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专题 25.2 用列举法求概率（讲练）
一、 知识点
1.随机事件概率的计算方法
(1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；
(2)两步完成：列表法、画树状图法；
(3)两步以上：画树状图法
2.几何概率的计算方法
求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率.
二、标准例题：
例 1：春节期间某商场搞促销活动，方案是：在一个不透明的箱子里放 4 个完全相同的小球，球上分别标“0
元”、“20 元”、“30 元”、“50 元”，顾客每消费满 300 元，就可从箱子里同时摸出两个球，根据这两个小
球所标金额之和可获相应价格的礼品；
（1）若某顾客在甲商商场消费 320 元，至少可得价值______元的礼品，至多可得价值______元的礼品；
（2）请用画树状图或列表的方法，求该顾客去商场消费，获得礼品的总价值不低于 50 元的概率．
【答案】（1）20,80;(2)
【解析】
解：（1）根据题意得：该顾客至少可得 0+20=20（元），至多可得 30+50=80（元）．
故答案为：20，80．
（2）列表如下：
0 20 30 50
0 - 20 30 50
20 20 - 50 70
30 30 50 - 80
50 50 70 80 -
∴P（不低于 50 元）= ．
总结：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题关键在于画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的
2
3
8 2=12 32
列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
例 2：中考体育测评前，某校在初三 15 个班中随机抽取了 4 个班的学生进行了摸底测评，将各班的满分人
数进行整理，绘制成如下两幅统计图．
（1）D 班满分人数共 人，扇形统计图中，表示 C 班满分人数的扇形圆心角的度数为 ．
（2）这些满分同学中有 4 名同学（3 女 1 男）的跳绳动作十分标准，学校准备从这 4 名同学中任选 2 名同
学作示范，请利用画树状图或列表法求选中 1 男 1 女的概率．
【答案】（1）5，120°；（2）见解析， .
【解析】
解：（1）满分人数为 6÷25%＝24（人），
∴D 班满分人数共 24﹣6﹣5﹣8＝5（人），
C 班满分人数的扇形圆心角的度数＝360°× ＝120°，
故答案为：5；120°；
（2）画树状图为：
或列表如下：
男 女 1 女 2 女 3
男 ﹣﹣﹣ （女，男） （女，男） （女，男）
女 1 （男，女） ﹣﹣﹣ （女，女） （女，女）
女 2 （男，女） （女，女） ﹣﹣﹣ （女，女）
1( ) 2P A =
8
243
女 3 （男，女） （女，女） （女，女） ﹣﹣﹣
∵共有 12 种等可能情况，1 男 1 女有 6 种情况，设题中 1 男 1 女为事件 A，
∴P(A)= = .
总结：本题考查了扇形统计图，条形统计图，树状图等知识点，解题时注意：概率＝所求情况数与总情况
数之比．
三、练习
1．小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，
那么，小李获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：画树状图如图：
共有 25 个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有 13 个，
∴小李获胜的概率为 ；
故选：A．
2．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随
机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
第一次 第二次
6
12
1
2
13
25
12
25
4
25
1
2
13
25
2
3
1
2
1
3
1
44
开始
∴ 两次都是红球 ．
故选：D．
3．“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，
科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】画树状图为：（用 分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）
共有 9 种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为 3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率 ．
故选：A．
4．甲、乙两人玩游戏，把一个均匀的小正方体的每个面上分别标上数字 1，2，3，4，5，6，任意掷出小正
方体后，若朝上的数字比 3 大，则甲胜；若朝上的数字比 3 小，则乙胜，你认为这个游戏对甲、乙双方公
平吗？________．
【答案】不公平
【解析】
∵掷得朝上的数字比 3 大可能性有：4，5，6，
∴掷得朝上的数字比 3 大的概率为： ，
∵朝上的数字比 3 小的可能性有：1，2，
∴掷得朝上的数字比 3 小的概率为： = ，
∴这个游戏对甲、乙双方不公平．
红球红球 绿球
红球绿球 绿球
P 1
4
=
1
3
2
3
1
9
2
9
、 、A B C
3 1
9 3
= =
3 1=6 2
2
6
1
35
5．有大小、形状、颜色完全相同的 5 个乒乓球，每个球上分别标有数字 1、2、3、4、5 中的一个，将这 5
