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专题 22.2 二次函数与一元二次方程（讲练）
一、知识点
1. 二 次 函
数 与 一 元
二次方程
二次函数 y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程
ax2+bx+c=0 的根.
当 Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；
当 Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；
当 Δ＝b2－4ac＜0，无实根
2. 二 次 函
数 与 不 等
式
抛物线 y= ax2＋bx＋c＝0 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的 x 的所
有值就是不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集；在 x 轴下方的部分点的纵坐标均为负，所
对应的 x 的值就是不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集.
二、标准例题：
例 1：如图，已知二次函数 的部分图象，由图象可估计关于 的一元二次方程
的两个根分别是 ，
A．-1.6 B．3.2
C．4.4 D．5.2
【答案】C
【解析】由抛物线图象可知其对称轴为 x=3，
又抛物线是轴对称图象，
∴抛物线与 x 轴的两个交点关于 x=3 对称，
而关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根分别是 x1，x2，
那么两根满足 2×3=x1+x2，
而 x1=1.6，
∴x2=4.4．
故选 C．
2y ax bx c= + + x
2 0ax bx c+ + = 1 1.6x = 2x =2
总结：此题主要利用抛物线是轴对称图象的性质确定抛物线与 x 轴交点坐标，是一道较为简单的试题．
例 2：如图，二次函数 （ ）和一次函数 的图象交于 ， 两点，
则方程 （ ）的根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵ ，
∴ .
∴方程 的根即为二次函数 （ ）与一次函数 的图象
交点的横坐标，
∵二次函数 （ ）和一次函数 的图象交于 ， 两点，
∴方程 （ ）的根为 .
故选 C.
总结：本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解此题的关键是将方程 变形
为 ，进一步将所求转化为求二次函数 （ ）与一次函数 的
图象交点的横坐标，这类题目的求解，重在理解与领悟.
最后结合抛物线的增减性进行判断.
例 3：二次函数 y＝x2+bx﹣t 的对称轴为 x＝2．若关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0 在﹣1＜x＜3 的范围
内有实数解，则 t 的取值范围是（ ）
A．﹣4≤t＜5 B．﹣4≤t＜﹣3 C．t≥﹣4 D．﹣3＜t＜5
2y ax bx c= + + 0a ≠ 1y x= − ( 2, 3)A − − (1,0)B
2 ( 1) 1 0ax b x c+ − + + = 0a ≠
1 22, 3x x= − = − 1 21, 0x x= = 1 22, 1x x= − = 1 23, 0x x= − =
2 ( 1) 1 0ax b x c+ − + + =
2 1ax bx c x+ + = −
2 ( 1) 1 0ax b x c+ − + + = 2y ax bx c= + + 0a ≠ 1y x= −
2y ax bx c= + + 0a ≠ 1y x= − ( 2, 3)A − − (1,0)B
2 ( 1) 1 0ax b x c+ − + + = 0a ≠ 1 22, 1x x= − =
2 ( 1) 1 0ax b x c+ − + + =
2 1ax bx c x+ + = − 2y ax bx c= + + 0a ≠ 1y x= −3
【答案】A
【解析】解：∵抛物线的对称轴 x＝ ＝2，
∴b＝﹣4，
则方程 x2+bx﹣t＝0，即 x2﹣4x﹣t＝0 的解相当于 y＝x2﹣4x 与直线 y＝t 的交点的横坐标，
∵方程 x2+bx﹣t＝0 在﹣1＜x＜3 的范围内有实数解，
∴当 x＝﹣1 时，y＝1+4＝5，
当 x＝3 时，y＝9﹣12＝﹣3，
又∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴当﹣4≤t＜5 时，在﹣1＜x＜3 的范围内有解．
∴t 的取值范围是﹣4≤t＜5，
故选：A．
总结：本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，一元二次方程 的解相当于
与直线 y=k 的交点的横坐标，解的数量就是交点的个数,熟练将二者关系进行转化是解题
的关键.
例 4：．某班“数学兴趣小组”对函数 的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
（ ）自变量 的取值范围是全体实数， 与 的几组对应值如下表：
其中， __________．
（ ）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函
数图象剩下的部分．
2
b−
2ax bx c k+ + =
2y ax bx c= + +
2 2| |y x x= −
1 x x y
x 3− 5
2
− 2− 1− 0 1 2 5
2 3
y 3 5
4 m 1− 0 1− 0 5
4 3
m =
24
（ ）观察函数图象，写出一条性质__________．
（ ）进一步探究函数图象发现：
①方程 有__________个实数根．
②关于 的方程 有 个实数根时， 的取值范围是__________．
【答案】（ ） （ ）
（ ）当 时， 随 的增大而增大
（ ）① ② ．
【解析】（1）x=-2 时，m=x2-2l-2l=0；．
（ ）如图所示
3
4
2 2| | 0x x− =
x 2 2| |x x a− = 4 a
1 0 2
3 1x > y x
4 3 1 0a− < <
25
（ ）由函数图象知： 时 随 的增大而增大；函数图像关于 y 轴对称;
（ ）如图：
① 时即 ，
∴令 轴有 个交点，分别是 、 、 ；即答案为 3;
②由函数图象知：关于 的方程 有 个交点，
∴ 的取值范围是 ．
总结：本题考查了抛物线与 x 轴的交点：把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与 x 轴的交
点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程.其中观察函数图像的能力是解答本题的关键.
