2020年九年级数学上册第二十四章圆24.4弧长和扇形面积讲解与练习（含解析新人教版）.docx

1 专题 24.4 弧长和扇形面积（讲练） 一、 知识点 1.正多边形与圆 2.弧长和扇形面积的计算 扇形的弧长 l＝ ；扇形的面积 S＝ ＝ 3.圆锥与侧面展开图 （1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长. （2）计算公式： 圆锥 S 侧==πrl，S=πr（l+r） 注：易与勾股定理联系，先求母线长，再求面积 二、标准例题： 例 1：如图，在矩形 ABCD 中有对角线 AC 与 BD 相等，已知 AB=4,BC=3,则有 AB2+BC2=AC2,矩形在直线 MN 上绕 其右下角的顶点 B 向右旋转 90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转至图②位置……依次类推， 则: (1)AC=__________. (2)这样连续旋转 2019 次后，顶点 B 在整个旋转过程中所经过的路程之和是________. 【答案】5 3028π 【解析】（1）∵AB2+BC2=AC2, AB=4,BC=3, ∴AC2= 42+32=25, ∴AC=5； （2）转动一次 B 的路线长是：0，转动第二次的路线长是： π，转动第三次的路线长是： π，转动第四次的路线长是： =2π，以此类推，每四次循环， 180 n rπ 2 360 n rπ 1 2 lr 90 3 3 180 2 π × = 90 5 5 180 2 π × = 90 4 180 π ×2 2019÷4=504 余 3， 顶点 B 转动四次经过的路线长为：0+ + + 2π=6π, 连续旋转 2019 次经过的路线长为：6π×504+0+ + =3028π． 故答案为：（1）5；（2）3028π． 总结：本题考查弧长的计算、矩形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型． 例 2：如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB= ，BC=2，以 AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交 AC 于点 D，则图中阴影部分的面积为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 连接 OD，过点 O 作 OH⊥AC，垂足为 H， 则有 AD=2AH，∠AHO=90°， 在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB= ，BC=2，tan∠A= ， ∴∠A=30°， ∴OH= OA= ，AH=AO•cos∠A= ，∠BOC=2∠A=60°， ∴AD=2AH= ， ∴S 阴影=S△ABC-S△AOD-S 扇形 BOD= = ， 故选 A. 3 2 π 5 2 π 3 2 π 5 2 π 2 3 5 3 4 2 π− 5 3 4 2 π+ 2 3 π− 4 3 2 π− 2 3 2 3 32 3 BC AB = = 1 2 3 2 3 33 2 2 × = 3 ( )2 60 31 1 32 3 2 32 2 2 360 π × × × − × × − 5 3 4 2 π−3 总结：本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握 和灵活运用相关知识是解题的关键. 例 3：如图，点 为扇形 的半径 上一点，将 沿 折叠，点 恰好落在 上的点 处， 且 （ 表示 的长），若将此扇形 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的 比为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：连接 交 AC 于 ． 由折叠的知识可得： ， ， ， ， 且 ， 设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ， ， C OAB OB OAC∆ AC O AB D  : 1:3BD AD′ ′ = BD′ BD OAB 1:3 1:π 1: 4 2:9 OD M 1 2OM OA= 90OMA∠ = ° 30OAM∴∠ = ° 60AOM∴∠ = °   : 1:3BD AD′ ′ = 80AOB∴∠ = ° r l 80 2180 l r π π=4 ． 故选： ． 总结：本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键. 三、练习 1．1．