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专题 23.1 图形的旋转（讲练）
一、知识点
1、旋转
把一个平面图形绕着平面内的一点 O 转动一个角度。（旋转中心：O 点，旋转角：转动的角度）
2、性质
①对应点到旋转中心的距离相等
②对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角
③旋转前后的图形全等
二、标准例题：
例 1：如图， 逆时针旋转一定角度后与 重合，且点 C 在 AD 上.
（1）指出旋转中心；
（2）若 ， ，求出旋转的度数；
（3）若 ， ，则 AE 的长是多少？为什么？
【答案】（1）A;（2） ；（3）2
【解析】
解：（1）中心为点 A
（2）∵ ，
∴旋转的度数为
（3）由旋转性质知：
，
∴
ABC∆ ADE∆
21B °∠ = 26ACB °∠ =
5AB = 3CD =
133°
21B °∠ = 26ACB °∠ =
180 21 26 133BAC ° ° ° °∠ = − − =
133°
AE AC= AD AB=
2AE AB CD−= =2
总结：本题考查旋转，熟练掌握旋转的性质是解题关键.
例 2：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．
(1)已知点 A(3，1)，连接 OA，作如下探究：
探究一：平移线段 OA，使点 O 落在点 B，设点 A 落在点 C，若点 B 的坐标为（1，2），请在图①中作出 BC，
点 C 的坐标是__________．
探究二：将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 90°，设点 A 落在点 D，则点 D 的坐标是__________；连接 AD，则 AD
＝________(图②为备用图)．
(2)已知四点 O(0，0)，A(a，b)，C，B(c，d)，顺次连接 O，A，C，B，O，若所得到的四边形为平行四边
形，则点 C 的坐标是____________．
【答案】(1)探究一 图见解析；(4，3)；探究二 (－1，3)；2 ；
(2)(a＋c，b＋d)
【解析】解：(1)探究一：∵点 A（3，1），连接 OA，平移线段 OA，使点 O 落在点 B．
设点 A 落在点 C，若点 B 的坐标为（1，2），
则 C 的坐标为（4，3）， 作图如图①所示.
探究二：∵将线段 OA 绕点 O 逆时针旋转 90 度，
设点 A 落在点 D．
则点 D 的坐标是（-1，3），如图②所示，由勾股定理得：OD2=0A2=12+32=10，
AD＝ ＝ =2 .
5
2 2OA OD+ 10 10+ 53
(2)(a＋c，b＋d)
∵四点 O(0，0)，A(a，b)，C，B(c，d)，顺次连接 O，A，C，B，O，所得到的四边形为平行四边形，
∴OA 綊 BC.
∴可以看成是把 OA 平移到 BC 的位置．
∴点 C 的坐标为(a＋c，b＋d)．
总结：本题考查坐标与图形的变换、平行四边形的性质等知识，综合性比较强，要求学生熟练掌握相关的
基础知识才能很好解决这类问题．
例 3：如图，点 是等边 内一点， ， ，将 绕点 顺时针方向旋转
得到 ，连接 ， .
（1）当 时，判断 的形状，并说明理由；
（2）求 的度数；
（3）请你探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？
【答案】（1） 为直角三角形，理由见解析；（2） ；（3）当 为 或 或
时， 为等腰三角形.