三、练习
1．已知二次函数 (其中 是自变量)的图象与 轴没有公共点，且当
时， 随 的增大而减小，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
抛物线与 轴没有公共点，
，解得 ，
抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上，
而当 时， 随 的增大而减小，
3 1x > y x
4
2 2 | | =0x x− 0y =
x 3 2− 0 2
x 2 2| |x x a− = 4
a 1 0a− < <
( 1)( 1) 3 7y x a x a a= − − − + − + x x 1x < −
y x a
2a < 1a > − 1 2a− < ≤ 1 2a− ≤ <
( 1)( 1) 3 7y x a x a a= − − − + − + 2 22 3 6x ax a a= − + − +
x
2 2( 2 ) 4( 3 6) 0a a a∴∆ = − − − + < 2a <
2
2
ax a
−= − =
1x < − y x6
，
实数 的取值范围是 ，
故选 D．
2．如图所示，已知二次函数 的图象与 轴交于 两点，与 轴交于点 ， ，
对称轴为直线 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④ 是关于
的一元二次方程 的一个根．其中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【解析】∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∵抛物线与 轴的交点在 轴上方，
∴ ，
∴ ，所以①正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，所以②错误；
1a∴ ≥ −
∴ a 1 2a− ≤ <
2y ax bx c= + + x ,A B y C OA OC=
1x = 0abc < 1 1 02 4a b c+ + = 1 0ac b− + = 2 c+ x
2 0ax bx c+ + =
0a <
12
bx a
= − =
2 0b a= − >
y x
0c >
0abc <
2b a= −
1 02a b a a+ = − =
0c >
1 1 02 4a b c+ + >7
∵ ， ，
∴ ，
把 代入 得 ，
∴ ，所以③错误；
∵ ，对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ 是关于 x 的一元二次方程 的一个根，所以④正确；
综上正确的有 2 个，
故选 B.
3．已知 ，关于 的一元二次方程 的解为 ，则下列结论正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：关于 的一元二次方程 的解为 ，可以看作二次函数
与 轴交点的横坐标，
∵二次函数 与 轴交点坐标为 ，如图：
当 时，就是抛物线位于 轴上方的部分，此时 ，或 ；
又∵
∴ ；
∴ ，
故选：A．
(0, )C c OA OC=
( ,0)A c−
( ,0)A c− 2y ax bx c= + + 2 0ac bc c− + =
1 0ac b− + =
( ,0)A c− 1x =
(2 ,0)B c+
2 c+ 2 0ax bx c+ + =
0m > x ( )( )1 2 0x x m+ − − = 1 2 1 2, ( )x x x x<
1 21 2x x< − < < 1 21 2x x− < < < 1 21 2x x− < < < 1 21 2x x< − < <
x ( )( )1 2 0x x m+ − − = 1 2,x x
( )( )1 2m x x= + − x
( )( )1 2m x x= + − x ( ) ( )1,0 , 2,0−
0m > x 1x < − 2x >
1 2x x<
1 21, 2x x= − =
1 21 2x x< − < 0，
又 x2+x+c＝0 的两个不相等实数根为 x1、x2，x1＜1＜x2，
所以函数 y= x2+x+c＝0 在 x=1 时，函数值小于 0，
即 1+1+c0，可得抛物线的开口向上
对称轴为：
所以可得在 范围内，二次函数在 ，y 随 x 的增大而减小，在 上 y 随 x 的增
大而增大.
