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专题 01 21.1-21.2 一元二次方程及其解法讲、练
一、知识点
1. 一元二次方程的相关概念
(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程．
(2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c 分别
称为二次项系数、一次项系数、常数项．
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0 的方程，用因式分解法求解.
( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的求根公式为 x= （b2-4ac≥0）.
配方法：当一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．先用其他，再
用公式
3.根的判别式
(1)当 Δ＝ >0 时，原方程有两个不相等的实数根．
(2)当 Δ＝ =0 时，原方程有两个相等的实数根．
(3)当 Δ＝ − 2k < − 2k < 0k ≠ 2k > − 0k ≠
2 4 2 0kx x− − + =
16 8( ) 0k∆ = − − >
2k > −
0k ≠
2k > − 0k ≠
> 0∆
0∆ = ∆ < 0
2 6 4 0x x+ + =
25 3 1x x x− = +3
【答案】（1） ； ；（2） ；
【解析】
解：（1）x2+6x+4=0
x2+6x=-4
x2+6x+9=-4+9
（x+3）2=5
；
（2）5x2-3x=x+1，
5x2-4x-1=0，
b2-4ac=（-4）2-4×5×（-1）=36，
，
总结：本题考查了解一元二次方程，解此题的关键是能选择适当的方法解一元二次方程，注意：解一元二
次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．
三、练习
1．已知关于 x 的一元二次方程 x2-x+k=0 的一个根是 2，则 k 的值是（ ）
A．-2 B．2 C．1 D．1
【答案】A
【解析】
解：将 x=2 代入一元二次方程 x2-x+k=0，
可得：4-2+k=0，
解得 k=-2，
故选：A．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． -x2+5=0 B．x（x+1）=x2-3 C．3x2+y-1=0 D． =
1 3 5x = − + 2 3 5x = − − 1 1x = 2
1
5x = −
3 5x + = ±
1 3 5x = − + 2 3 5x = − −
4 36
2 5x
±= ×
1 2
11, 5x x= = −
1
x
22 1
3
x + 3 1
5
x −4
【答案】D
【解析】
A. 是分式方程，错误；
B. 原方程可化为：x+3=0，是一元一次方程，错误；
C. 方程含有两个未知数，错误；
D. 原方程可化为：10x −9x+8=0，符合一元二次方程定义，正确。
故选 D.
3．已知关于 x 的方程（a2-1）x2+（1-a）x+a-2=0，下列结论正确的是（ ）
A．当 a≠±1 时，原方程是一元二次方程。
B．当 a≠1 时，原方程是一元二次方程。
C．当 a≠-1 时，原方程是一元二次方程。
D．原方程是一元二次方程。
【答案】A
【解析】
当 a≠±1 时,a2−1=0，则原方程是一元二次方程。
故选：A.
4．用配方法解方程 2x -x-15=0 的根为（ ）.
A．x = B．x = 1 C．x1 =3, x2 = - D．x1 = , x2 = 1
【答案】C
【解析】
移项,得：2x −x=15，
系数化成 1 得：x − x= ，
配方,x − x+ = + ，
即(x− ) = ，
则 x− =± ，
解得：x1=3, x2 = -
2
2
5
2
5
2
2
5
2
2 1
2
15
2
2 1
2
1
16
15
2
1
16
1
4
2 121
16
1
4
11
4
5
25
故答案是：x1 =3, x2 = - 故选 C
5．若关于 x 的一元二次方程 x2+（m+2）x＝0 有两个相等的实数根，则实数 m 的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣2 或 2 D．﹣1 或 3
【答案】B
【解析】
解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+（m+2）x＝0 有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（m+2）2＝0，
解得 m＝﹣2．
故选：B．
6．方程 有（ ）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】
解：∵a=1,b=3,c=2,
∴∆=
=1>0
∴ 这个方程有两个不相等的实数根.
故选：A.
7．已知方程 5x2+mx-6=0 的一个根是 x=3，则 m 的值为________．
【答案】−13
【解析】
∵方程 5x2+mx−6=0 的一个根是 x=3，
∴5×9+3m−6=0
解得：m=−13.
故答案为：−13.
8．如果 x2-81=0，那么 x2-81=0 的两个根分别是 x1=________，x2=__________．
【答案】9 -9
【解析】
5
2
2 3 2 0x x+ + =
2 24 3 4 1 2b ac− = − × ×6
∵ x2 ＝81，又∵ (±9) 2 ＝81，∴x＝±9
故答案为：9，-9
9．如果 是一元二次方程 的一个根,则常数 的值为______.
【答案】-10.
【解析】
把 代入 可得
解得：x=-10
故答案为：-10
10．方程 中，二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.