O ABC∆ 110AOB∠ = ° BOC α∠ = CO C 60°
CD AD OD
150α = ° AOD∆
DAO∠
α AOD∆
AOD∆ 50DAO∠ = ° α 125° 110° 140°
AOD∆4
【解析】解：（1） 为直角三角形，理由如下：
绕 顺时针旋转 得到 ，
和 均为等边三角形， ， ， ，
，
为直角三角形；
（2）由（1）知： ，
，
，
，
；
（3）∵∠AOB=110°，∠BOC=α
∴∠AOC=250°-a．
∵△OCD 是等边三角形，
∴∠DOC=∠ODC=60°，
∴∠ADO=a-60°，∠AOD=190°-a，
当∠DAO=∠DOA 时，
2（190°-a）+a-60°=180°，
解得：a=140°
当∠AOD=ADO 时，
190°-a=a-60°，
解得：a=125°，
当∠OAD=∠ODA 时，
190°-a+2（a-60°）=180°，
AOD∆
CO C 60° CD
OCD∴∆ ABC∆ BC AC= OC CD= 60BCO ACO∠ + ∠ = °
60ACD ACO∠ + ∠ = °
BCO ACD∴∠ = ∠
BOC ADC∴∆ ≅ ∆
150ADC BOC∴∠ = ∠ = °
90ADO ADC ODC∴∠ = ∠ − ∠ = °
AOD∴∆
BOC ADC∆ ≅ ∆
DAC CBO∴∠ = ∠
60CBO ABO∠ = °− ∠ 60CAO BAO∠ = °− ∠
DAO DAC CAO CBO CAO∴∠ = ∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ( ) (60 60 )ABO BAO°− ∠ + °− ∠ =
(20 )1 ABO BAO°− ∠ + ∠
180 110 70ABO BAO∠ + ∠ = °− ° = °
120 70 50DAO∴∠ = °− ° = °5
解得：a=110°
∴α=110°，α=140°，α=125°．
总结：本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，直角三角形的判定，全等三角形
的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
三、练习
1．综合性学习小组设计了如图 1 所示四种车轮，车轮中心的初始位置在同一高度，现将每种车轮在水平面
上进行无滑动滚动，若某个车轮中心的运动轨迹如图 2 所示，请利用刻度尺、量角器等合适的工具作出判
断，该轨迹对应的车轮是（ )
【答案】B
【解析】解：圆的中心在运动过程中位置始终不变，正方形中心的变化每 循环一次，五边形中心的变化
每 循环一次，六边形中心的变化每 循环一次，用量角器量得图 2 中一个弧所对的圆心角为 ，
故该轨迹对应的车轮为正方形的.
故答案为 B
2．如图所示，正方形 ABCD 中，E 在 BC 上，F 在 AB 上，且 . 按顺时针方向转动一个角
度后成为 .
问：（1）图中哪一个点是旋转中心？
90°
108° 120° 90°
45FDE °∠ = DEC∆
DGA∆6
（2） 是由 旋转了多少度形成的？
（3）指出图中的对应点、对应线段和对应角.
（4）求 的度数.
【答案】(1)点 ； (2)90°； (3)详见解析； (4)45°．
【解析】（1）D 点是旋转中心；
（2）旋转了 90°；
（3）对应点：D 对 D，G 对 E，A 对 C；
对应线段：DG 对 DE，DA 对 DC，AG 对 CE；
对应角：∠CDE 对∠ADG，∠CED 对∠AGE，∠C 对∠DAG；
（4）∵△DGA 是△DEC 绕点 D 旋转得来的，且旋转角为 90°，
∴∠GDE=90°，
又∵∠FDE=45°，
∴∠GDF=45°．
3．如图，在等边∆ ABC 中，D 是边 AC 上一点，连接 BD．将∆ BCD 绕点 B 逆时针旋转 60°得到∆ BAE，连接
ED．若 BC=10，BD=9，求∆ AED 的周长。
【答案】19.
【解析】∵△ABC 是等边三角形，
∴AC=AB=BC=10，
∵△BAE 由△BCD 逆时针旋旋转 60°得出，
∴AE=CD,BD=BE,∠EBD=60°，
∴AE+AD=AD+CD=AC=10，
∵∠EBD=60°，BE=BD，
∴△BDE 是等边三角形，
∴DE=BD=9，
∴△AED 的周长=AE+AD+DE=AC+BD=19.
故答案为：19.
DGA∆ DEC∆
GDF∠
D7
4．如图，将 绕着点 B 顺时针旋转至 ，使得 C 点落在 AB 的延长线上的 D 点处， 的边 BC
恰好是 的角平分线.
(1)试求旋转角 的度数；
(2)设 BE 与 AC 的交点为点 P，求证： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】（1）解：由旋转的性质，得：∠ABC=∠EBD，
即 ，
∴∠ABE=∠CBD，
∵BC 平分∠EBD，
∴∠EBC=∠CBD，
∴∠ABE=∠EBC=∠CBD，
∵∠ABE+∠EBC+∠CBD=180°，
∴∠CBD=60°.
（2）证明：如图，BE 与 AC 相交与点 P，DE 与 AC 相交与点 F，
由（1）知，∠EBC=∠CBD=60°，
由三角形外角定理，得：∠APB=∠EBC+∠C=60°+∠C，∠CBD=∠A+∠C=60°,
∴∠APB=∠A+2∠C
∴∠APB>∠A，结论成立.
