3.4 乘法公式
一．选择题（共 4 小题）
1．下列多项式相乘不能用平方差公式的是（ ）
A．（2﹣x）（x﹣2） B．（﹣3+x）（x+3）
C．（2x﹣y）（2x+y） D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．（a﹣2b）（a﹣2b）=a2﹣4b2
B．（﹣a+2b）（a﹣2b）=﹣a2+4b2
C．（a+2b）（﹣a+2b）=a2﹣4b2
D．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b）=a2﹣4b2
3．若 x2+2（m﹣1）x+4 是一个完全平方式，则 m 的值为（ ）
A．2 B．3 C．﹣1or3 D．2or﹣2
4．如图所示的图形面积由以下哪个公式表示（ ）
（第 4 题图）
A．a2﹣b2=（a﹣b） （a+b） B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2=a2+2ab+b2 D．a2+ab=a（a+b）
二．填空题（共 5 小题）
5．如图，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，
拼成右边的长方形，分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证了公式 ．
（第 5 题图）
6．如图，从边长为（a+5）的正方形纸片中剪去一个边长为 5 的正方形，剩余部分沿虚线剪
开再拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是 ．（第 6 题图）
7．先阅读后计算：为了计算 4×（5+1）×（52+1）的值，小黄把 4 改写成 5﹣1 后，连续
运用平方差公式得：4×（5+1）×（52+1）=（5﹣1）×（5+1）×（52+1）=（52﹣1）×
（52+1）=252﹣1=624．
请借鉴小黄的方法计算：
（1+ ）× × × × × × ，结果
是 ．
8．已知多项式 x2+mx+25 是完全平方式，且 m＜0，则 m 的值为 ．
9．已知一个长方形的长和宽分别是 a，b，它的周长是 6，面积是 2，则 a2+b2= ．
三．解答题（共 5 小题）
10．阅读下文件，寻找规律：
已知 x≠1，计算：
（1﹣x）（1+x）=1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）=1﹣x5
…
（1）观察上式猜想：（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）= ．
（2）根据你的猜想计算：①1+2+22+23+24+…+22018②214+215+…+2100．11．已知大正方形的周长比小正方形的周长长 96 厘米，它们的面积相差 960 平方厘米，分
别求出大正方形和小正方形的边长．
12．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
例如：由图 1 可得到（a+b）2=a2+2ab+b2．
（第 12 题图）
（1）写出由图 2 所表示的数学等式： ；写出由图 3 所表示的数学等式： ；
（2）利用上述结论，解决下面问题：已知 a+b+c=11，bc+ac+ab=38，求 a2+b2+c2 的值．13．图②是一个直角梯形．该图案可以看作由 2 个边长为 a、b、c 的直角三角形（图①）
和 1 个腰长为 c 的等腰直角三角形拼成．
（第 13 题图）
（1）根据图②和梯形面积的不同计算方法，可以验证一个含 a、b、c 的等式，请你写出这
个等式，并写出其推导过程；
（2）若直角三角形的边长 a、b、c 满足条件：a﹣b=1，ab=4．试求出 c 的值．
14．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他 1261 年所著的《详解九章算法》一书中，辑录
了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自 11 世纪前半叶
贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三
角”．杨辉三角形，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几
何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261 年）一书中用如图的三角
形解释二项和的乘方规律．
结合杨辉三角并观察下列各式及其展开式：
（1）根据上式各项系数的规律，求出（a+b）9 的展开式．
（2）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．（第 14 题图）参考答案
一．1．A 2．D 3．C 4．A
二．5．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） 6．a+10 7． 2﹣ 8．﹣10 9．5
三．10．解：（1）由题可得，（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn）=1﹣xn+1．
（2）①1+2+22+23+24+…+22018．
=﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+22018）
=﹣（1﹣22019）
=22019﹣1；
②214+215+…+2100
=（1+2+22+23+24+…+2100）﹣（1+2+22+23+24+…+213）
=﹣（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+2100）+（1﹣2）（1+2+22+23+24+…+213）
=﹣（1﹣2101）+（1﹣214）
=2101﹣214．
11．解：设大小正方形的边长分别为 a 厘米，b 厘米，
根据题意，得 4a﹣4b=96，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=960，
把 a﹣b=24 代入，得 a+b=40，
解得 a=32，b=8，
则大小正方形的边长分别为 32 厘米，8 厘米．
12．解：（1）由图 2 可得正方形的面积为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
由 图 3 可 得 阴 影 部 分 的 面 积 是 （ a﹣b﹣c ） 2=a2﹣b2﹣c2﹣2bc﹣2 （ a﹣b﹣c ） c﹣2
（a﹣b﹣c）b=a2+b2+c2+2bc﹣2ab﹣2ac．
即（a﹣b﹣c）2=a2+b2+c2+2bc﹣2ab﹣2ac．
（2）由（1）可得 a 2+b2+c2=（a+b+c） 2﹣（2ab+2bc+2ac）=（a+b+c） 2﹣2（ab+bc+ac）
=112﹣2×38=45．
13．解：（1）这个等式为：a2+b2=c2．
梯形的面积可表示为 （a+b）（a+b）= （a+b）2，
或 ab×2+ c2=ab+ c2，
∴ （a+b）2=ab+ c2，即 a2+b2=c2．
（2）由（1）中的关系式 a2+b2=c2．，且 c＞0，得
c=
∵a﹣b=1，ab=4
∴c= =3．
14．解：（1）依据规律可得到各项的系数分别为 1；9；26；84；126；126；84；26；9；
1．
∴（a+b）9=a9+9a8b+26a7b2+84a6b3+126a5b4+126a4b5+84a3b6+26a2b7+9ab8+b9．
（2）25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2﹣1）5=1．
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