1
2
− 1
2
−
22 6y x x m= − + x m
9
2m >
9
2m >
9
2m >
22 4 3y x x= − − 1 4x− ≤ ≤ y
5 13y− ≤ ≤
22 4 3y x x= − −
4 12 2 2
bx a
−= − = − =×
1 4x− ≤ ≤ 1 1x− ≤ ≤ 1 4x< ≤12
所以当 取得最小值，最小值为：
当 取得最大值，最大值为：
所以
故答案为：
12．抛物线 与 轴的交点坐标是_____
【答案】 ，
【解析】令 y=0，则 x2-2x-3=0，
解得 x=3 或 x=-1．
则抛物线 y=x2-2x-3 与 x 轴的交点坐标是（3，0），（-1，0）．
故答案为（3，0），（-1，0）．
13．已知函数y = { - x2 + 2x(x > 0)
x(x ≤ 0) 的图象如图所示，若直线y = x + m与该图象恰有两个不同的交点，
则m的取值范围为_____．
【答案】0 < m < 1
4
【解析】解：直线y = x + m与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与y = x有一个交点，
∴m > 0，
∵与y = - x2 +2x有两个交点，
∴x + m = - x2 +2x，
Δ = 1 - 4m > 0，
∴m < 1
4，
∴0 < m < 1
4；
1x = 2 4 3 5y = − − = −
4x = 22 4 4 4 3 13y = × − × − =
5 13y− ≤ ≤
5 13y− ≤ ≤
2 2 3y x x= − − x
( 1 0)− ， (3,0)13
故答案为0 < m < 1
4．
14．抛物线 经过点 、 两点，则关于 的一元二次方程
的解是___________
【答案】 ， .
【解析】依题意，得： ，
解得： ，
所以，关于 x 的一元二次方程 a(x－1)2＋c＝b－bx 为： ，
即： ，
化为： ，
解得： ， ，
故答案为： ， .
15．已知 m，n 是方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0（其中 a＜b）的两根，且 m＜n，则 a，b，m，n 的大小关系
是_____．
【答案】m＜a＜b＜n
【解析】∵函数 y＝（x﹣a）（x﹣b）与 x 轴的交点坐标的横坐标为 a 与 b，
二次函数 y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣1相当于 y＝（x﹣a）（x﹣b）向下平移一个单位，
又∵二次项系数为 1，开口向上，如图所示：
∴由图可得：m＜a＜b＜n．
2y ax bx c= + + ( 3,0)A − (4,0)B x
2( 1)a x c b bx− + = −
1 2x = − 2 5x =
9 3 0
16 4 0
a b c
a b c
− + =
+ + =
12
b a
c a
= −
= −
2( 1) 12a x a a ax− − = − +
2( 1) 12 1x x− − = − +
2 3 10 0x x− − =
1 2x = − 2 5x =
1 2x = − 2 5x =14
故答案为：m＜a＜b＜n．
16．如图，抛物线 与直线 交于 A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式 的
解集是_____．
【答案】 或 ．
【解析】解：∵抛物线 与直线 交于 ， 两点，
∴ ， ，
∴抛物线 与直线 交于 ， 两点，
观察函数图象可知：当 或 时，直线 在抛物线 的下方，
∴不等式 的解集为 或 ．
故答案为： 或 ．
17．如图，直线 y＝mx+n 与抛物线 y＝ax2+bx+c 交于 A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于 x 的不等式 mx+n
＜ax2+bx+c 的解集是____．
2y ax c= + y mx n= + 2ax mx c n+ + >
3x < − 1x >
2y ax c= + y mx n= + ( )1,A p− ( )3,B q
m n p− + = 3m n q+ =
2y ax c= + y mx n= − + ( )1,P p ( )3,Q q−
3x < − 1x > y mx n= − + 2y ax bx c= + +
2ax mx c n+ + > 3x < − 1x >
3x < − 1x >15
【答案】﹣1＜x＜4．
【解析】观察函数图象可知：当﹣1＜x＜4 时，直线 y＝mx+n 在抛物线 y＝ax2+bx+c 的下方，
∴不等式 mx+n＜ax2+bx+c 的解集为﹣1＜x＜4．
故答案为：﹣1＜x＜4．
18．已知 k 是常数，抛物线 y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k 的对称轴是 y 轴，并且与 x 轴有两个交点.
(1)求 k 的值：
(2)若点 P 在抛物线 y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k 上，且 P 到 y 轴的距离是 2，求点 P 的坐标.
【答案】(1)k=-3；(2)点 P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).
【解析】(1)∵抛物线 y=x2+(k2+k－6)x+3k 的对称轴是 y 轴，
∴ ，
即 k2+k－6=0，
解得 k=－3 或 k=2，
当 k=2 时，二次函数解析式为 y=x2+6，它的图象与 x 轴无交点，不满足题意，舍去，
当 k=－3 时，二次函数解析式为 y=x2－9，它的图象与 x 轴有两个交点，满足题意，
∴k=－3；
(2)∵P 到 y 轴的距离为 2，
∴点 P 的横坐标为－2 或 2，
当 x=2 时，y=－5；
当 x=－2 时，y=－5，
∴点 P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).
19．在画二次函数 的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下
…… ﹣1 0 1 2 3 ……
…… 6 3 2 3 6 ……
乙写错了常数项，列表如下：
…… ﹣1 0 1 2 3 ……
…… ﹣2 ﹣1 2 7 14 ……
2 6 02 2
b k kx a
+ −= − = − =
( )2 0y ax bx c a= + + ≠
x
y甲
x
y乙16
通过上述信息，解决以下问题：
(1)求原二次函数 的表达式；
(2)对于二次函数 ，当 _____时， 的值随 的值增大而增大；
(3)若关于 的方程 有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ；(3) .
