1.4 平行线的性质
一．选择题（共 6 小题）
1．如图，已知 a∥b，a⊥c，∠1=40°，则∠2 度数为（ ）
（第 1 题图）
A．40° B．140°
C．130° D．以上结论都不对
2．如图，AB∥CD，∠1=120°，∠2=80°，则∠3 的度数为（ ）
（第 2 题图）
A．10° B．20° C．30° D．60°
3．如图，直线 AB∥CD，∠C=48°，∠E 为直角，则∠1 的度数为（ ）
（第 3 题图）
A．136° B．130° C．132° D．138°
4．如图，已知 AB∥CD，∠BEG=58°，∠G=30°，则∠HFG 的度数为（ ）（第 4 题图）
A．28° B．29° C．30° D．32°
5．如图，AB∥CD，∠P=90°，设∠A=α、∠E=β、∠D=γ，则 α、β、γ 满足的关系是
（ ）
（第 5 题图）
A．β+γ﹣α=90° B．α+β+γ=90° C．α+β﹣γ=90° D．α+β+γ=180°
6．如图，已知 AB∥EF，∠C=90°，∠B，∠D，∠E 三个角的大小分别是 x，y，z 则 x，y，
z 之间满足的关系式是（ ）
（第 6 题图）
A．x+z=y B．x+y+═180° C．x+y﹣z=90° D．y+z﹣x=180°
二．填空题（共 2 小题）
7．如图，直线 a∥b，∠l=60°，∠2=40°，则∠3= ．
（第 7 题图）
8 ． 如 图 ， 已 知 AB∥CD ， ∠EAF= ∠BAF ， ∠ECF= ∠DCF ， 记 ∠AEC=m∠AFC ， 则
m= ．（第 8 题图）
三．解答题（共 6 小题）
9．（1）如图（a），如果∠B+∠E+∠D=360°，那么 AB、CD 有怎样的关系？为什么？
（第 9 题图）
解：过点 E 作 EF∥AB ①，如图（b），
则∠ABE+∠BEF=180°，（ ）
因为∠ABE+∠BED+∠EDC=360°（ ）
所以∠FED+∠EDC= ° （等式的性质）
所以 FE∥CD ②（ ）
由①、②得 AB∥CD （ ）．
（2）如图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件 时，有 AB∥CD．
（3）如图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D满足条件 时，有 AB∥CD．
10．如图所示，已知 AB∥CD，分别探究下面图形中∠APC，∠PAB，∠PCD 的关系，请你从四
个图形中任选一个，说明你所探究的结论的正确性．①结论：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
②选择结论 ，说明理由．
（第 10 题图）
11．（1）如图 AB∥CD，试判断∠BEF、∠EFG、∠FGD 之间的关系．并说明理由．
（2）如图 AB∥CD，∠AEF=150°，∠DGF=60°．试判断 EF 和 GF 的位置关系，并说明理
由．
（第 11 题图）
12．如图：已知 AB∥DE，若∠ABC=60°，∠CDE=140°，求∠BCD 的度数．
（第 12 题图）13．如图 1，AB∥CD，EOF 是直线 AB、CD 间的一条折线．
（第 13 题图）
（1）说明：∠O=∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图 2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC 会满足怎样的关系，
证明你的结论．
（3）若将折线继续折下去，折三次，折四次…折 n 次，又会得到怎样的结论？请写出你的
结论．
14．如图①，已知 AB∥CD，点 E、F 分别是 AB、CD 上的点，点 P 是两平行线之间的一点，
设∠AEP=α，∠PFC=β，在图①中，过点 E 作射线 EH 交 CD 于点 N，作射线 FI，延长 PF
到 G，使得 PE、FG 分别平分∠AEH、∠DFl，得到图②．
（1）在图①中，过点 P 作 PM∥AB，当 α=20°，β=50°时，∠EPM= 度，∠EPF=
度；
（2）在（1）的条件下，求图②中∠END 与∠CFI 的度数；
（3）在图②中，当 FI∥EH 时，请直接写出 α 与 β 的数量关系．
（第 14 题图）参考答案
一．1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C
二．7．80° 8．
三．9．解：（1）过点 E 作 EF∥AB，如图（b），
则∠ABE+∠BEF=180°，（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠ABE+∠BED+∠EDC=360°，（已知 ）
所以∠FED+∠EDC=180°，（等式的性质）
所以 FE∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）
∴AB∥CD （或平行线的传递性 ）．
