专题22.1二次函数的图象和性质（讲练）
一、知识点
知识点1：二次函数的概念及解析式
1.二次函数的定义
y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.
知识点2：二次函数的图像和性质
2.解析式
（1）三种解析式：
①一般式：y=ax2+bx+c;
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.
3.二次函数的图象和性质
图象
开口
向上
向下
对称轴
x＝
顶点坐标
增减性
当x>时，y随x的增大而增大；当x＜时，y随x的增大而减小.
当x>时，y随x的增大而减小；当x＜时，y随x的增大而增大.
最值
x=，y最小＝.
x=，y最大＝.
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3.系数a、b、c的作用
a
决定抛物线的开口方向及开口大小
当a＞0时，抛物线开口向上；
当a＜0时，抛物线开口向下.
a、 b
决定对称轴（x=-b/2a）的位置
当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边；
当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴；
当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边．
c
决定抛物线与y轴的交点的位置
当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c＝0时，抛物线经过原点；
当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
知识点3：二次函数的平移
4.平移与解析式的关系
注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分）
二、标准例题：
例1：已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上，顶点坐标 B．开口向下，顶点坐标
C．开口向上，顶点坐标 D．开口向下，顶点坐标
【答案】A
【解析】解：∵，其中a=2＞0，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标（3,1）.
故选A.
总结：抛物线的开口方向由a的正负确定，a＞0时开口向上，a＜0时开口向下，顶点坐标是（h，k），据此判断即可.
例2：已知，与为二次函数图象上的三点，则的大小关系
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是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解法1：将，与代入，得，∴；
解法2：抛物线的对称轴为，在，与三点中，离对称轴最近，次之为，最远的是，又因为抛物线开口向下，所以.
故选B.
总结：本题考查了二次函数的图象和性质，此类题的解题思路是先确定抛物线开口方向，再确定抛物线的对称轴，最后结合抛物线的增减性进行判断.
例3：课堂上，老师给出一道题：如图，将抛物线C：y＝x2﹣6x+5在x轴下方的图象沿x轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线C在x轴上方的图象记为G，已知直线l：y＝x+m与图象G有两个公共点，求m的取值范围甲同学的结果是﹣5＜m＜﹣1，乙同学的结果是m＞．下列说法正确的是（ ）
A．甲的结果正确
B．乙的结果正确
C．甲、乙的结果合在一起才正确
D．甲、乙的结果合在一起也不正确
【答案】D
【解析】解：令y＝x2﹣6x+5＝0，解得（1，0），（5，0）
将点（1，0），（5，0）分别代入直线y＝x+m，得m＝﹣1，﹣5；
∴﹣5＜m＜﹣1
由题可知，图象G中的顶点为（3，4）
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代入直线y＝x+m，得m＝1，
∴m＞1
综上所述，m＞1或﹣5＜m＜﹣1
故选：D．
总结：本题主要考查抛物线与直线的交点问题，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.
例4：如图，抛物线y=﹣x2﹣x+4与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求△ACP面积的最大值．
【答案】(1) A（﹣4，0），B（2，0）；(2)△ACP最大面积是4.
【解析】(1)解：设y=0，则0=﹣x2﹣x+4
∴x1=﹣4，x2=2
∴A（﹣4，0），B（2，0）
(2)作PD⊥AO交AC于D
设AC解析式y=kx+b
∴
解得：
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∴AC解析式为y=x+4.
设P（t，﹣t2﹣t+4）则D（t，t+4）
∴PD=（﹣t2﹣t+4）﹣（t+4）=﹣t2﹣2t=﹣（t+2）2+2
∴S△ACP=PD×4=﹣（t+2）2+4
∴当t=﹣2时，△ACP最大面积4.
总结：本题是二次函数的综合题，重在基础知识的考查，其中第（2）题是一个常见的二次函数模型，解决此类题的思路（以本题为例）是作PD⊥AO交AC于D，△ACP的面积可以表示成PD×OA，其中OA是定值，P、D两点有相同的横坐标，所以PD的长可用它们的横坐标的关系式来表示，这样△ACP的面积就表示成了P点横坐标的二次函数，再用二次函数求最值的方法求解即可.