5．在正方形 中，点 是直线 上一点.连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，
连接 .
ABC∆ EBD∆ ABC∆
EBD∠
CBD∠
APB A∠ > ∠
60°
ABE EBC EBC CBD∠ ∠ ∠ ∠+ = +
ABCD P BC AP PA P 90° PE
CE8
（1）如图 1.若点 在线段 的延长线上过点 作 于 .与对角线 交于点 .
①请仔细阅读题目，根据题意在图上补全图形；②求证： .
（2）若点 在射线 上，直接写出 ， ， 三条线段之间的数量关系（不必写过程）.
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）EC= （CD-PC）或 EC= （CD+PC）
【解析】解：（1）①补全图形如图所示.
②证明： 线段 绕点 顺时针能转 得到线段 ，
，
四边形 是正方形，
，
于 ，
， ，
，
.
，
P CB E EF BC⊥ H AC F
EF FH=
P BC CE CP CD
2 2
PA P 90° PE
∴ PA PE= 90APE∠ =
ABCD
∴ 4 90ABC∠ = ∠ =
AB BC=
EF BC⊥ H
∴ APB PEH∆ ≅ ∆
∴ PB EH= AB PH=
∴ BC PH=
∴ PB CH=
∴ CH EH=
1 452ACB BCD∠ = ∠ = °9
，
∴ ；
（2）当点 P 在线段 BC 上时： ．
理由：在 BA 上截取 BM=BP．则△PBM 是等腰直角三角形，PM= PB．
易证△PCE≌△AMP，可得 EC=PM，
∵CD-PC=BC-PC=PB，
∴EC=PM= PB= （CD-PC），
当点 P 在线段 BC 的延长线上时： ．
理由：在 BA 上截取 BM=BP．则△PBM 是等腰直角三角形，PM= PB．
易证△PCE≌△AMP，可得 EC=PM，
∵CD+PC=BC+PC=PB，
∴EC=PM= PB= （CD+PC）.
故答案为EC= （CD-PC）或 EC= （CD+PC）.
6．如图，在正方形网格中，△ABC 的顶点都在格点上，分別在下图中画一个三角形，同时满足下列两个条
件
①以点 C 为顶点，另外两个顶点在格点上；
②与△ABC 全等，但与△ABC 不重合。
∴ CH FH=
EH FH=
2( )CE CD CP= −
2
2 2
2( )CE CD CP= +
2
2 2
2 210
【答案】见解析.
【解析】解：以 AC 为对称轴，作出原三角形的轴对称图形；
点 C 为旋转中心，将△ABC 顺时针旋转 90°；
点 C 为旋转中心，将△ABC 逆时针旋转 90°；
点 C 为旋转中心，将△ABC 旋转 180°；11
7．如图，四边形 中， ，将 绕点 顺时针旋转一定角度后，点 的
对应点恰好与点 重合，得到 .
(1)请求出旋转角的度数；
(2)请判断 与 的位置关系，并说明理由；
(3)若 ， ，试求出四边形 的对角线 的长.
【答案】(1)旋转角的度数为 ； (2) ，理由见解析；(3) .
【解析】(1)∵将 绕点 顺时针旋转得到
∴
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
故旋转角的度数为
(2) .理由如下：
在 中，
ABCD 45ABC ADC∠ = ∠ = ° BCD∆ C B
A ACE∆
AE BD
2AD = 3CD = ABCD BD
90° AE BD⊥ 22BD =
BCD∆ C ACE∆
BCD ACE∆ ∆≌
AC BC=
45ABC∠ = °
45ABC BAC∠ = ∠ = °
90ACB∠ = °
90°
AE BD⊥
Rt BCM∆ 90BCM∠ = °12
∴
∵
∴
即
又∵
∴
∴
∴ .
