投中的概率不能确定. 故选：D 4．在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除颜色外，它们的形状、大小、质地等完全相 同.小新从布袋中随机摸出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色后放回……如 此大量摸球试验后，小新发现从布袋中摸出红球的频率稳定于 0.2，摸出黑球的频率稳定于 0.5，对此试验， 他总结出下列结论： ①若进行大量摸球试验，摸出白球的频率应稳定于 0.3； ②若从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大； ③若再摸球 100 次，必有 20 次摸出的是红球. 其中说法正确的是（ ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】B 【解析】 解：∵在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，其中摸出红球的频率稳定于 20%，摸出黑球 的频率稳定于 50%， ∴①若进行大量摸球实验，摸出白球的频率稳定于：1-20%-50%=30%，故此选项正确； ∵摸出黑球的频率稳定于 50%，大于其它频率， ∴②从布袋中任意摸出一个球，该球是黑球的概率最大，故此选项正确； ③若再摸球 100 次，不一定有 20 次摸出的是红球，故此选项错误； 故正确的有①②． 故选：B． 5．在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小闽同学统计了某一结果朝上的频率，绘出的统计图 如图所示，则符合图中情况的可能是（ ） A．朝上的点数是 6 的概率 B．朝上的点数是偶数的概率 C．朝上的点数是小于 4 的概率 D．朝上的点数是 3 的倍数的概率8 【答案】D 【解析】 A. 掷一枚正六面体的骰子，出现 6 点的概率为 ，故此选项错误； B. 掷一枚正六面体的骰子，点数为偶数的概率为 ，故此选项错误； C．掷一枚正六面体的骰子，点数小于 4 的概率为 ，故此选项错误； D．掷一枚正六面体的骰子，点数为 3 的倍数的概率为 ，故此选项正确； 6．对某批乒乓球的质量进行随机抽查，结果如下表所示： 随机抽取的乒乓球数 优等品数 优等品率 当 越大时，优等品率趋近于概率______．（精确到 ） 【答案】0.82. 【解析】 解：由表可知，随着乒乓球数量的增多，其优等品的频率逐渐稳定在 0.82 附近，在这批乒乓球中任取一个， 它为优等品的概率大约是 0.82，故答案为：0.82. 7．有五个面的石块，每个面上分别标记 1，2，3，4，5，现随机投掷 100 次，每个面落在地面上的次数如 下表，估计石块标记 3 的面落在地面上的概率是______. 石块的面 1 2 3 4 5 频数 17 28 15 16 24 【答案】 【解析】 1 6 1 2 1 2 1 0.333 ≈ n 10 20 50 100 200 500 1000 m 7 16 43 81 164 414 824 m n 0.7 0.8 0.86 0.81 0.82 0.828 0.824 n 0.01 3 209 解：石块标记 3 的面落在地面上的频率是 = ， 于是可以估计石块标记 3 的面落在地面上的概率是 ． 故答案为： ． 8．某篮球运动员在同一条件下进行投篮训练，结果如下表： 投篮总次数 n 10 20 50 100 200 500 1000 投中次数 m 8 18 42 86 169 424 854 投中的频率 0.8 0.9 0.84 0.86 0.845 0.848 0.854 根据上表，该运动员投中的概率大约是__________（结果精确到 0.01）． 【答案】0.85 【解析】 由表格可知，该运动员大量投篮时，投中的频率稳定在 0.85 附近，所以该运动员投中的概率大约是 0.85. 故答案为：0.85. 9．某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示： 移植的幼树 n/ 棵 500 1000 2000 4000 7000 10000 12000 15000 成活的幼树 m/ 棵 423 868 1714 3456 6020 8580 10308 12915 成活的频率 0.846 0.868 0.857 0.864 0.860 0.858 0.859 0.861 在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为_________________（精确到 ）；若该林场欲使成活的幼 树达到 4.3 万棵，则估计需要移植该种幼树_________万棵. 【答案】0.86 5 【解析】 15 100 3 20 3 20 3 20 m n 0.0110 （1）概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概 率 ∴这种幼树移植成活率的概率约为 0.86． （2）由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成活率越来越稳定． 当移植总数为 15000 时，成活率为 0.861，于是可以估计树苗移植成活率为 0.86， 则该林业部门需要购买的树苗数量约为 4.3÷0.86=5 万棵． 10．小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做掷骰子（质地均匀的正方体）实验． （1）他们在一次实验中共做了60次试验，试验的结果如下： 朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数 7 9 6 8 20 10 ①填空：此次实验中“3点朝上”的频率为________； ②小红说：“根据实验，出现3点朝上的概率最小．”她的说法正确吗？为什么？ （2）小颖和小红在实验中如果各掷一枚骰子，那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列 表或画树状图的方法加以说明，并求出其最大概率． 【答案】（1）① 1 10；②小红的说法不正确，理由详见解析；（2）1 6． 【解析】 解：（1）①∵实验中“3点朝上”的次数有6次，总数为60， ∴此次实验中“3点朝上”的频率为6 ÷ 60 = 1 10； ②小红的说法不正确， ∵利用频率估计概率实验次数必须比较多，重复实验，频率才慢慢接近概率，而她的实验次数太少，没有 代表性， ∴小红的说法不正确； （2）两枚骰子朝上的点数之和可能情况： ， ，11 ， ， ， ， ∴和为2的有1种， 和为3的有2种， 和为4的有3种， 和为5的有4种， 和为6的有5种， 和为7的有6种， 和为8的有5种， 和为9的有4种， 和为10的有3种， 和为11的有2种， 和为12的有1种， 两枚骰子朝上的点数之和为7时的概率最大， 则最大概率为：6 ÷ 36 = 1 6． 