如图，已知在⊙O 中，AB=4 ， AF=6，AC 是直径，AC⊥BD 于 F，图中阴影部分的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵AC 是直径，AC⊥BD 于 F， ∴BF=DF， ， ∴∠BAC=∠DAC， 在 RT△ABF 中， ∴BD=2BF=4 ， 连接 OB、OD、BC， : 2:9r l∴ = D 3 8 2 33 π − 16 2 33 π − 8 4 33 π − 16 4 33 π −  BC DC= 2 2 2 3BF AB AF= − = 35 ∵AC 是直径， ∴∠ABC=90°， ∴BF2=AF•FC，即（2 ）2=6FC， ∴FC=2， ∴直径 AC=AF+FC=6+2=8， ∴⊙O 的半径为 4， ∵AB=4 ，AF=6， ∴ ， ∴∠BAF=30°， ∴∠BAD=60°， ∴∠BOD=120°， ∵OC=4，FC=2， ∴OF=2， ∴ 故选择：D. 2．圆锥的底面半径是 5cm，侧面展开图的圆心角是 180°，圆锥的高是（　　） A．5 cm B．10cm C．6cm D．5cm 【答案】A 【解析】设圆锥的母线长为 R， 3 3 6 3cos 24 3 AFBAF AB ∠ = = = = BODS S S∆−阴影 扇形 2120 4 1 164 3 2 4 3360 2 3 π π×= − × × = − 36 根据题意得 2π•5 ， 解得 R＝10． 即圆锥的母线长为 10cm， ∴圆锥的高为： 5 cm． 3．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，分别以 AC，BC，AB 为直径作半圆，记三个半圆的弧长分别为 m，n， l，则下列各式成立的是（　　） A．m+n＜l B．m+n＝l C．m2+n2＞l2 D．m2+n2＝l2 【答案】D 【解析】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2， m＝ ×π×AC，n＝ ×π×BC，1＝ ×π×AB， ∴m2＝ ×π2×AC2，n2＝ ×π2×BC2，12＝ ×π2×AB2， ∴m2+n2＝ ×π2×（AC2+BC2）＝ ×π2×AB2＝12， 故选：D． 4．一个扇形的半径为 6，圆心角为 120°，则该扇形的面积是( ) A．2π B．4π C．12π D．24π 【答案】C 【解析】S= ， 故选 C． 5．如图，在△ABC 中，AB＝6，将△ABC 绕点 A 通时针旋转 40°后得到△ADE，点 B 经过的路径为 ，则 图中阴影部分的面积是（　　） 180 180 Rπ= 2 210 5− = 3 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 2120 6 12360 π π× × = BD7 A． B． C．4π D．条件不足，无法计算 【答案】C 【解析】解：由旋转的性质可知，S△ADE＝S△ABC， 则阴影部分的面积＝S△ADE+S 扇形 DAB﹣S△ABC ＝S 扇形 DAB ＝ ＝4π， 故选：C． 6．如图，在正方形 ABCD 中，边长 AB=1，将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转 180°至正方形 AB1C1D1， 则线段 CD 扫过的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 2 3 π 4 3 π 240π 6 360 × 4 π 2 π π 2π8 解：∵将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转 180°至正方形 AB1C1D1， ∴CC1=2AC=2× AB=2 ， ∴线段 CD 扫过的面积= ×（ ）2•π- ×π= π， 故选：B． 7．已知的扇形的圆心角为 ，半径长为 ，则该扇形的弧长为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根据弧长公式：l= =3π， 故选 B． 8．一个圆锥形的圣诞帽高为 10cm，母线长为 15cm，则圣诞帽的表面积为（ ） A．75 π cm2 B．150 π cm2 C．150 π cm2 D．75 π cm2 【答案】A 【解析】解：高为 10cm，母线长为 15cm，由勾股定理得， 底面半径= =5 cm，底面周长=10 πcm， 侧面面积= ×10 π×15=75 πcm2． 故选：A． 9．如图，扇形 OAB 的圆心角为 90°，分别以 OA，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和 Q 分别表示两个阴影部 分的面积，那么 P 和 Q 的大小关系是（　　） 2 2 1 2 2 1 2 1 2 45° 12 12π 3π 2π 3 4 π 45 12 180 π  5 5 3 3 2 215 10− 5 5 1 2 5 59 A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．无法确定 【答案】C 【解析】设 OA＝a， 扇形 OAB 的面积＝ ， 以 OA，OB 为直径在扇形内作的半圆的面积＝ P＝扇形 OAB 的面积﹣（以 OA 为直径的半圆的面积+以 OB 为直径的半圆的面积）+Q＝ ×2+Q＝Q 故选 C． 10．如图，圆锥的底面半径 r＝6，高 h＝8，则圆锥的侧面积是（ ） A．15π B．30π C．45π D．60π 【答案】D 【解析】解：圆锥的母线 ， ∴圆锥的侧面积 ， 故选：D． 11．