(3)如图，连接 ，
由旋转图形的性质可知
，旋转角
∴
∵ ，
∴
在 中，
∴ ，
∵
∴
在 中，
∴
∴
8．如图，在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，将△ABC 绕点 C 逆时针方向旋转，使点 A 落在 AB 边上的点 D
处，得到△DEC．
90MBC BMC∠ + ∠ = °
BCD ACE∆ ∆≌
DBC EAC∠ = ∠
MBC NAM∠ = ∠
BMC AMN∠ = ∠
90AMN CAE∠ + ∠ = °
90AND∠ = °
AE BD⊥
DE
,CD CE BD AE= = 90DCE∠ = °
45EDC CED∠ = ∠ = °
3CD =
3CE =
Rt DCE∆ 90DCE∠ = °
2 2 3 2DE CD CE= + =
45ADC∠ = °
90ADE ADC EDC∠ = ∠ + ∠ = °
Rt ADE∆ 90ADE∠ = °
2 2 22EA AD DE= + =
22BD =13
（1）点 B 的对应点是点 ，BC 的对应线段是 ．
（2）判断△ACD 的形状．
（3）若 AD=CD，求∠B 和∠BCE 的度数．
【答案】（1）E，EC；（2）等腰三角形；（3）30°，60°
【解析】解：（1）∵将△ABC 绕点 C 逆时针方向旋转，使点 A 落在 AB 边上的点 D 处，得到△DEC．
∴点 B 的对应点是 E，AC 对应线段是 EC．
故答案为：E，EC；
（2）答：△ACD 是等腰三角形．
∵AC=CD，
∴△ACD 是等腰三角形；
（3）∵AC=DC，AD=CD，
∴AD=DC=AD，
∴△ACD 是等边三角形，
∴∠A=∠ACD=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∴∠B=90°-60°=30°，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠BCE=∠ACD=60°．
9．如图，A，B 两点的坐标分别为（3，0）、（0，2），将线段 AB 平移至 A1B1，且 A1（5，b）、B1（a，3）．
（1）将线段 A1B1 绕点 A1 顺时针旋转 60°得线段 A1B2，连接 B1B2 得△A1B1B2，判断△A1B1B2 的形状，并说明
理由；
（2）求线段 AB 平移到 A1B1 的距离是多少？14
【答案】（1）见解析;（2） ．
【解析】解：（1）∵B1A1＝A1B2，∠B1A1B2＝60°，
∴△A1B1B2 是等边三角形．
（2）线段 AB 平移到 A1B1 的距离是线段 AA1 的长，AA1＝ ＝ ．
10．如图，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△EDC．若点 A、D、E 在同一条直线上，且∠ACB=20°，求
∠CAE 及∠B 的度数．
【答案】∠CAE=45°；∠B=115°．
【解析】解：根据旋转的性质可知 CA=CE，且∠ACE=90°，
所以△ACE 是等腰直角三角形．
所以∠CAE=45°；
根据旋转的性质可得∠BDC=90°，
∵∠ACB=20°．
∴∠ACD=90°-20°=70°．
∴∠EDC=45°+70°=115°．
所以∠B=∠EDC=115°．
11．如图，已知点 O、直线 和三角形 ABC，将三角形 ABC 绕点 O 顺时针旋转角 得到三角形 ，点
恰好是点 A 关于直线 的对称点。画出三角形 。
5
( )2 25-3 +1 5
l α A B C′ ′ ′ A′
l A B C′ ′ ′15
【答案】如图所示见解析.
【解析】如图所示.
12．如图，点 在等边三角形 的边 上，将 绕点 旋转，使得旋转后 点的对应点为点
，点 的对应点为点 ，请完成下列问题：
(1)画出旋转后的图形；
(2)判断 与 的位置关系并说明理由.
【答案】(1)见解析；(2)AB//CE，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据“同旁内角互补，两直线平行”进行证明即可.
【详解】
D ABC BC ABD∆ A B
C D E
AB CE16
(1)旋转后的图形如下：
①作
②截取
③连接
(2) 与 的位置关系是平行，
理由：由等边三角形 得：
由于 绕点 旋转到
∴
∴ 即
∴
13．如图，已知△BAD≌△BCE，∠BAD＝∠BCE＝90°，∠ABD＝∠BEC＝30°，点 M 为 DE 的中点，过点 E
与 AD 平行的直线交射线 AM 于点 N．
（1）如 图 1，当 A、B、E 三点在同一直线上时，
①求证：△MEN≌△MDA；
②判断 AC 与 CN 数量关系为_______，并说明理由.
