2020年九年级数学上册第二十四章圆24.4弧长和扇形面积测试卷（含解析新人教版）.docx

1 专题 24.4 弧长和扇形面积（测试） 一、单选题 1．一个圆锥的侧面展开图是半径为 8 的半圆，则该圆锥的全面积是( ) A．48π B．45π C．36π D．32π 【答案】A 【解析】设圆锥底面圆的半径为 r，母线长为 l，则底面圆的周长等于半圆的弧长 8π， ∴ ， ∴ ， ∴圆锥的全面积= ， 故选 A. 2．如图，直径为 2cm 的圆在直线 l 上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：圆所扫过的图形面积 ， 故选：A． 3．如图，在 中， ，将△AOC 绕点 O 顺时针旋转 后得到 ，则 AC 边在 旋转过程中所扫过的图形的面积为（ ） ． A． B． C． D． 2 8rπ π= 4r = 2 16 32 48S S rl rπ π π π π+ = + = + =侧 底 5π 6π 20π 24π π 2π 2 5π= + × = AOC∆ 3 1OA cm OC cm＝ ， ＝ 90 BOD∆ 2cm 2 π 2π 17 8 π 19 8 π2 【答案】B 【解析】 解： ∴阴影部分的面积＝扇形 OAB 的面积﹣扇形 OCD 的面积 故选：B． 4．如图，在 中， 以 BC 为直径的半圆 O 交斜边 AB 于点 D，则 图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵在 中， ， ， ， ，BC 为半圆 O 的直径， ， ， ， 图中阴影部分的面积 故选：A． 5．如图， 中， ， ， ，则阴影部分的面积是( ) AOC BOD∆ ∆ ≌ ， 2 290 3 90 1 2360 360 π π π⋅ × ⋅ ×= − = Rt ABC∆ 90 30 4ACB A BC∠ = ° ∠ = ° =， ， ， 4 33 π − 2 3 3 2 π − 1 3 3 2 π − 1 33 π − Rt ABC∆ 90 30ACB A∠ ° ∠ °＝ ， ＝ 60B∴∠ °＝ 120COD∴∠ °＝ 4BC ＝ 90CDB∴∠ °＝ 2OC OD∴ ＝ ＝ 3 2 32CD BC∴ = = 2120 2 1 42 3 1 3360 2 3CODCODS S π π ∆ ⋅ × − × × = −扇形＝ ﹣ ＝ ， O  AB AC= 75ACB∠ = ° 2BC =3 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， 作 ， ∵ ， ∴ ， ∴ 经过圆心 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ π， 故选：A． 22 3 π+ 22 3 3 π+ + 24 3 π+ 42 3 π+  AB AC= AB AC= 75ACB∠ = ° 75ABC ACB∠ = ∠ = ° 30BAC∠ = ° 60BOC∠ = ° OB OC= BOC∆ 2OA OB OC BC= = = = AD BC⊥ AB AC= BD CD= AD O 3 32OD OB= = 2 3AD = + 1 2 32ABCS BC AD∆ = ⋅ = + 1 32BOCS BC OD∆ = ⋅ = ABC BOCBOCS S S S∆ ∆= + −阴影 扇形 260 2 22 3 3 2360 3 π ×= + + − = +4 6．如图， 内接于圆 ， ， ，若 ，则弧 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 连接 OB，OC． ∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-65°-70°=45°， ∴∠BOC=90°， ∵BC=2 ， ∴OB=OC=2， ∴ 的长为 =π， 故选 A． 7．如图菱形 OABC 中，∠A＝120°，OA＝1，将菱形 OABC 绕点 O 顺时针方向旋转 90°，则图中阴影部分的 面积是（　　） ABC△ O 65B∠ = ° 70C∠ = ° 2 2BC = BC π 2π 2π 2 2π 2 BC 90 2 180 π× ×5 A． B． C． D． ﹣1 【答案】B 【解析】连接 OB、OB′，过点 A 作 AN⊥BO 于点 N， 菱形 OABC 中，∠A＝120°，OA＝1， ∴∠AOC＝60°，∠COA′＝30°， ∴AN＝ ， ∴NO＝ ， ∴BO＝ ， ∴S△CBO＝S△C′B′O＝ × AO•2CO•sin60°＝ ， S 扇形 OCA′＝ ， S 扇形 OBB′＝ ； ∴阴影部分的面积＝ ． 故选：B． 8．