个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概
率是___________．
【答案】
【解析】
解：列表得：
（1，5） （2，5） （3，5） （4，5） -
（1，4） （2，4） （3，4） - （5，4）
（1，3） （2，3） - （4，3） （5，3）
（1，2） - （3，2） （4，2） （5，2）
- （2，1） （3，1） （4，1） （5，1）
∴一共有 20 种情况，这两个球上的数字之和为偶数的 8 种情况，
∴这两个球上的数字之和为偶数的概率是 ．
6．如图，有两个转盘 、 ，在每个转盘各自的两个扇形区域中分别标有数字 、 ，分别转动转盘 、
，当转盘停止转动时，若事件“指针都落在标有数字 的扇形区域内”的概率是 ，则转盘 中标有数字
的扇形的圆心角的度数是_________°．
【答案】
【解析】
设转盘 B 中指针落在标有数字 1 的扇形区域内的概率为 x，
根据题意得： x＝ ，
2
5
8 2
20 5
=
A B 1 2 A
B 1 1
9 B
1
80
1
2
1
96
解得 x＝ ，
∴转盘 B 中标有数字 1 的扇形的圆心角的度数为：360°× =80°．
故答案为：80．
7．在一个不透明的布袋中装有相同的三个小球，其上面分别标注
数字 1、2、3、，现从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点 M 的横坐标；将球放回
袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将其上面的数字作为点 M 的纵坐标．
（1）写出点 M 坐标的所有可能的结果；
（2）求点 M 在直线 y＝x 上的概率；
（3）求点 M 的横坐标与纵坐标之和是偶数的概率．
【答案】（1）(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(3，3)；（2） ；
（3） ．
【解析】
【详解】
（1）列表得：
1 2 3
1 (1，1) (1，2) (1，3)
2 (2，1) (2，2) (2，3)
3 (3，1) (3，2) (3，3)
∴点 M 坐标的所有可能的结果有九个：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，
2)、(3，3)．
（2）P（点 M 在直线 y＝x 上）＝P（点 M 的横、纵坐标相等）＝ ＝ ．
（3）列表如下：
1 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
2
9
2
97
3 4 5 6
∴P（点 M 的横坐标与纵坐标之和是偶数）＝ ．
8．某校七年级随机抽取 30 名学生，对 5 种活动形式： ：跑步， ：篮球， ：跳绳， ：乒乓球，
：武术，进行了随机抽样调查，每个学生只能选择一种运动形式，调查统计结果，绘制了不完整的统计
图.
（1）将条形图补充完整；
（2）如果初一年级有 1200 名学生，估计喜爱跳绳运动的有多少人？
（3）某次体育课上，老师在 5 个一样的乒乓球上分别写上 ， ， ， ， 放在不透明的口袋中，每
人每次摸出一个球并且只摸一次，然后放回，按照球上的标号参加对应活动，小明和小刚是好朋友，请用
树状图或列表法的方法，求他俩恰好是同一种活动形式的概率.
【答案】（1）答案见解析；（2）估计喜爱跳绳运动的有 360 人；（3） .
【解析】
（1）D 类型的人数为 30﹣（4+6+9+3）=8（人），补全条形图如下：
（2）根据题意得：
1200 360（人）．
答：估计喜爱跳绳运动的有 360 人；
A B C D
E
A B C D E
1
5
9
30
× =8
（3）画树状图如下：
由树状图可知，共有 25 种等可能结果，其中他俩恰好是同一种活动形式的有 5 种，他俩恰好是同一种活动
形式的概率为 ．
9．如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字 1、2、3、4，若连续自 由转动转盘二次，指针指向的数
字分别记作 a、b，把 a、b 作为点 A 的横、纵坐标．
(1)求点 A（a，b）的个数；
(2)求点 A（a，b）在函数 y＝ 的图象上的概率．（用列表或树状图写出分析过程）
【答案】（1）16；（2）
【解析】
(1)列表得：
因此，点 A(a,b)的个数共有 16 个；
(2)若点 A 在 y= 上，则 ab=12，
由(1)得满足 ab=12 的有两种
5 1
25 5
=
12
x
1
8
12
x9
因此，点 A(a,b)在函数 y= 图象上的概率为 .
10．为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情
况，随机抽取了 x 名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目）．并将调
查结果绘制成如下统计图表：
学生最喜欢的节目人数统计表
节目 人数（名） 百分比
最强大脑 5 10%
阅读者 15 B%
中国诗词大会 a 40%
出彩中国人 10 20%
根据以上提供的信息，解答下列问题
（1）x＝ ，a＝ ，b＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有学生 800 名，根据抽样调查结果，估计该校喜爱《中国诗词大会》节目的学生有多少名？
（4）李玲和王亮经过选拔代表班级参加校内即将举办的“中国诗词大会”，预赛分为 A、B、C 三组进行，
由抽签确定分组．李玲和王亮恰好分在一组的概率是多少？（要求用画树状图或列表法）
【答案】（1）50，20，30；（2）见解析；（3）估计该校喜爱《中国诗词大会》节目的学生有 320 人；
（4）见解析， .
