2020年九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程讲解与练习（含解析新人教版）.docx

1 专题 03 21.3 实际问题与一元二次方程讲、练 一、知识点 列一元二次方程解应用题 （1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥ 作答． （2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a 表示基数，x 表示平均增长率（降低率），n 表示变 化的次数，b 表示变化 n 次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； （期末必考一道大题） ③传播、比赛问题： ④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运 用面积之间的关系列方程. 注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义. 二、标准例题： 例 1：在一幅长 ，宽 的硅藻泥风景画的四周，增添一宽度相同的装饰纹边，制成一幅客厅装 饰画，使得硅藻泥风景画的面积是整个客厅装饰画面积的 78%.设装饰纹边的宽度为 ，则可列方程为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设装饰纹边的宽度为 xcm，则装饰画的长为（200＋2x）cm、宽为（160＋2x）cm， 根据题意得：（200＋2x）（160＋2x）×78%＝200×160． 故选：C． 总结：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关 键． 200cm 160cm cmx (200 )(160 ) 78% 200 160x x+ + × = × (200 )(160 ) 200 160 78%x x− − = × × (200 2 )(160 2 ) 78% 200 160x x+ + × = × (200 2 )(160 2 ) 200 160 78%x x− − = × ×2 例 2：要在一个长为 40m,宽为 26m 的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植 花草的面积为 864m2,那么小道的宽度应是____m. 【答案】2 【解析】 解：设小道的宽为 x 米，依题意得 (40-2x)(26-x)=864， 解之得 x1=44（舍去）,x2=2. 故答案为：2. 总结：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为 864m2 找到正确的等量关系 并列出方程. 例 3：某地 2017 年为做好“旧械改造工程”。投入资金 万元用于拆迁安置，并规划投入资金按相同幅 度逐年增加，预计到 2019 年年底投入资金比 2017 上基础上增加 万元. （1）从 2017 年到 2019 年，该地投入拆迁安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在 2019 年拆迁安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于 万元用于优先搬迁租房奖励，规定 前 户（含第 户）每户每天奖励 元， 户以后每户每天奖励 5 元.按每户租房 元计算， 求 2019 年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励. 【答案】（1）从 2015 年到 2017 年，地投入异地安置资金的年平均增长率为 ；（2）2017 年该地至少 有 户享受到优先搬迁租房奖励. 【解析】 解：（1）设该地投入拆迁安置资金的年平均增长率为 ， 根据题意得： ， 解得： ， （含去）. 答：从 2015 年到 2017 年，地投入异地安置资金的年平均增长率为 . （2）设 2017 年该地有 户享受到优先搬迁租房奖励， 根据题意得： 1280 1600 500 1000 1000 8 1000 400 50% 1900 x ( )21280 1 1280 1600x+ = + 1 0.5 50%x = = 2 2.5x = − 50% a 8 1000 400× × + ( )5 400 1000 5000000a× − ≥3 解得： 答：2017 年该地至少有 户享受到优先搬迁租房奖励 例 4：随着旅游旺季的到来，某旅行社为吸引市民组团取旅游，推出了如下收费标准： 某单位组织员工旅游，共支付给该旅行社费用 元，请问该单位这次共有多少员工取旅游？ 【答案】单位这次共有 名员工去旅游 【解析】解：设该单位这次共有 名员工去旅游 旅游的员工人数一定超过 人 根据题意得 整理得， 解得 当 时， 不合题意应舍去 当 时， 符合题意 答：该单位这次共有 名员工去旅游. 例 5：已知:如图，在 中， ， cm， cm.直线 从 点出发，以 2 cm/s 的速度向点 方向运动，并始终与 平行，与线段 交于点 .同时，点 从 点出发，以 1cm/s 的 速度沿 向点 运动，设运动时间为 (s) ( ) . (1)当 为何值时，四边形 是矩形? (2)当 面积是 的面积的 5 倍时，求出 的值; 1900a ≥ 1900 27000 30 x 25 1000 25000 27000× − ∴ = 30 Rt ABC∆ 90C∠ = ° 8AC = 6BC = PE B A BC AC E F C CB B t 0 5t< < t PFCE ABC∆ PEF∆ t4 【答案】（1） ；（2） 。 