如图，将 沿弦 折叠， 恰好经过圆心 ，若 的半径为 3，则 的长为（ ） 2 3 π 2 3 3 2 π − 11 3 12 2 π − 2 3 π 1 2 21 31- =2 2 （ ） 3 1 2 1 2 3 4 30 =360 12 π π 90 3 3=360 4 ×π π 3 3 2 3- 2 = -4 4 12 3 2 × ×π π（ ） π O AB AB O O AB6 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意作 ,垂足为 C 沿弦 折叠， 恰好经过圆心 ，若 的半径为 3 , 圆心角 = 故选 C. 9．如图所示，圆锥底面的半径为 5，母线长为 20，一只蜘蛛从底面圆周上一点 A 出发沿圆锥的侧面爬行一 周后回到点 A 的最短路程是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 圆锥的底面周长=2π×5=10π， 设侧面展开图的圆心角的度数为 n． ∴ ， 解得 n=90， 圆锥的侧面展开图，如图所示： 1 2 π π 2π 3π OC AB⊥  O AB AB O O 3 2OC∴ = 30OAB °∠ = ∴ 120AOB °∠ = ∴ AB 120 2 3 2360 π π× × = 8 10 2 15 2 20 2 n 2010 180 ππ ⋅=7 ∴最短路程为： =20 ， 故选 D． 10．如图，在正方形铁皮中剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少，用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的 侧面，正好围成一个圆锥．若圆的半径记为 ，扇形的半径记为 R，则 与 R 之间的数量关系为( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为拼成一个圆锥，所以底面圆的周长等于扇形的弧长，即 ， 整理得 . 故选 D. 11．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中， ．若上面圆锥的侧面积为 1，则下面 圆锥的侧面积为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】∵∠A＝90°，AB＝AD， ∴△ABD 为等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45°，BD＝ AB， ∵∠ABC＝105°， ∴∠CBD＝60°， 而 CB＝CD， ∴△CBD 为等边三角形， 2 220 20+ 2 r r 2R r＝ R r＝ 3R r＝ 4R r＝ 902 R180rπ π= ⋅ 4R r＝ 90 , 105A ABC° °∠ = ∠ = 3 3 2 2 28 ∴BC＝BD＝ AB， ∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同， ∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于 AB：CB， ∴下面圆锥的侧面积＝ ×1＝ ． 故选 D． 12．如图，半径为 1 的⊙O 与正五边形 ABCDE 相切于点 A，C，则劣弧 AC 的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接 OA、OC，如图． ∵五边形 ABCDE 是正五边形， ∴∠E＝∠D＝ ＝108°． ∵AE、CD 与⊙O 相切， ∴∠OAE＝∠OCD＝90°， ∴∠AOC＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°， ∴劣弧 AC 的长为 ． 故选：D． 13．如图，在 Rt△ABC 中，已知∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，扇形 CBD 的圆心角为 60°，点 E 为 CD 上一 2 2 2 2 5 π 2 3 π 3 4 π 4 5 π (5 2) 180 5 °− × 144 1 4 180 5 π π× =9 动点，P 为 AE 的中点，当点 E 从点 C 运动至点 D，则点 P 的运动路径长是 ( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，取 AB 的中点 Q，连结 PQ，连结 EB. ∵P 为 AE 的中点，Q 为 AB 的中点， ∴PQ 为△AEB 的中位线， ∴PQ∥EB，且 PQ= EB= BC= . ∴点 P 在以 Q 为圆心， 为半径的圆上运动. 当点 E 从点 C 运动至点 D 时，点 P 所转动的角度为 60°， ∴点 P 的运动路径长是 . 故选：A. 14．如图，将半径为 1，圆心角为 120°的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转一个角度，使点 O 的对应点 D 落在弧 AB 上，点 B 的对应点为 C，连接 BC，则图中 CD、BC 和弧 BD 围成的封闭图形面积是（　　） 2 π 6 π π 3 2 1 2 1 2 3 2 3 2 360 2 180 2 π π⋅ =10 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，连接 OD． 