【解析】
12
x
2 1=16 8
1
310
解：（1）x＝5÷10%＝50（人）；
a＝50×40%＝20；
b%＝ ×100%＝30%，即 b＝30；
故答案为 50，20，30；
（2）如图，
（3）800×40%＝320，
所以估计该校喜爱《中国诗词大会》节目的学生有 320 人；
（4）画树状图为：
共有 9 种等可能性情况，两个人在一个组的有 3 种可能，
所以李玲和王亮恰好分在一组的概率为 ．
11．电子政务、数字经济、智慧社会一场数字革命正在神州大地激荡．在第二届数字中国建设峰会召开之
际，某校举行了第二届“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛，将该校八年级参加竞赛的学生成
绩统计后，绘制成如下统计图表（不完整）：
“掌握新技术，走进数时代”信息技术应用大赛成绩频数分布统计表
组别 成绩 x（分） 人数
A 60≤x＜70 10
B 70≤x＜80 m
C 80≤x＜90 16
15
50
3 1
9 3
=11
D 90≤x≤100 4
请观察上面的图表，解答下列问题：
（1）统计表中 m＝ ；统计图中 n＝ ，D 组的圆心角是 度．
（2）D 组的 4 名学生中，有 2 名男生和 2 名女生．从 D 组随机抽取 2 名学生参加 5G 体验活动，请你画出树
状图或用列表法求：
①恰好 1 名男生和 1 名女生被抽取参加 5G 体验活动的概率；
②至少 1 名女生被抽取参加 5G 体验活动的概率．
【答案】（1）20、32、28.8；（2）①恰好 1 名男生和 1 名女生被抽取参加 5G 体验活动的概率为 ；②至
少 1 名女生被抽取参加 5G 体验活动的概率为 ．
【解析】
（1）被调查的总人数为 10÷20%＝50，
则 m＝50﹣（10+16+4）＝20，
n% 100%＝32%，即 n＝32，
D 组的圆心角是 360° 28.8°，
故答案为：20、32、28.8；
（2）①设男同学标记为 A、B；女学生标记为 1、2，可能出现的所有结果列表如下：
A B 1 2
A / （B，A） （1，A） （2，A）
B （A，B） / （1，B） （2，B）
2
3
5
6
16
50
= ×
4
50
× =12
1 （A，1） （B，1） / （2，1）
2 （A，2） （B，2） （1，2） /
共有 12 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中刚好抽到一男一女的结果有 8 种，
∴恰好 1 名男生和 1 名女生被抽取参加 5G 体验活动的概率为 ；
②∵至少 1 名女生被抽取参加 5G 体验活动的有 10 种结果，
∴至少 1 名女生被抽取参加 5G 体验活动的概率为 ．
12．小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有 3 个选项，第二道单
选题有 4 个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人
去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是______．
（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，那么小明顺利通关的概率是______．
【答案】
【解析】
（1）∵第一道单选题有 3 个选项，
∴小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是： ；
故答案为： ；
（2）分别用 A，B，C 表示第一道单选题的 3 个选项，a，b，c 表示剩下的第二道单选题的 3 个选项，
画树状图得：
∵共有 9 种等可能的结果，小明顺利通关的只有 1 种情况，
∴小明顺利通关的概率为： ．
8 2
12 3
=
10 5
12 6
=
1
3
1
9
1
3
1
3
1
913
故答案为： ．
13．如图，甲、乙两个转盘分别被分成了 等份与 等份，每份内均标有数字．分别旋转这两个转盘，将转
盘停止后指针所指区域内的两数相乘．
（1）请将所有可能出现的结果填入下表：
乙
积
甲
1 2 3 4
1
2
3
（2）积为 的概率为 ；积为偶数的概率为 ；
（3）从 这 个整数中，随机选取 个整数，该数不是（1）中所填数字的概率为 ．
【答案】（1）补全表格见解析；（2） ， ；（3） ．
【解析】
(1)补全表格如下：
(2)由表知，共有 种等可能结果，其中积为 的有 种，积为偶数的有 种结果，
1
9
3 4
9
1~12 12 1
1
12
2
3
1
6
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4 6 8
3 3 6 9 12
12 9 1 814
所以积为 的概率为 ；积为偶数的概率为 ，
故答案为： ， ；
(3)从 这 个整数中，随机选取 个整数，该数不是(1)中所填数字的有 和 这 种，
∴此事件的概率为 ，
故答案为： ．
9 1
12
8 2
12 3
=
1
12
2
3
1~12 12 1 5 7 2
2 1
12 6
=
1
6
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