三、练习
1. 将二次函数y=2x2+8x﹣7化为y=a（x+m）2+n的形式，正确的是（ ）
A．y=2（x+4）2﹣7 B．y=2（x+2）2﹣7
C．y=2（x+2）2﹣11 D．y=2（x+2）2﹣15
【答案】D
【解析】
=
=
=.
故选D.
2.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（ ）
A．1或6 B．3或6 C．1或3 D．4或6
【答案】A
【解析】解：对于二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），其开口向下，顶点为（h
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，0），函数的最大值为0，因为当x满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，故h不能取2—5（含2与5）之间的数，故h＜2或h＞5.
当h＜2，2≤x≤5时，因为抛物线开口向下，所以y随x的增大而减小，所以当x=2时，y有最大值，此时，解得（舍去）；
当h＞5，2≤x≤5时，因为抛物线开口向下，所以y随x的增大而增大，所以当x=5时，y有最大值，此时，解得（舍去）；
综上可知：h= 1或6.
故选A.
3．将抛物线y=3x2+1向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（ ）
A．y=3（x+1）2﹣2 B．y=3（x+1）2+2
C．y=3（x﹣3）2+1 D．y=3（x﹣3）2﹣1
【答案】A
【解析】解：抛物线y=3x2+1向左平移1个单位，可得y=3（x+1）2+1，再向下平移3个单位得到y=3（x+1）2+1－3，即y=3（x+1）2－2.
故选A.
4．抛物线y=﹣x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，而开口方向相反，则a=（ ）
A．﹣ B．3 C．﹣3 D．
【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=﹣x2+3x﹣2与y=ax2的形状相同，
∴.
∵开口方向相反，
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∴两个函数的二次项系数互为相反数，即.
故选D.
5．顶点为，且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：∵顶点是，
∴可设顶点式，
又∵形状与的图象相同，
∴，
∴．
故选．
6．如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：①；②；③.其中，正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：根据图象可知a＞0，c＜0，b＞0，
∴, 故③错误；
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∵.
∴B（-c，0）
∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-2，0）和B（-c，0）两点，
∴ ， ac2-bc+c=0
∴ ，ac-b+1=0，
∴，故②正确；
∴，b=ac+1
∴,
∴2b-c=2，故①正确；
故选：C．
7．抛物线（）的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，下列结论是：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④；⑤若点在该抛物线上，则，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】如图，∵与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是，
实验求出二次函数与x轴的另一个交点为（-2,0）
故可补全图像如下，
由图可知a＜0，c＞0，对称轴x=1,故b＞0，
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∴，①错误，
②对称轴x=1,故x=-,∴，正确；
③如图，作y=2图像，与函数有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，正确；④∵x=-2时，y=0,即，正确；⑤∵抛物线的对称轴为x=1,故点在该抛物线上，则，正确；
故选D
8．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【解析】令y=0，得x1=-1,x2=3,∴A（-1,0），B（3,0）∴AB=4，A正确；
令x=0，得y=-3，
∴C（0，-3）∴OC=BO, ,B正确；
由图像可知当时，，故C正确，
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故选D.
9．如图，在平面直角坐标系中条直线为,直线交轴于点,交轴于点,直线交轴于点,过点作轴的平行线交于点,点关于轴对称,抛物线过三点，下列判断中:①;②;③抛物线关于直线对称;④抛物线过点;⑤四边形,其中正确的个数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：由题意得，A（1,0），B（0,3），D（3,0），C（2,3）E（-1,0）
又∵抛物线过三点
将三点坐标代入，得
∴①结论正确；
解得
∴抛物线解析式为
∴，②结论错误；
抛物线的对称轴为，③结论正确；
点即为（2,3），抛物线过此点，④结论正确；
，⑤结论错误.
故正确的个数是3，选C.