由题意：OA＝OD＝AD， ∴△AOD 是等边三角形， ∴∠ADO＝∠AOD＝60°， ∵∠ADC＝∠AOB＝120°， ∴∠ADO+∠ADC＝180°， ∴O，D，C 共线， ∴图中 CD、BC 和弧 BD 围成的封闭图形面积＝S△OBC﹣S 扇形 ODB＝ ×1× ﹣ ＝ - ， 故选：B． 15．如图，AB 是半圆 O 的直径，且 AB=12，点 C 为半圆上的一点．将此半圆沿 BC 所在的直线折叠，若圆弧 BC 恰好过圆心 O，则图中阴影部分的面积是（　　） A．4π B．5π C．6π D．8π 【答案】C 【解析】过点 O 作 0D⊥BC 于点 D,交弧 BC 于点 E,连接 OC 3 6 π− 3 2 6 π− 3 2 8 π− 3 3 π− 1 2 3 260 1 360 π  3 2 6 π11 则点 E 是弧 BEC 的中点,由折叠的性质可得点 O 为弧 BOC 的中点, ∴S 弓形 BO=S 弓形 CO， 在 Rt△BOD 中,OD=DE= R=3,OB=R=6 ∴∠OBD=30° ∴∠AOC=60° ∴S 月影=S 扇形 AOC= 故选:C 16．如图，在半径为 6 的⊙O 中，点 A，B，C 都在⊙O 上，四边形 OABC 是平行四边形，则图中阴影部分的 面积为（ ） A．6π B． π C． π D．2π 【答案】A 【解析】解：连接 OB， ∵四边形 OABC 是平行四边形， ∴AB=OC， 1 2 260 6 =6360 ×π π 3 3 2 312 ∴AB=OA=OB， ∴△AOB 是等边三角形， ∴∠AOB=60°， ∵OC∥AB， ∴S△AOB=S△ABC， ∴图中阴影部分的面积=S 扇形 AOB= 故选：A． 二、填空题 17．如图，用等分圆的方法，在半径为 OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若 OA＝2，则四叶幸运 草的周长是________． 【答案】8π． 【解析】由题意得： 四叶幸运草的周长为 4 个半圆的弧长＝2 个圆的周长， ∴四叶幸运草的周长＝2×2π×2＝8π； 故答案为：8π． 18．若扇形的面积为4π，它所对的圆心角为90°，则这个扇形的半径为________． 【答案】4 【解析】∵S = nπr2 360 ， ∴r2 = 360S nπ = 16， ∴r＝4. 故答案为：4 19．如图，长方形纸片 ABCD 的长 AB＝3，宽 BC＝2，以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径作弧；以点 C 为圆心， 以 BC 的长为半径作弧．则图中阴影部分的面积是_____． 60 36 6360 π π⋅ × =13 【答案】 6 【解析】由图可得， 图中阴影部分的面积是： 6， 故答案为： 6． 20．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA＝9，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高的 OC 的长度是 _____． 【答案】6 【解析】解：设这个圆锥的底面半径为 r， 根据题意得 ， 解得 r＝3． 所以 OC＝ ． 答：此圆锥高的 OC 的长度为 6 ． 故答案为 6 ． 三、解答题 21．如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A( ,0),点 B(0,1)，直线 EF 与 x 轴垂直，A 为垂足。 13π 4 − 2 290 π 3 90 π 2 13π3 2360 360 4 × × × ×+ − × = − 13π 4 − 2 120 92 180r ππ =   2 2 2 29 3 6 2CA OA− = − = 2 2 314 (1)若线段 AB 绕点 A 按顺时针方向旋转到 AB′的位置,并使得 AB 与 AB′关于直线 EF 对称,请你画出线段 AB 所扫过的区域(用阴影表示)； (2)计算(1)中线段 AB 所扫过区域的面积。 【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】(1)如图所示； (2)∵点 A( ,0),点 B(0,1)， ∴BO=1,AO= ， ∴AB= =2， ∴tan∠BAO= ， ∴∠BAO=30°， ∵线段 AB 绕点 A 按顺时针方向旋转到 AB′的位置， ∴∠1=30°， ∴∠BAB′=180°−30°−30°=120°， 阴影部分的面积为： . 22．∆ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为 1 个单位长度. 4 3 π 3 3 2 2( 3) 1+ 1 3= = 33 BO AO 2120 2 4=360 3 π π×15 （1）画出∆ABC 关于原点 O 的中心对称图形∆A1B1C1，并写出点 A1 的坐标； （2）将∆ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到∆A2B2C，画出∆A2B2C，求在旋转过程中，线段 CA 所扫过的面积. 