4.3 用乘法公式分解因式
一．选择题（共 5 小题）
1．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣4 B．x2﹣2x﹣1 C．x2﹣4x+4 D．x2+4x+1
2．将下列多项式因式分解后，结果不含因式 x﹣1 的是（ ）
A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x）2
C．x2﹣2x+1 D．x2﹣2x
3．多项式①4x2﹣x；②（x﹣1）2﹣4（x﹣1）；③1﹣x2；④﹣4x2﹣1+4x，分解因式后，结
果中含有相同因式的是（ ）
A．①和② B．③和④ C．①和④ D．②和③
4．代数式（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）c+4c2 可以写成（ ）
A．（a﹣3b+3c）2 B．（a﹣3b﹣2c）2 C．（a+3b+2c）2 D．（a+3b﹣2c）2
5．下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2
C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1
二．填空题（共 5 小题）
6．若一个整数能表示成 a2+b2（a，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，因为 5=22+12，所以 5 是一个“完美数”．
（1）请你再写一个大于 10 且小于 20 的“完美数” ；
（2）已知 M 是一个“完美数”，且 M=x2+4xy+5y2﹣12y+k（x，y 是两个任意整数，k 是常
数），则 k 的值为 ．
7．将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得
到一个等式例如，由图（1）可得等式：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）．将图（2）所示
的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式 a2+3ab+2b2 分解因式为 ．
（第 7 题图）8．当 k= 时，有 k2+k﹣1=0，则 k3= ．
9．已知 a，b，c 为三角形 ABC 的三边，且 a4﹣b4=c2（a2+b2），则三角形 ABC 为 三角
形
10 ． 已 知 a=2005x+2006 ， b=2005x+2007 ， c=2005x+2008 ， 则
a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc= ．
三．解答题（共 22 小题）
11．（1）化简：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2；
（ 2 ） 利 用 （ 1 ） 题 的 结 论 ， 且 a=2015x+2016 ， b=2015x+2017 ， c=2015x+2018 ， 求
a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca 的值．
12．如图，在一块边长为 a 米的正方形空地的四角均留出一块边长为 b（b＜ ）米的正方
形修建花坛，其余的地方种植草坪．
（1）用代数式表示草坪的面积；
（2）先对上述代数式进行因式分解再计算当 a=15，b=2.5 时草坪的面积．
（第 12 题图）
13．因式分解：
（1）x3﹣4x；
（2）（2m﹣n）2﹣6n（2m﹣n）+9n2．14．定义：任意两个数 a，b，按规则 c=ab+a+b 扩充得到一个新数 c，称所得的新数 c 为“如
意数”．
（1）若 a= ，b=1，直接写出 a，b 的“如意数”c；
（2）如果 a=m﹣4，b=﹣m，证明“如意数”c≤0．
15．已知 a（a+1）﹣（a2+2b）=1，求 a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b 的值．参考答案
一．1．C 2．D 3．D 4．B 5．B
二．6．（1）13；（2）36 7．（a+b）（2a+b） 8． ﹣2 9．直角 10．3
三．11．（1）解：原式=a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ac+c2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；
（2）解：原式= （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）= [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]
当 a=2015x+2016，b=2015x+2017，c=2015x+2018，
∴原式= ×[（﹣1）2+（﹣1）2+22]=3．
12．解：（1）剩余部分的面积为（a2﹣4b2）平方米；
（2）当 a=15，b=2.5 时，
a2﹣4b2
=（a+2b）（a﹣2b）
=（15+5）（15﹣5）
=200（平方米）．
13．解：（1）原式=x（x2﹣4）
=x（x+2）（x﹣2）；
（2）原式=[（2m﹣n）﹣3n]2
=（2m﹣4n）2
=4（m﹣2n）2．
14．解：（1）c=ab+a+b= + +1=2 +1；
（2）c=ab+a+b=（m﹣4）（﹣m）+m﹣4+（﹣m）=4m﹣m2﹣4，
=﹣（m﹣2）2≤0，
即 c≤0．
15．解：a（a+1）﹣（a2+2b）=1，
a2+a﹣a2﹣2b﹣1=0，
a﹣2b=1，
a2﹣4ab+4b2﹣2a+4b，
=（a﹣2b）2﹣2（a﹣2b），
=12﹣2×1，=﹣1．
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