如图，四边形 ABCD 为矩形，以 A 为圆心，AD 为半径的弧交 AB 的延长线于点 E，连接 BD，若 AD=2AB=4，则图中阴影部分的面积为______． 2 290 360 4 a aπ π× = 2 21 a a( )2 2 8 ππ× × = 2 2 4 8 a aπ π− 2 2 2 26 8 10l h r= + = + = 10 6 60π π= ⋅ ⋅ =10 【答案】 π+2 -4 【解析】 解：BC 交弧 DE 于 F，连接 AF，如图， AF=AD=4， ∵AD=2AB=4 ∴AB=2， 在 Rt△ABF 中，∵sin∠AFB= = ， ∴∠AFB=30°， ∴∠BAF=60°，∠DAF=30°，BF= AB=2 ， ∴图中阴影部分的面积=S 扇形 ADF+S△ABF-S△ABD = + ×2×2 - ×2×4 = π+2 -4． 12．如图，C 为半圆内一点，O 为圆心，直径 AB 长为 2cm，∠BOC＝60°，∠BCO＝90°，将△BOC 绕圆心 O 逆时针旋转至△B′OC′，点 C′在 OA 上，则边 BC 扫过区域（图中阴影部分）的面积为_____cm2．（结果保 留 π） 4 3 3 2 4 1 2 3 3 230 4 360 π⋅ ⋅ 1 2 3 1 2 4 3 311 【答案】 【解析】解：∵∠BOC＝60°，△B′OC′是△BOC 绕圆心 O 逆时针旋转得到的， ∴∠B′OC′＝60°，△BCO≅△B′C′O， ∴∠B′OC＝60°，∠C′B′O＝30°， ∴∠B′OB＝120°， ∵AB＝2cm， ∴OB＝1cm，OC′＝ ， ∴S 扇形 B′OB＝ ＝ π， S 扇形 C′OC＝ ＝ ， ∵阴影部分面积＝S 扇形 B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S 扇形 C′OC ∴阴影部分面积＝S 扇形 B′OB+S△B′C′O﹣S△BCO﹣S 扇形 C′OC＝S 扇形 B′OB﹣S 扇形 C′OC＝ π﹣ ＝ π； 故答案为： π． 13．如图，在扇形 中，半径 与 的夹角为 ，点 与点 的距离为 ，若扇形 恰好 是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为______. 【答案】 【解析】解：连接 ，过 作 于 ， 1 4 π 1 2 2120π 1 360 × 1 3 1120π 4 360 × π 12 1 3 π 12 1 4 1 4 OAB OA OB 120° A B 2 3 OAB 4 3 AB O OM AB⊥ M12 ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ 故答案是： 14．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 ，扇形的圆 心角 ，则该圆锥的母线长 为___ ． 【答案】6. 【解析】圆锥的底面周长 cm， 设圆锥的母线长为 ，则： ， 解得 ， 故答案为： ． 15．已知圆锥的底面半径是 1，高是 ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是_____度． 【答案】90 【解析】解：设圆锥的母线为 a，根据勾股定理得， ， 设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 ， 根据题意得 ，解得 ， 即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为 ． 120AOB∠ = ° OA OB= 30BAO∠ = ° 3AM = 2OA = 240 2 2180 r π π× = 4 3r = 4 3 2r cm= 120θ =  l cm 2 2 4π π= × = R 120 4180 Rπ π× = 6R = 6 15 a 4＝ n° n 42 1 180 ππ ×× ＝ 90n＝ 90°13 故答案为：90． 16．如图， 中， ， 平分 交 于点 ， 是 上一点，经过 、 两 点的 分别交 、 于点 、 ， ， ，则劣弧 的长为_______________ 【答案】 【解析】连接 DF，OD， ∵CF 是⊙O 的直径， ∴∠CDF=90°， ∵∠ADC=60°，∠A=90°， ∴∠ACD=30°， ∵CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D， ∴∠DCF=30°， ∵OC=OD， ∴∠OCD=∠ODC=30°， ∴∠COD=120°， 在 Rt△CAD 中，CD=2AD=2 ， 在 Rt△FCD 中，CF= = =4， ∴⊙O 的半径=2， Rt ABC△ 90A∠ = ° CD ACB∠ AB D O BC C D O AC BC E F 3AD = 60ADC∠ = ° CD 4 3 π 3 cos CD DCF∠ 2 3 3 214 ∴劣弧 的长= = π， 故答案为： π． 17．将圆心角为 ，半径为 的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为 _______ ． 