1
24.1 圆的有关性质（讲练）
一、知识点
1.与圆有关的概念和性质
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成
的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过
圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的
弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个
交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
知识点二 ：垂径定理及其推论
2.垂径定理及其推论
定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
延伸
根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
① 弧 AC=弧 BC;
②弧 AD=弧 BD；
③AE=BE;
④AB⊥CD;⑤CD 是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三
.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直
角三角形.2
3.圆心角、弧、弦的关系
定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等．
4.圆周角定理及其推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
( 2 )推论：
① 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图 b，∠A=∠C.
② 直径所对的圆周角是直角.如图 c,∠C=90°.
③ 圆内接四边形的对角互补.如图 a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
二、标准例题：
例 1：如图，⊙ 的半径为 ，点 是弦 延长线上的一点，连接 ，若 ， ，则弦
的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：如图：过点 O 作 OH⊥AB 于点 H，连接 OA，
∵在 Rt△OHP 中，∠P=30°，OP=4，
∴
O 3 P AB OP 4OP = 30P∠ = ° AB
5 2 3 2 5 2
1 22OH OP= =3
∵在 Rt△OAH 中，OA=3，
∴
故选 ．
总结：本题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大，但掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用是解
答本题的关键.
例 2：如图，CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，连接 OA，OB，BD，若∠AOB＝100°，则∠ABD ＝________度。
【答案】25°
【解析】解：∵CD 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，
∴∠AOD=∠BOD= ∠AOB=50°，
∴∠ABD= ∠AOD=25°．
总结：本题考查了垂径定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半．
例 3：已知：如图，⊙O 的两条半径 OA⊥OB，C，D 是 的三等分点，OC，OD 分别与 AB 相交于点 E，F．
求证：CD＝AE＝BF．
【答案】见解析
【解析】连接 AC、BD，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，
2 2 2 23 2 5AH OA OH= − = − =
2 2 5AB AH∴ = =
C
1
2
1
2
AB4
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵C，D 是 的三等分点，
∴AC=CD=BD，∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△AOC≌△COD，
∴∠ACO=∠OCD，
∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD= =75°，
∴∠OEF＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC＝∠OCD，
∴∠ACO＝∠AEC．
故 AC＝AE，
同理，BF＝BD．
又∵AC＝CD＝BD
∴CD＝AE＝BF．
总结：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，①
圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
例 4：如图， 是半圆 的直径， 为弦， 为弧 的中点， 于点 ，交 于点 ，
交 于点 .求证： .
【答案】见解析.
【解析】∵ 为弧 的中点，
AB
2
80 01 3°− °
AB O AE C AE CD AB⊥ D AE F BC
AE G AF FC=
C AE5
∴∠B=∠CAF，
∵ 是半圆 的直径，
∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
∴ .
∵ 是 的中点，
∴ .
∴ ，
∴ .
总结：本题考查圆周角定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质.
三、练习
1.在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（ ）
A．这两条弦所对的弦心距相等 B．这两条弦所对的圆心角相等
C．这两条弦所对的弧相等 D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分
【答案】D
【解析】A. 这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；
B. 这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；
C. 这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；
D. 这两条弦都被垂直于弦的半径平分(垂径定理)，原说法正确，故本选项正确；
故选 D.
2．如图，BD 是⊙O 的直径，圆周角∠A = 30°，则∠CBD 的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
AB O
90ACB∠ = °
90ACD DCB∠ + ∠ = °
CD AB⊥
90CDB∠ = °
90B DCB∠ + ∠ = °
B ACD∠ = ∠
C AE
B CAE∠ = ∠
ACD CAE∠ = ∠
AF FC=6
【答案】C
【解析】解：如图，连接 CD，
∵BD 为⊙O 的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=∠A=30°，
∴∠CBD=90°-∠D=60°．
故选：C．
3．已知⊙O 的半径为 5，点 O 到弦 AB 的距离为 3，则⊙O 上到弦 AB 所在直线的距离为 2 的点有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【解析】解：如图 OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3，
∴DE=OD-OE=5-3=2cm，
∴点 D 是圆上到 AB 距离为 2cm 的点，
∵OE=3cm＞2cm，
∴在 OD 上截取 OH=1cm，
过点 H 作 GF∥AB，交圆于点 G，F 两点，
则有 HE⊥AB，HE=OE-OH=2cm，
即 GF 到 AB 的距离为 2cm，
∴点 G，F 也是圆上到 AB 距离为 2cm 的点，
故选：C．
4．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知 ，则球的半径长
是（ ）
4EF CD= =7
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如图：
EF 的中点 M，作 MN⊥AD 于点 M，取 MN 上的球心 O，连接 OF，
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形 CDMN 是矩形，
∴MN=CD=4，
设 OF=x，则 ON=OF，
∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，
在直角三角形 OMF 中，OM2+MF2=OF2，
即：（4-x）2+22=x2，
解得：x=2.5，
故选：B．
5．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（A、B 除外），∠AOD＝136°，则∠C 的度数是（ ）
A．44° B．22° C．46° D．36°
【答案】B
【解析】∵∠AOD＝136°，∴∠BOD＝44°，∴∠C＝22°，故选：B．8
6．如图， 是 的直径， ，若 ，则圆周角 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B.