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10．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab＜0；②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3；③a+b+c＞0；④当x＜1时，y随x值的增大而增大；⑤当y＞0时，x＜-1或x＞3．其中，正确的说法有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：根据图象可知：
①对称轴＞0，故ab＜0，正确；
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3，正确；
③x=1时，y=a+b+c＜0，错误；
④当x＜1时，y随x值的增大而减小，错误；
⑤当y＞0时，x＜-1或x＞3，正确．
正确的有①②⑤．故选：B．
11．某抛物线的顶点坐标为（1，-2），且经过（2，1），则抛物线的解析式为（ ）
A．y=3x2-6x-5 B．y=3x2-6x+1 C．y=3x2+6x+1 D．y=3x2+6x+5
【答案】B
【解析】解: ∵抛物线的顶点坐标为（1，-2），且经过（2，1），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-2，
把（2，1）代入得：1=a（2-1）2-2，
解得：a=3，
∴y=3（x-1）2-2=3x2-6x+1，
故选：B
12．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
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【答案】D
【解析】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，
得：解得
所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4．
故选：D
13．二次函数（）的图象如图所示，对称轴为，给出下列结论：①； ②当时，；③；④，其中正确的结论有__________．
【答案】①③④
【解析】解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，
∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，∴c＜0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1，
∴，∴2a+b=0，b＜0.
∴；故①正确；
由二次函数的图象可知，抛物线与x轴的右交点的横坐标应大于2小于3，
∴当x＞2时，y有小于0的情况，故②错误；
∵当x=－1时，y＞0，
∴＞0，
把代入得：，故③正确；
前面已得2a+b=0，又∵a＞0，∴，故④正确；
故答案为：①③④.
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14.抛物线与轴的公共点是，则这条抛物线的对称轴是__________．
【答案】
【解析】解：根据抛物线的对称性可得：的中心坐标为（1，0）因此可得抛物线的对称轴为
故答案为
15．如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标.
（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y=﹣x2+5x+6；（2）点M（）；（3）点P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．
【解析】（1）当x=0时，y=ax2+bx+6=6，则C（0，6），
设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣6），
把C（0，6）代入得a•1•（﹣6）=6，解得a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣6），即y=﹣x2+5x+6；
（2）∵抛物线的对称轴是直线x=，直线AC的解析式为y=-x+6，点B关于对称轴直线x=的对称点为点A，
∴连接AC，交直线x=于点M，此时点M满足CM+BM最小，
当x=时，y=，∴点M（）
（3）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），存在4个点P，使△ACP为直角三角形．
PC2=x2+（﹣x2+5x）2，PA2=（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2=62+62=72，
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当∠PAC=90°，∵PA2+AC2=PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72=x2+（﹣x2+5x）2，
整理得x2﹣4x﹣12=0，解得x1=6（舍去），x2=﹣2，此时P点坐标为（﹣2，﹣8）；
当∠PCA=90°，∵PC2+AC2=PA2，
72+x2+（﹣x2+5x）2=（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，
整理得x2﹣4x=0，解得x1=0（舍去），x2=4，此时P点坐标为（4，10）；
当∠APC=90°，∵PA2+AC2=PC2，
∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2=72，
整理得x3﹣10x2+20x+24=0，
x3﹣10x2+24x﹣4x+24=0，
x（x2﹣10x+24）﹣4（x﹣6）=0，
x（x﹣4）（x﹣6）﹣4（x﹣6）=0，
（x﹣6）（x2﹣4x﹣4）=0，
而x﹣6≠0，
所以x2﹣4x﹣4=0，解得x1=2+2，x2=2﹣2，此时P点坐标为（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）；
综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．
16．已知抛物线（，且为常数）．
（）求证：抛物线与轴有两个公共点．
（）若抛物线与轴的一个交点为，另一个交点为，与轴交点为，直接写出直线与抛物线对称轴的交点的坐标．
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【答案】(1)证明见解析 （2）
【解析】解：（），，，
，
，
又∵且为常数，
∴，
∴，
∴抛物线与轴有两个公共点．
（）∵与轴的一个交点为，
∴把代入中有
，
，
．
∴，
∴，
∴另一个交点是，
与轴交点，
∴设直线为：，
代入，后，
，
∴，
又∵抛物线的对称轴是，
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∴，
∴点．
17．已知二次函数．
（）用配方法将化成的形式．
（）当时，的最小值是__________，最大值是__________．
（）当时，直线写出的取值范围．
【答案】（）y=；（）最小值是，最大值是；（）
【解析】（）
．
（）函数的图象开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
当时，，
当时，，
∴当时，的最小值是，最大值是．
（）∵y=0时, =0，解得x=2或4，
∴当y
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