【解析】 解：（1）在 中， ， ，当 时，四边形 PECF 是矩形， 解得 （2）由题意 整理得 ，解得 ， 面积是 的面积的 5 倍。 三、练习 1．某商场将每件进价为 20 元的玩具以 30 元的价格出售时，每天可售出 300 件.经调查当单价每涨 l 元时， 每天少售出 10 件.若商场想每天获得 3750 元利润，设每件玩具涨 元，可列方程为： .对所列方程中出现的代数式，下列说法错误的是（ ） A． 表示涨价后玩具的单价 30 11t = 5 5 2t ±= Rt ABC∆ 90 , 8, 6C AC BC°∠ = = = 2 2 2 28 6 10AB AC BC∴ = + = + = 10 2/ / , , 10 6 8 PA PE AE t PE AEPE BC AB BC AC −∴ = = ∴ = = 3 4(10 2 ), (10 2 )5 5PE t AE t∴ = − = − PE CF= 3 (10 2 )5 t t∴ − = 30 11t = 224 24 1 1 6 825 5 5 2t t= + = × × × 2t 5 5 0t− + = 5 5 2t ±= 5 5 2t ±∴ = ABC∆ PEF∆ x (30 20)x+ − (300 10 )x− 3750= (30 )x+5 B． 表示涨价后少售出玩具的数量 C． 表示涨价后销售玩具的数量 D． 表示涨价后的每件玩具的单价 【答案】D 【解析】 解：设涨价 x 元，根据题意可得： A、∵（30＋x）表示涨价后玩具的单价，∴A 选项正确； B、∵10x 表示涨价后少售出玩具的数量，∴B 选项正确； C、∵（300−10x）表示涨价后销售玩具的数量，∴C 选项正确； D、∵（30＋x−20）表示涨价后的每件玩具的利润，故 D 选项错误， 故选：D． 2．某水果种植基地 年产量为 吨，截止到 年底，三年总产量达到 吨，求三年中该基地水 果产量的年平均增长率.设水果产量的年平均年增长率为 ，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 已设这个百分数为 x． ． 故选 C． 3．要组织一次羽毛球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 天，每天安排 场比赛，设比赛组织者应邀请 个队参赛，则 满足的关系式为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵赛程计划安排 天，每天安排 场比赛， 10x (300 10 )x− (30 20)x+ − 2016 80 2018 300 x ( )280 1 300x+ = ( )80 1 3 300x+ = ( ) ( )280 80 1 80 1 300x x+ + + + = ( )380 1 300x+ = ( ) ( )280 80 1 80 1 300x x+ + + + = 6 6 x x ( )1 x x 1 362 + = ( )1 x x 1 362 − = ( )x x 1 36+ = ( )x x 1 36− = 6 66 ∴共 6×6=36 场比赛， 设比赛组织者应邀请 x 队参赛， ∵2 队之间只有 1 场比赛， ∴可列方程为： x(x-1)=36. 故选 B. 4．如图，某小区规划在一个长 30m、宽 20m 的矩形 ABCD 上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与 AB 平 行，另一条与 AD 平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为 78m2 ， 那么通道的宽应设计成 ________ 　m． 【答案】2 【解析】 设通道的宽为 x，将 6 块草坪平移为一个长方形，则它的长为(30－2x)m，宽为(20－x)m，根据长方形面积 公式列方程得到（30－2x）（20－x）＝78×6，解得 x＝2 或 33，因为通道的宽不能大于长方形的宽，所以 x ＝2，通道的宽为 2m.故答案是 2. 5．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司今年三月份与五月份 完成投递的快递总件数分别为 10 万件和 12.1 万件，该公司每月的投递总件数的平均增长率为______． 【答案】10% 【解析】 解：设该公司每月的投递总件数的平均增长率为 x， 根据题意得：10（1+x）2=12.1， 解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去）． 答：该公司每月的投递总件数的平均增长率为 10%． 故答案为：10%． 6．某中学组织初二学生开展篮球比赛，以班为单位单循环形式（每两班之间赛一场），现计划安排 15 场比 赛，则共有多少个班级参赛？设有 x 个班级参赛，根据题意，可列方程为_____． 1 27 【答案】 【解析】 有 x 个班级参赛，根据题意， 得 =15， 故答案为： =15. 7．