7．如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大
小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何．”用几何语言可表述为：CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于
E，CE＝1 寸，AB＝10 寸，则直径 CD 的长为（ ）
A．12.5 寸 B．13 寸 C．25 寸 D．26 寸
【答案】D
【解析】解：设直径 CD 的长为 2x，则半径 OC＝x，
∵CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于 E，AB＝10 寸，
∴AE＝BE＝ AB＝ ×10＝5 寸，
连接 OA，则 OA＝x 寸，根据勾股定理得 x2＝52+（x﹣1）2，
解得 x＝13，
CD＝2x＝2×13＝26（寸）．
AD O AB CD= 40AOB∠ = ° BPC∠
40° 50° 60° 70°
AB CD= 40AOB∠ = °
40COD AOB∠ = ∠ = °
180AOB BOC COD∠ + ∠ + ∠ = °
100BOC∠ = °
1 502BPC BOC∠ = ∠ = °
1
2
1
29
故选：D．
8．如图， 是⊙ 上的点，则图中与 相等的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：∵ 与 都是 所对的圆周角，
∴ ．
故选：D．
9．若⊙ 的一条弦长为 24，弦心距为 5，则⊙ 的直径长为__________．
【答案】26
【解析】解:根据题意画出相应的图形,如图所示,
∵OC⊥AB
∴AC=BC= AB=12
在 Rt△AOC 中,AC=12 OC=5, ,
根据勾股定理得: AO= ,
则圆 O 的直径长为 26 .
故答案为:26
, , ,A B C D O A∠
BÐ C∠ DEB∠ D∠
A∠ D∠ BC
D A∠ = ∠
O O
1
2
2 2 13AC OC+ =10
10．如图，在 中，直径 ，弦 于 ，若 ，则 ____
【答案】
【解析】由圆周角定理得，∠COB=2∠A=60°，
∴CE=OC•sin∠COE=2× = ，
∵AE⊥CD，
∴CD=2CE=2 ，
故答案为：2 .
11．如图，C、D 两点在以 AB 为直径的圆上， ， ，则 _______．
【答案】1
【解析】解：∵AB 为直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为 1．
12．如图所示，一个宽为 2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘
边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的半径是____cm.
O 4AB = CD AB⊥ E 30A∠ = CD =
2 3
3
2 3
3
3
2AB = 30ACD °∠ = AD =
90ADB °∠ =
30B ACD °∠ = ∠ =
1 1 2 12 2AD AB= = × =11
【答案】5
【解析】解：如图，设圆心为 O，弦为 AB，切点为 C．如图所示．则 AB=8cm，CD=2cm．
连接 OC，交 AB 于 D 点．连接 OA．
∵尺的对边平行，光盘与外边缘相切，
∴OC⊥AB．
∴AD=4cm．
设半径为 Rcm，则 R2=42+（R-2）2，
解得 R=5，
∴该光盘的半径是 5cm．
故答案为：5
13．如图， 是圆 的弦， ，垂足为点 ，将劣弧 沿弦 折叠交于 的中点 ，若
，则圆 的半径为_____．
【答案】 ．
【解析】解：解：连接 OA，设半径为 x，
AB O OC AB⊥ C AB AB OC D
2 10AB = O
3 212
将劣弧 沿弦 AB 折叠交于 OC 的中点 D，
， ，
，
，
，
解得， ．
故答案为： ．
14．足球训练场上，教练在球门前画了一个圆圈进行无人防守的射门训练.如图，甲、乙两名运动员分别在
， 两处，他们争论不休，都说自己所在的位置对球门 的张角大，如果你是教练，请评一评他们两
个人谁的位置对球门 的张角大？为什么？
【答案】一样大，理由见解析.
【解析】解：甲、乙两个人所在的位置对球门 AB 的张角一样大.根据圆周角定理的推论可得∠ADB=∠ACB.
15．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AC 是⊙O 的弦，BC 交⊙O 于点 D，作∠BAC 的外角平分线 AE 交⊙O 于点 E，
连接 DE．求证：DE＝AB．
【答案】见解析.
AB
2
3OC x∴ = OC AB⊥
1 102AC AB∴ = =
2 2 2OA OC AC− =
2 22( ) 103x x∴ − =
3 2x =
3 2
C D AB
AB13
【解析】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴ ，
∵AE 平分∠FAC，
∴ ，
∴∠FAE＝∠B，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵AE∥BC，
∴四边形 ABDE 是平行四边形，
∴DE＝AB．
16．如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，AD 为⊙O 的直径，AE⊥BC 于点 E，交⊙O 于点 F．求证：
．
2FAC B C B∠ = ∠ + ∠ = ∠
2 2FAC FAE EAC∠ = ∠ = ∠
AE BC∥
E EDC∠ = ∠
E C B∠ = ∠ = ∠
ED AB∥
1 2∠ = ∠
微信/支付宝扫码支付