11．已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共 100 个．从纸箱中任意摸出一球， 摸到红色球、黄色球的概率分别是 0.2、0.3． （1）试求出纸箱中蓝色球的个数； （2）小明向纸箱中再放进红色球若干个，小丽为了估计放入的红球的个数，她将箱子里面的球搅匀后从中 随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到红球的频率在 0.5 附近 波动，请据此估计小明放入的红球的个数． 【答案】（1）50；（2）60 【解析】 （1）由已知得纸箱中蓝色球的个数为：100×（1﹣0.2﹣0.3）=50（个）12 （2）设小明放入红球 x 个．根据题意得： 解得：x=60（个）． 经检验：x=60 是所列方程的根． 答：小明放入的红球的个数为 60． 12．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共 50 个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的 球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统 计数据： 摸球的次 数 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球 的次数 65 124 278 302 481 599 1803 摸到白球 的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 （1）请估计当 很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到 0.1）； （2）假如摸一次，摸到黑球的概率 ； （3）试估算盒子里黑颜色的球有多少只. 【答案】（1）0.6；（2）0.4；（3）20. 【解析】 （1）当 很大时，摸到白球的频率将会接近 0.6 （2）摸到黑球的概率 1-0.6=0.4 （3）盒子里黑颜色的球有 50×0.4＝20． 13．“五一”期间，某商场推出“购物满额即可抽奖”活动.商场在抽奖箱中装有 1 个红球、2 个黄球、3 个白球、8 个黑球，每个球除颜色外都相同，红球、黄球、白球分别代表一、二、三等奖，黑球代表谢谢参 与.获得抽奖机会的顾客每次从箱子中摸出一个球，按相应颜色对应等级兑换奖品，每次所摸得球再放回抽 奖箱，摇匀后由下一位顾客抽奖.已知小明获得 1 次抽奖机会. 20 0.5100 x x + =+ n m m n n P = n P =13 (1)小明是否一定能中奖___________；(填是、否) (2)求出小明抽到一等奖的概率； (3)在这个活动中，中奖和没中奖的机会相等吗？为什么？如果不相等，可以如何改变球的个数，使中奖和 没中奖的机会相等？(只写一种即可) 【答案】(1)否；(2)小明抽到一等奖的概率是 ；(3)见解析. 【解析】 解：(1)否； (2)球的个数有 (个)， 而红球有 1 个 所以小明抽到一等奖的概率是 ； (3)因为黑球的个数有 8 个，所以没有中奖的概率是 ， 则中奖的概率是 ， 因为 ， 所以中奖和没中奖的机会不相等， 可以减少 2 个黑球使中奖和没中奖的机会相等.（答案不唯一）. 14．在一只不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共 20 个，某学习小组做摸球实验，将 球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，然后把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数 据： （1）上表中的 a= ； （2）“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到 0.1） （3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？ 1 14 1 2 3 8 14+ + + = 1 14 8 4 14 7 = 4 31 7 7 − = 4 3 7 7 ≠14 【答案】(1) 0.58;(2) 0.6;(3)白球 12(个),黑球 8 (个) 【解析】 (1)a= =0.58， 故答案为：0.58； (2)随着实验次数的增加“摸到白球”的频率趋向于 0.60，所以其概率的估计值是 0.60， 故答案为：0.60； (3)由(2)摸到白球的概率估计值为 0.60， 所以可估计口袋中白种颜色的球的个数=20×0.6=12(个),黑球 20−12=8(个). 答：黑球 8 个，白球 12 个. 15．一个袋中装有 7 个红球，8 个黑球，9 个白球，每个球除颜色外都相同． （1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率； （2）若先从袋中拿出 7 个红球和 个黑球，再从剩下的球中摸出一球． ①若事件“再摸出的球是白球”为必然事件，求 的值； ②若事件“再摸出的球是白球”为随机事件，求 的值，并求出这个事件概率的最小值． 【答案】（1） ；（2）① ；② ， . 【解析】 解：（1）从袋中随机摸出一个球是红球的概率 ． （2）①由题意袋中，都是白球， ． ②由题意 或 7 或 8， 当 时，这个事件概率的最小，最小值 ． 16．小明在一个不透明的口袋里装若干个白球，要求本学习小组的其他成员在不允许将球倒出来数的情况 下，估计白球的个数.小组成员小华应用了统计与概率的思想和方法解决了这个问题.他拿了 8 个黑球放入 口袋里，将球搅匀.然后学习小组进行有放回的摸球实验，下表是活动进行中的一组统计数据. 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数 42 54 84 205 316 399 290 500 ( 5)m m > m m 7 24 8m = 6m = 9 11 7 7 7 8 9 24 = =+ + 8m = 6m = 6m = 9 11 = n m15 摸到黑球的频率 0.42 0.36 0.42 0.41 0.395 请你根据以上统计数据，帮助小华解答下列问题： （1）补全上表中的有关数据，并估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______； （2）估计口袋里白球的个数. 【答案】（1）0.4；（2）12. 【解析】 （1）上表中的有关数据是 0.399，当 很大时，摸到黑球的频率将会接近 0.4. （2）设白球的个数为 ，则 ，解得 . m n n n x 80.4 8x = + 12x =