【答案】（1）图见解析，A1（2，-4）；（2）图见解析，面积为 【解析】解：（1）△A1B1C1 如图所示，A1（2，-4）； （2）△A2B2C 如图所示，由勾股定理得， 线段 CA 所扫过的图形是一个扇形， 其面积为： . 23．小红同学为了制作一个圆锥生日礼帽，先在边长为 的正方形纸片上裁出一个最大的扇形纸片（如 图），再用扇形纸片围成一个圆锥（粘贴重叠部分不计）. 5 2 π 2 21 3 10AC = + = 290 ( 10) 5 360 2S π π= = 40cm16 （1）求扇形的面积； （2）求圆锥的底面半径. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）依题意得，圆心角的度数 ，半径 ， 所以 . （2）设圆锥的底面半径为 ，由圆锥的底面周长等于扇形弧长得： ，即 . 24．如图，在单位长度为 1 的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点 A、B、C． (1)请完成如下操作： ①以点 O 为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心 D，并连结 AD、CD (2)请在(1)的基础上，完成下列填空： ①写出点的坐标：C______、D______． ②⊙D 的半径=______(结果保留根号) ③求出弧 AC 的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)①(6，2)，(2，0)；②2 ；③ π． 【解析】解：(1)如图所示： ( )2400 cmS π=扇形 ( )10r cm= 90n = ° 40R cm= ( )2 2 290 40 400 cm306 306S n Rπ π π× ×= = =扇形 r 2 180 n Rr ππ = ( )90 40 10180 2 360 nRr cm ×= = =× 5 517 (2)①C(6，2)、D(2，0)； ②⊙D 的半径= = =2 ． ③AC 的弧长= = π． 故答案为(6，2)，(2，0)， π． 25．如图，在⊙O 中，AB 是的直径，PA 与⊙O 相切于点 A，点 C 在⊙O 上，且 PC＝PA， （1）求证 PC 是⊙O 的切线； （2）过点 C 作 CD⊥AB 于点 E，交⊙O 于点 D，若 CD＝PA＝2 ， ①求图中阴影部分面积； ②连接 AC，若△PAC 的内切圆圆心为 I，则线段 IE 的长为 ． 【答案】（1）详见解析；（2）①S 阴影＝ ． ② ． 【解析】（1）证明：连接 OC､OP， ∵点 C 在⊙O 上， ∴OC 为半径． ∵PA 与⊙O 相切于点 A， ∴OA⊥PA． ∴∠PAO＝90°． ∵OC＝OA， OP＝OP， 2 2AO DO+ 2 24 2+ 5 90 2 5 180 π ⋅ 5 5 4 33 π= − 718 PC＝PA， ∴△PCO≌△PAO． ∴∠PCO＝∠PAO＝90°． ∴PC⊥OC． ∴PC 是⊙O 的切线． （2）①作 CM⊥AP 于点 M， ∵CD⊥AB， ∴CE＝DE＝ ，∠CEA＝90°． ∴四边形 CMAE 是矩形． ∴AM＝ ． ∴PM＝AM． ∴PC＝AC． ∵PC＝PA， ∴△PCA 是等边三角形． ∴∠PAC＝60°． ∴∠CAB＝30°． ∴∠COE＝60°． ∴∠COD＝120°． 在 Rt△COE 中， sin60°＝ ， ∴OC＝2． ∴S 阴影＝ π－ ． ②∵AP=2 ,AH=CE= 3 3 3 OC 4 3 3 3 319 ∴CH= AH=3 又∵I 为正△PAC 的内心 ∴CI= CH=2 ∴IE= = = 26．已知⊙O 的直径 AB=4，点 C 在⊙O 上，连接 AC，沿 AC 折叠劣弧AC，记折叠后的劣弧为AmC． （1）如图 1，当AmC经过圆心 O 时，求AO的长． （2）如图 2，当AmC与 AB 相切于 A 时． ①画出AmC所在的圆的圆心 P． ②求出阴影部分弓形AmC的面积． 【答案】（1）AO的长=2π 3 ；（2）①P 点为所求，见解析； ②S 阴=π-2． 【解析】（1）作半径 OE⊥AC 于 F，连接 AE，如图 1， ∵沿 AC 折叠劣弧AC，记折叠后的劣弧为AmC， ∴OF=1 2OE=OF， ∵OE⊥AC， ∴AE=AO， 3 1 3 2 2CE CI+ 3 4+ 720 ∵OA=OE， ∴AE=AO=OE， ∴△AOE 是等边三角形， ∴∠AEO=60°， ∴AO的长=60 ⋅ π ⋅ 2 180 = 2π 3 ． （2）①过 A 点作 AP⊥AB，再截取 AP=2，则 P 点为所求，如图 2， ②连接 PC、OC， ∵AP=OA=OC=PC=2， ∴四边形 PAOC 为菱形， 而∠PAO=90°， ∴四边形 PAOC 为正方形， ∴S 阴=90 ⋅ π ⋅ 22 360 - 1 2×2×2=π-2．