（2）将图 1 中△BCE 绕 点 B 逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN 能否为等腰直角三角形？若能，直接写出
旋转角度；若不能，说明理由．
【答案】（1）①见解析，②AC=CN，见解析；（2）△BCE 绕点 B 逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN 为等腰
直角三角形时，旋转角度为 60°或 240°．
CAE BAD∠ = ∠
AE AD=
CE
AB CE
ABC 60B ACB °∠ = ∠ =
ABD∆ A ACE∆
60ACE °∠ =
180B ACB ACE °∠ + ∠ + ∠ = 180B BCE °∠ + ∠ =
AB CE17
【解析】解：（1）①∵△BAD≌△BCE，
∴BC=AD，EC=AB．
∵EN∥AD，
∴∠MEN=∠MDA．
在△MEN 与△MDA 中，
∴△MEN≌△MDA（ASA），
②AC=CN，
由①知，△MEN≌△MDA，
∴EN=AD，
∴EN=BC．
在△ABC 与△CEN 中，
∴△ABC≌△CEN（SAS），
∴AC=CN．
（2）与（1）同理，可证明△MEN≌△MDA，
∴EN=BC．
设旋转角为 α，则∠ABC=120°+α，
∠DBE=360°-∠DBA-∠ABC-∠CBE=360°-30°-（120°+α）-60°=150°-α．
∵BD=BE，
，
∵EN∥AD，
∴∠MEN=∠MDA=∠ADB+∠BDE= ，
MEN MDA
ME MD
EMN DMA
∠ = ∠
=
∠ = ∠
120
AB EC
ABC CEN
BC EN
°
=
∠ = ∠ =
=
( )1 1180 152 2BED BDE DBE α° °∴∠ = ∠ = − ∠ = +
1 160 15 752 2
α α° ° ° + + = + 18
，
∴∠ABC=∠CEN．
在△ABC 与△CEN 中，
，
∴△ABC≌△CEN（SAS），
∴AC=CN，∠BAC=∠NCE，
∵△CAN 能成为等腰直角三角形
∴∠ACN=90°，
∴∠ACB=∠NCE，
∴∠BAC=∠ACB，
∵AB≠CB，
∴点 A，B，C 在同一条直线上，
此时旋转角为 60°．如下图所示：
即△BCE 绕点 B 逆时针旋转一周，旋转过程中△CAN 为等腰直角三角形时，旋转角度为 60°或 240°．
14．如图，已知坐标平面内的三个点 A（1，3），B（3，1），O（0，0），
（1）请画出把△ABO 向下平移 5 个单位后得到的△A1B1O1 的图形；
（2）请画出将△ABO 绕点 O 顺时针旋转 90°后得到的△A2B2O2，并写出点 A 的对应点 A2 的坐标。
1 130 15 75 1202 2CEN CEB BED MEN α α α° ° ° ° ∴∠ = ∠ + ∠ + ∠ = + + + + = +
120
AB EC
ABC CEN
BC EN
°
=
∠ = ∠ =
=19
【答案】（1）见解析（2）（3，-1）
【解析】
（1）
（2） 由图可知，A2 的坐标为（3，﹣1）.
15．在平面直角坐标系中， 的位置如图所示（每个小方格都是边长为 个单位长度的正方形）.
（1）将 沿 轴方向向左平移 个单位，画出平移后得到的 ；
（2）将 绕着点 顺时针旋转 ，画出旋转后得到的 .
ABC△ 1
ABC△ x 6 1 1 1A B C△
ABC△ A 90° 2 2AB C△20
【答案】（1）见解析；（2）见解析。
【解析】解：（1）如图，△A1B1C1 即为所求；
（2）如图，△AB2C2 即为所求．
16．如图所示，正方形网格中，△ABC 为格点三角形(即三角形的顶点都在格点上).
(1)把△ABC 沿 BA 方向平移后，点 A 移到点 A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
(2)把△A1B1C1 绕点 A1 按逆时针方向旋转 90°，得到△A1B2C2，在网格中画出旋转后的△A1B2C2.
(3)连结 ，请判断 的形状，并说明理由.
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 是等腰直角三角形
【解析】(1)如图所示， 就是所求；
(2)如图所示， 就是所求；
(3) 是等腰直角三角形，理由如下：
1 2C C 1 1 2AC C∆
1 1 2AC C∆
1 1 1A B C∆
1 2 2A B C∆
1 1 2AC C∆21
由旋转性质可知： ，
是等腰直角三角形.
1 2 1 1AC AC= 2 1 1 90C AC∠ = °
1 1 2AC C∴∆
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