今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为 10 元/千克，已知销售价不低于成本价，且物 价部门规定这种产品的销售价不高于 18 元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量 （千克）与销售 价 （元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求 与 之间的函数关系式； （2）该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为多少？ 【答案】（1） ；（2）该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为 15 元. 【解析】 （1）设 与 之间的函数关系式 ， 把 ， 代入得： ，解得： ， ∴ 与 之间的函数关系式 ； （2）根据题意得： ， 整理得： ， 解得： ， （不合题意，舍去）. 答：该经销商想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为 15 元. 1 x( x 1 ) 152 − = ( )1 12 x x − ( )1 12 x x − y x y x 2 60(10 18)y x x= − + ≤ ≤ y x ( )0y kx b k= + ≠ ( )10,40 ( )18,24 10 40 18 24 k b k b + =  + = 2 60 k b = −  = y x ( )2 60 10 18y x x= − + ≤ ≤ ( )( )10 2 60 150x x− − + = 2 40 375 0x x− + = 1 15x = 2 25x =8 8．如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用 20m 长的篱笆围成一个面积为 50m2 矩形场地，求矩形的宽 BC． 【答案】5m 【解析】 解：设矩形的宽 BC=xm.则 AB=(20-2x)m， 根据题意得： x(20-2x)=50， 解得： ， 答：矩形的宽为 5m. 9．某地区 年投入教育经费 万元， 年投入教育经费 万元． （1）求 年至 年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 年该地区将投入教育经费多少万元． 【答案】（1）10%；（2）3327.5 万 【解析】 设增长率为 x,根据题意 2016 年为 2500(1+x)万元,2017 年为 2500(1+x) 万元。 则 2500(1+x) =3025， 解得 x=0.1=10%,或 x=−2.1(不合题意舍去). 答：这两年投入教育经费的平均增长率为 10%. (2)3025×(1+10%)=3327.5(万元). 故根据(1)所得的年平均增长率，预计 2018 年该地区将投入教育经费 3327.5 万. 10．某商场销售一批鞋子,平均每天可售出 20 双,每双盈利 50 元.为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取降 价措施,调查发现,每双鞋子每降价 1 元,商场平均每天可多售出 2 双． （1）若每双鞋子降价 20 元,商场平均每天可售出多少双鞋子？ （2）若商场每天要盈利 1750 元,且让顾客尽可能多得实惠,每双鞋子应降价多少元？ 【答案】（1）60；（2）25 【解析】解：（1）20＋20×2=60(双)； （2）设每双鞋子应降价 a 元,得(20＋2a)(50－a)=1750. 1 2 5x x= = 2015 2500 2017 3025 2015 2017 2018 2 29 解得, a1=15,a2=25, ∵顾客要尽可能得到实惠, ∴a1=15 舍去. 答：每双鞋子应降价 25 元. 11．如图,某小区在宽 ,长 的矩形场地上修同样宽的三条人行道(阴影部分),余下的部分种花草.若 种植花草的面积为 ,求道路的宽度. 【答案】道路的宽 1 米 【解析】 设道路宽为 x 米， 根据题意，得（20-x）（32-x）=589． 整理得：x2-52x+51=0． 解得 x1=51（不合题意，舍去），x2=1． 答：道路宽为 1 米． 12．涡阳某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为 元，销售价为 元时，每天可售出 件， 为了迎接“六-一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售增加利润，经市场调查发现，如果 每件童装降价 元，那么平均可多售出 件. (1)若每件童装降价 元，每天可售出 件，每件盈利 元(用含 的代数式表示)； 每件童装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利 元. 【答案】(1) ；(2)每件童装降价 元时，平均每天盈利 元. 【解析】 (1)若每件童装降价 元，每天可售出(30+3x)件，每件盈利(100-60-x)元， 故答案为： ； 由题意得： ， 化简得： ， 20m 32m 2589m 60 100 30 1 3 x x ( )2 1800 ( )30 3 100 60x x+ − −（ ）， 20 1800 x ( ) ( )30 3x 100 60 x+ − −， ( )2 ( )( )30 3x 100 60 x 1800+ − − = 2x 30x 200 0− + =10 解得： ， 要让利顾客， 取 ， 答：每件童装降价 元时，平均每天盈利 元. 13．某菜市场有 2.5 平方米和 4 平方米两种摊位，2.5 平方米的摊位数是 4 平方米摊位数的 2 倍．