【答案】6 -7 -4
【解析】
方程整理得：6x −7x−4=0，其中二次项系数是 6，一次项系数为−7，常数项为−4，
故答案为： 6，−7，−4
11．已知关于 的一元二次方程 的一根为 ，则 的值为__________．
【答案】
【解析】
把 x=0 代入方程得
m2-4=0
∴m1=2，m2=-2，
∵一元二次方程的二次项系数不为 0，
∴m+2≠0，即 m≠-2，
∴m=2．
故答案为：2．
12．方程（2x-1）（x+1）=1 化成一般形式是_______，其中二次项系数是______，一次项系数是______。
【答案】2x +x−2=0 2 1
【解析】
(2x−1)(x+1)=1 可化为：
5x = 2 3 0x x n− + = n
5x = 2 3 0x x n− + =
25 3 5 0n− × + =
(3 1)(2 3) 1x x+ − =
2
x ( ) 2 22 3 4 0m x x m+ − + − = 0 m
2
27
2x +2x−x−1=1，
移项合并同类项得：
2x +x−2=0.
二次项系数是 2，一次项系数是 1.
13．关于 x 的方程（m-1）x2+（m+1）x+3m-1=0，当 m_________时,是一元一次方程;当 m_________时,是一
元二次方程.
【答案】=1 ≠1
【解析】
当关于 x 的方程(m−1)x2+(m+1)x+3m−1=0 是一元一次方程时，
，
解得 m=1；
当关于 x 的方程(m−1)x2+(m+1)x+3m−1=0 是一元二次方程时，
m−1≠0，
m≠1，
故答案为：=1；≠1.
14．-2x2 + x-2 = -2 (x _____)2 + （_______）；
【答案】- -
【解析】
-2x2 + x-2 = -2 (x2− x)−2=−2(x− ) 2− ，
即−2x2+ x−2=−2(x− ) 2+(− ).
故答案是：− ;−
15．一元二次方程 x2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 则 a=______________.
【答案】6
【解析】
根据题意，(x−3) 2=3 可变为：x2-6x+6=0，和已知一元二次方程 x2-ax+6=0 比较知 a=6.
16．若一元二次方程 （ 为常数）有两个相等的实数根，则 ______.
【答案】±2
2
2
1 0
1 0
m
m
− =
+ ≠
2
3
1
6
35
18
2
3
1
3
1
6
35
18
2
3
1
6
35
18
1
6
35
18
2 1 0x bx+ + = b b =8
【解析】
∵方程 有两个相等的实数根，
∴△=b −4×1=b −4=0，
解得：b=±2.
故答案为：±2
17．解下列方程：
（1）（x﹣2）2=16
（2）x2﹣4x﹣3=0 （配方法）
（3）（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）
【答案】(1) x1=6,x2=-2;(2) x1=-2+ ,x2=-2- ;(3) x1=-2,x2=3
【解析】（1）（x﹣2）2=16
x-2=
x1=6,x2=-2
（2）x2﹣4x﹣3=0
x2﹣4x+4﹣3=0+4
(x+2)2﹣3=0+4
(x+2)2=7
x+2=
x1=-2+ ,x2=-2-
（3）（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）
（x﹣1）（x + 2）- 2（x + 2）=0
(x+2)(x-1-2)=0
x1=-2,x2=3
18．已知关于 的二次方程 .
（1）证明：不论 为何值时，方程总有实数根；（2）当 为何整数时，方程有两个不相等的非负整数根.
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
解：（1）证明： ，
2 1 0x bx+ + =
2 2
7 7
4±
7±
7 7
x 2 2 2 0mx x m− + − =
m m
2m =
( ) ( )224 4 2 4 8 4 4 1m m m m m∆ = − − = − + = −9
∵ 不论为何值时， ，
∴ .
∴方程总有实数根；
（2）解方程，得 ，
， ，
∵方程有两个不相等的非负整数根，
∴整数 .
19．按要求解下列方程：（1） （因式分解法）；（2） （用配方
法）.
【答案】（1） ， ；（2） ， .
【解析】
（1） ，
，或 .
， .
（2） ，
，
，
，
， .
20．已知关于 x 的一元二次方程 （m 为常数）
（1）求证：不论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是 2，求 m 的值及方程的另一个根。
【答案】(1)见解析；
m ( )21 0m − ≥
0∆ ≥
( ) ( )22 4 1 2 2 1
2 2
m mx m m
± − ± −= =
1 1x = 2
4 2 2 12
mx m m
−= = −
2m =
( ) ( )22 3 2 3 0x x x− + − = 22 4 1 0x x− − =
1
3
2x = 2 1x =
1
6 12x = + 2
6 12x = − +
( )( )2 3 2 3 0x x x− − + =
2 3 0x − = 3 3 0x − =
1
3
2x = 2 1x =
2 12 2x x− =
2 12 1 12x x− + = +
( )2 31 2x − =
61 2x − = ±
1
6 12x = + 2
6 12x = − +
( )2 2 0x m x m− + + =10
(2) 即 m 的值为 0，方程的另一个根为 0.
【解析】
(1)证明：
△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4，
∵无论 m 为何值时 m2≥0，
∴m2+4≥4＞0，
即△＞0，
所以无论 m 为何值，方程总有两个不相等的实数根.
(2)设方程的另一个根为 t，
根据题意得 2+t= ,2t=m，
解得 t=0，
所以 m=0，
即 m 的值为 0，方程的另一个根为 0.
( )2 2 0x m x m− + + =
2
1
m +
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