【答案】4 【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为 ， 根据题意得 ，解得 ， 所以圆锥的高 ． 故答案为 4． 18．如图所示，当半径为 30cm 的转动轮转过 120°角时，传送带上的物体 A 平移的距离为多少厘米？(保留 ) 【答案】20πcm 【解析】 =20πcm． 故答案为：20πcm． 19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为 1 个单位长度，△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A （﹣3，4），B（﹣5，2），C（﹣2，1）． （1）画出△ABC 关于 y 轴的对称图形△A1B1C1； （2）画出将△ABC 绕原点 O 逆时针方向旋转 90°得到的△A2B2C2； （3）求（2）中点 C 运动的路径长． CD 120 2 180 π × 4 3 4 3 216° 5cm cm r 216 52 180r ππ ×= 3r = ( )2 25 3 4 cm= − = π 120 3 80 0 1 π ×15 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】（1）如图，△A1B1C1 即为所求； （2）如图，△A2B2C2 即为所求； （3）如图所示：OC= ,点 C 运动的路径长为: . 20．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知 S1+S2＝5，且 AC+BC ＝6，求 AB 的长． 52 π 2 22 1 5+ = 1 2 5 54 2 ππ× × =16 【答案】 . 【解析】 ，∵ ， ∴ ， 即： ， 根据等式性质,两边都减去两个弓形面积,则 ， ∵ ， ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ . 21．如图，AB 为 的直径，且 ，点 C 是 上的一动点(不与 A，B 重合)，过点 B 作 的切 线交 AC 的延长线于点 D，点 E 是 BD 的中点，连接 EC． (1)求证：EC 是 的切线； (2)当 时，求阴影部分面积． 4AB = Rt ABC∆ 2 2 2AC BC AB+ = 2 2 2 4 4 4 AC BC ABπ π π⋅ + ⋅ = ⋅ AC BC ABS S S+ =半圆 半圆 半圆 1 2 ABCS S S∆+ = 1 2 5S S+ = 1 52ABCS AC BC∆ = ⋅ = 10AC BC⋅ = 6AC BC+ = ( )2 2 22AC BC AC BC AC BC+ − ⋅ = + 26 2 10 16= − × = 2 16AB = 4AB = O 4 3AB = AB O O 30D °∠ =17 【答案】(1)证明见解析；(2)阴影部分面积为 ． 【解析】(1)如图，连接 BC，OC，OE， AB 为 的直径， ， 在 中， ， ， ， ， ， ， BD 是 的切线， ， ， OC 为半径， EC 是 的切线； (2) ， ， ， 12 3 4π−  O ACB 90∠ °∴ = RtΔBDC BE ED= DE EC BE∴ = = OC OB= OE OE= ( )ΔOCE ΔOBE SSS∴ ≅ OCE OBE∠ ∠∴ =  O ABD 90∠ °∴ = OCE ABD 90∠ ∠ °∴ = =  ∴ O OA OB= BE DE= AD OE∴ 18 ， ， ， ， ， ， ， ． 四边形 OBEC 的面积为 ， 阴影部分面积为 ． 22．如图，等边三角形 的边长为 2，以 为圆心，1 为半径作圆分别交 ， 边于 ， ，再以 点 为圆心， 长为半径作圆交 边于 ，连接 ， ，那么图中阴影部分的面积为________. 【答案】 . 【解析】过 作 于 ， 于 ， 等边三角形 的边长为 2， ， D OEB∠ ∠∴ = D 30∠ °= OEB 30∠ °∴ = EOB 60∠ °= BOC 120∠ °∴ = AB 4 3= OB 2 3∴ = BE 2 3 3 6∴ = × = ∴ ΔOBE 12S 2 6 2 3 12 32 = × × × = ∴ ( )2 OBEC BOC 120 π 2 3 S S 12 3 12 3 4π360 ⋅ × − = − = −四边形 扇形 ABC A AB AC D E C CD BC F E F 3 3 12 2 4 π + − A AM BC⊥ M EN BC⊥ N  ABC 60BAC B ACB∠ = ∠ = ∠ = °19 ， ， ， ， 图中阴影部分的面积 ， 故答案为： ． 3 3 2 32 2AM BC∴ = = × = 1AO AE= = ,AD BD AE CE∴ = = 1 3 2 2EN AM∴ = = ∴ ( )ABC CEF BCDADE DCFS S S S S∆ ∆ ∆− − − −扇形 扇形＝ 1 2 32 = × × − 60 1 360 π ו 1 2 − × 3 1 1 30 33 2 32 2 2 360 π × × − × × × −   • 3 3 12 2 4 π= + − 3 3 12 2 4 π + −