管理单 位每月底按每平方米 20 元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理 费． （1）菜市场毎月可收取管理费 4500 元，求该菜市场共有多少个 4 平方米的摊位？ （2）为推进环保袋的使用，管理单位在 5 月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5 平方米和 4 平方 米两种摊位的商户分别有 40%和 20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6 月份准备把活动 一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的商户会全部 参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6 月份参加活动二的 2.5 平方米摊位的总个数将在 5 月份参加活动一的同面积个数的基础上增加 2a%，毎个摊位的管理费将会减少 ；6 月份参加活动二 的 4 平方米摊位的总个数将在 5 月份参加活动一的同面积个数的基础上增加 6a%，每个摊位的管理费将会 减少 ．这样，参加活动二的这部分商户 6 月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减 少 ，求 a 的值． 【答案】（1）该菜市场共有 25 个 4 平方米的摊位．（2）a 的值为 50． 【解析】 解：（1）设该菜市场共有 x 个 4 平方米的摊位，则有 2x 个 2.5 平方米的摊位， 依题意，得： ， 解得： ． 答：该菜市场共有 25 个 4 平方米的摊位． （2）由（1）可知：5 月份参加活动一的 2.5 平方米摊位的个数为 （个），5 月份参加活 动一的 4 平方米摊位的个数为 （个）． 依题意，得： 1 2x 10 x 20= =，  x∴ 20 20 1800 3 %10 a 1 %4 a 5 %18 a 20 4 20 2.5 2 4500x x× + × × = 25x = 25 2 40% 20× × = 25 20% 5× = 320(1 2 %) 20 2.5 %10a a+ × × × ( ) 15 1 6 % 20 4 %4a a+ + × × × [20(1 2 %) 20a= + × × 2.5 +11 ， 整理，得： ， 解得： （舍去）， ． 14．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长 120 米，下底长 180 米，上下底相距 80 米，在两腰中 点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为 x 米． (1)用含 x 的式子表示横向甬道的面积； (2)根据设计的要求，甬道的宽不能超过 6 米．如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系， 比例系数是 5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米 0.02 万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花 坛的总费用为 239 万元？ 【答案】(1)150x；(2)当甬道的宽度为 2.5 米时，所建花坛的总费用为 239 万元. 【解析】 (1)中间横道的面积= (120+180)x=150x， (2)甬道总面积为 S=150x+160x﹣2x2=310x﹣2x2， 绿化总面积为: = (120+180)80-S=12000﹣S 花坛总费用:y=甬道总费用+绿化总费用=239 239=5.7x+(12000﹣S)×0.02， 239=5.7x﹣0.02S+240， 239=5.7x﹣0.02(310x﹣2x2)+240， 239=0.04x2﹣0.5x+240， 0.04x2﹣0.5x+1=0， 4x2﹣50x+100=0， x1=2.5，∴x2=10 ∵甬道的宽不能超过 6 米，即 x≤6， 5(1 6 %)a+ 520 4] %18 a× × × 2 50 0a a− = 1 0a = 2 50a = 1 2 1 212 ∴x=2.5， 当 x=2.5 时，所建花坛的总费用为 239 万元． 当甬道的宽度为 2.5 米时，所建花坛的总费用为 239 万元 15．如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 出发沿 AB 以 1cm/s 的速度向点 B 移动；同时， 点 Q 从点 B 出发沿 BC 以 2cm/s 的速度向点 C 移动，几秒种后△DPQ 的面积为 31cm2？ 【答案】运动 1 秒或 5 秒后△DPQ 的面积为 31cm2． 【解析】 解：设运动 x 秒钟后△DPQ 的面积为 31cm2，则 AP=xcm，BP=（6-x）cm，BQ=2xcm，CQ=（12-2x）cm， S△DPQ=S 矩形 ABCD-S△ADP-S△CDQ-S△BPQ， =AB•BC- AD•AP- CD•CQ- BP•BQ， =6×12- ×12x- ×6（12-2x）- （6-x）•2x， =x2-6x+36=31， 解得：x1=1，x2=5． 答：运动 1 秒或 5 秒后△DPQ 的面积为 31cm2． 16．在一块长 ，宽 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积的一半，且整体图 案成轴对称图形.下面是小华、小芳与小明的设计方案. 