【解析】解：（1）由甲同学的错误可知 c=3，
由甲同学提供的数据选 x=-1，y=6；x=1，y=2，
有 ，
∴ ，
∴a=1,
由甲同学给的数据 a=1，c=3 是正确的；
由乙同学提供的数据，可知 c=-1，选 x=-1，y=-2；x=1，y=2，
有 ，
∴ ，
∴a=1，b=2，
∴y=x2+2x+3；
（2）y=x2+2x+3 的对称轴为直线 x=-1，
抛物线开口向上，
∴当 时， 的值随 的值增大而增大；
故答案为 ；
(3)方程 有两个不相等的实数根，
即 x2+2x+3-k=0 有两个不相等的实数根，
∴ ，
( )2 0y ax bx c a= + + ≠
( )2 0y ax bx c a= + + ≠ x y x
x ( )2 0ax bx c k a+ + = ≠ k
23 2 3y x x= − + + 1
3
≤ 10
3k <
6 3
2 3
a b
a b
= − +
= + +
1
2
a
b
=
= −
2 1
2 1
a b
a b
− = − −
= + −
1
2
a
b
=
=
-1x ≥ y x
-1≥
( )2 0ax bx c k a+ + = ≠
( )4-4 3 0k∆ = − >17
∴ ；
20．已知抛物线 .
（1）若 ， ，求该抛物线与 轴公共点的坐标；
（2）若 ，且当 时，抛物线与 轴有且只有一个公共点，求 的取值范围.
【答案】（1） 和 .（2） 或
【解析】
（1）当 ， 时，抛物线为 ，方程 的两个根为 ，
.所以该抛物线与 轴公共点的坐标是 和 .
（2）当 时，抛物线为 ，且与 轴有公共点.对于方程 ，判别式
，有 .
①当 时，由方程 ，解得 ，此时抛物线为 与 轴只有一
个公共点 ；
②当 时， 时， ， 时， .由已知 时，
该抛物线与 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为 ，应有 ，即 ，解得
.
综上， 或 .
21．已知函数 （ 为常数）.
（1）该函数的图象与 轴公共点的个数是（ ）.
A．0 B．1 C．2 D．1 或 2
（2）求证：不论 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 的图象上.
2k >
23 2y ax bx c= + +
1a b= = 1c = − x
1a b= = 1 1x− < < x c
( )1,0− 1 ,03
1
3c = 5 1c− < ≤ −
1a b= = 1c = − 23 2 1y x x= + − 23 2 1 0x x+ − = 1 1x = −
2
1
3x = x ( )1,0− 1 ,03
1a b= = 23 2y x x c= + + x 23 2 0x x c+ + =
4 12 0c∆ = − ≥ 1
3c ≤
1
3c = 2 13 2 03x x+ + = 1 2
1
3x x= = − 2 13 2 3y x x= + + x
1 ,03
−
1
3c < 1 1x = − 1 3 2 1y c c= − + = + 2 1x = 2 3 2 5y c c= + + = + 1 1x− < <
x 1
3x = − 1
2
0
0
y
y
≤
>
1 0
5 0
c
c
+ ≤
+ >
5 1c− < ≤ −
1
3c = 5 1c− < ≤ −
( )2 1y x m x m= − + − + m
x
m ( )21y x= +18
（3）当 时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.
【答案】（1）D（2）详见解析；（3）当 时，该函数的图象的顶点纵坐标 的取值范围是
.
【解析】（1）因为 ，故选 D.
（2）配方得 ，
所以该函数的图象的顶点坐标为 .
把 代入 ，得 .
因此，不论 为何值，该函数的图象的顶点都在函数 的图象上.
（3）设函数的图象的顶点纵坐标 .
当 时， 有最小值 0.
当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大.
又当 时， ；当 时， .
因此，当 时，该函数的图象的顶点纵坐标 的取值范围是 .
2 3m− ≤ ≤
2 3m− ≤ ≤ z
0 4z≤ ≤
( ) ( ) ( )2 21 4 1 1 0m m m∆ = − − ⋅ − ⋅ = + ≥
( ) 2 2
2 1 ( 1)1 2 4
m my x m x m x
− + = − + − + = − − +
( )211,2 4
mm +−
1
2
mx
−= ( )21y x= +
2 21 ( 1)12 4
m my
− + = + =
m ( )21y x= +
( )21
4
mz
+=
1m = − z
1m < − z m 1m > − z m
2m = − ( )22 1 1
4 4z
− += = 3m = ( )23 1 44z
+= =
2 3m− ≤ ≤ z 0 4z≤ ≤
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