小华： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 16m 12m13 小明： 小芳 请你根据以上的对话，完成下列问题. （1）你认为小华所设计的花园的形状是______，整个设计图案共有______条对称轴. （2）请你帮助小芳计算出道路的宽度 的值. （3）你认为小明的设计方案是否可行，若可以，请你在图 3 中画出符合条件的一种草图，然后求出该梯形 的周长；若不可以，请你简要地说明理由. 【答案】（1）菱形，2；（2）2；（3）见解析. 【解析】 （1）菱形，2. （2）依题意得： ，解得： ， （不合题意，舍去）. （3）可行，草图如下： x ( )( ) 116 2 12 2 16 122x x− − = × × 1 2x = 2 12x =14 ①如图 4，梯形的周长 . ②如图 5，梯形的周长 . 17．如图，在边长为 24cm 的等边三角形 ABC 中，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以每秒钟 2cm 的速度移动， 点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以每秒钟 4cm 的速度移动．若 P、Q 分别从 A、B 同时出发，其中任意一点到 达目的地后，两点同时停止运动，求： （1）经过 6 秒后，BP=　　　　cm，BQ=　　　　cm； （2）经过几秒△BPQ 的面积等于 ？ （3）经过几秒后，△BPQ 是直角三角形？ 【答案】（1）12、24；（2）经过 2 秒△BPQ 的面积等于 .（3）经过 6 秒或 秒后，△BPQ 是直 角三角形. 【解析】 （1）由题意，得 AP=12cm，BQ=24cm． ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC=24cm， ∴BP=224-12=12cm． 16 8 10= + 12 2 265= + 240 3cm 240 3cm 12 515 故答案为：12、24． （2）设经过 x 秒△BPQ 的面积等于 ，作 QD⊥AB 于 D，则 BQ=4xcm. ∴∠QDB=90°， ∴∠DQB=30°， 在 Rt△DBQ 中，由勾股定理，得 解得；x1=10，x2=2， ∵x=10 时，4x＞24，故舍去 ∴x=2． 答：经过 2 秒△BPQ 的面积等于 . （3）经过 t 秒后，△BPQ 是直角三角形. ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC=24cm，∠A=∠B=∠C=60°， 当∠PQB=90°时， ∴∠BPQ=30°， ∴BP=2BQ． ∵BP=24-2t，BQ=4t， ∴24-2t=2×4t， 240 3cm (24 2 )2 3 40 32 x x−∴ = 2 3DQ x= (24 2 )2 3 40 32 x x−∴ = 240 3cm16 解得 t= ； 当∠QPB=90°时， ∴∠PQB=30°， ∴BQ=2PB， ∴4t=2×（24-2t） 解得 t=6 ∴经过 6 秒或 秒后，△BPQ 是直角三角形. 18．如图 1，某小区有一块长为 米，宽为 米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为 2 米的两条互相垂 直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪. （1）求道路的面积 （用含 、 的代数式表示）. （2）已知 ，并且四块草坪的面积之和为 312 米 2，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ （3）在（2）的条件下，为进一步美化小区，根据实际情况，开发商决定对整个矩形场地作如下设计（要 求同时符合下述两个条件）： 条件①：在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的（花圃各边必须分别与所在草坪的对角线平行）菱形花 圃，并且有两个花圃的面积之差为 13 米 2； 条件②：整个矩形场地（包括道路、草坪、花圃）为轴对称图形. 请你画出符合上述设计方案的一种草图，并求出该设计方案中每个菱形花圃的面积. 【答案】（1） .（2）矩形的长为 28 米，宽为 14 米.（3）32.5 【解析】解：（1） . （2）设 米，则 米， 依题意得 . 整理得 ， 解得 ， （舍去）. 12 5 12 5 a b S a b : 2:1a b = 2 2 4S a b= + − 2 2 4S a b= + − b x= 2a x= ( )2 2 4 4 312x x x x⋅ − + − = 2 3 154 0x x− − = 1 14x = 2 11x = −17 所以 ， . 即矩形的长为 28 米，宽为 14 米. （3）答案不唯一，符合设计方案的一种草图如图 2 所示. 如图 2，可设第 3、4 个菱形花圃所在的矩形草坪的宽为 米，则第 1、2 个菱形花圃所在的矩形草坪的宽为 米， ∵这些菱形花圃所在的矩形草坪的长都为 （米）， 由 ，解得 ， ∴大菱形花圃面积为 （米 2），小菱形花圃面积为 （米 2）. 14b = 2 28a x= = x ( )14 2 12x x− − = − 28 2 132 − = ( )1 113 12 13 132 2x x⋅ ⋅ − − ⋅ = 7x = 1 7 13 45.52 × × = 1 5 13 32.52 × × =