（2）如答图（c），当∠1、∠2、∠3满足条件∠1+∠3=∠2 时，有 AB∥CD．
理由：过点 E 作 EF∥AB．
∴∠1=∠BEF；
∵∠1+∠3=∠2，∠2=∠BEF+∠DEF，
∴∠3=∠DEF，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD（平行线的传递性）；
（第 9 题答图）
（3）如答图（d），当∠B、∠E、∠F、∠D 满足条件∠B+∠E+∠F+∠D=540°时，有
AB∥CD．
理由：
过点 E、F 分别作 GE∥HF∥CD．
则∠GEF+∠EFH=180°，∠HFD+∠CDF=180°，∴∠GEF+∠EFD+∠FDC=360°；
又∵∠B+∠E+∠F+∠D=540°，
∴∠ABE+∠BEG=180°，
∴AB∥GE，
∴AB∥CD；
故答案是：（1）两直线平行，同旁内角互补、已知、180、同旁内角互补，两直线平行或平
行线的传递性；
（2）∠1+∠3=∠2；
（3）∠B+∠E+∠F+∠D=540°．
10．解：①（1）过点 P 作 PE∥AB，则 AB∥PE∥CD，
∴∠1+∠PAB=180°，
∠2+∠PCD=180°，
∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
（2）过点 P 作直线 l∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠PAB=∠3，∠PCD=∠4，
∴∠APC=∠PAB+∠PCD；
（3）∵AB∥CD，
∴∠PEB=∠PCD，
∵∠PEB 是△APE 的外角，
∴∠PEB=∠PAB+∠APC，
∴∠PCD=∠APC+∠PAB；
（4）∵AB∥CD，
∴∠PAB=∠PFD，
∵∠PFD 是△CPF 的外角，
∴∠PCD+∠APC=∠PFD，
∴∠PAB=∠APC+∠PCD．
②选择结论（1），证明同上．（第 10 题答图）
11．（1）解：∠EFG=∠FGD+∠BEF
证明：过点 F 作 AB 的平行线 FH
∵AB∥CD，AB∥FH
∴CD∥FH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∵AB∥FH（已作）
∴∠BEF=∠EFH（两直线平行，内错角相等）
∵CD∥FH（已证）
∴∠FGD=∠HFG（两直线平行，内错角相等
∴∠BEF+∠FGD=∠EFH+∠HFG（等量代换）
即：∠BEF+∠FGD=∠EFG
∴∠EFG=∠FGD+∠BEF
（2）EF⊥FG
证明：过点 F 作 AB 的平行线 FH
∵AB∥CD，AB∥FH
∴CD∥FH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
∵∠AEF+∠BEF=180°（平角的定义）
∴∠BEF=180°﹣∠AEF=180°﹣150°=30°
∵AB∥FH（已作）
∴∠BEF=∠EFH（两直线平行，内错角相等）
∵CD∥FH（已证）∴∠FGD=∠HFG（两直线平行，内错角相等）
∴∠BE+∠FGD=∠EFH+∠HFG（等量代换）
即：∠BEF+∠FGD=∠EFG
∴∠EFG=∠FGD+∠BEF=60°+30°=90°
∴EF⊥FG（垂直的定义）
（第 11 题答图）
12．解：如答图，反向延长 DE 交 BC 于点 M.
∵AB∥DE，
∴∠BMD=∠ABC=60°，
∴∠CMD=180°﹣∠BMD=120°；
又∵∠CDE=∠CMD+∠C，
∴∠BCD=∠CDE﹣∠CMD=140°﹣120°=20°．
（第 12 题答图）
13．（1）证明：过点 O 作 OM∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥CD，
∴∠BEO=∠MOE，∠DFO=∠MOF，
∴∠BEO+∠DFO=∠EOM+∠FOM，
即∠EOF=∠BEO+∠DFO．（第 13 题答图）
（2）∠BEO、∠O、∠P、∠PFC 会满足的关系式是∠BEO+∠P=∠O+∠PFC，
解：过点 O 作 OM∥AB，PN∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥OM∥PN∥CD，
∴∠BEO=∠EOM，∠PFC=∠NPF，∠MOP=∠NPO，
∴∠EOP﹣∠OPF=（∠EOM+∠MOP）﹣（∠OPN+∠NPF）=∠EOM﹣∠NPF，
∠BEO﹣∠PFC=∠EOM﹣∠NPF，
∴∠BEO﹣∠PFC=∠EOP﹣∠OPF，
∴∠BEO+∠OPF=∠EOP+∠PFC．
（3）解：令折点是 1，2，3，4，…，n，则∠BEO+∠2+∠4+…=∠1+∠3+∠5+…+∠PFC．
14．解：（1）∵PM∥AB，α=20°，
∴∠EPM=∠AEP=20°，
∵AB∥CD，PM∥AB，
∴PM∥CD，
∴∠MPF=∠CFP=50°，
∴∠EPF=20°+50°=70°.
（2）∵PE 平分∠AEH，
∴∠AEH=2α=40°，
∵AD∥BC，
∴∠END=∠AEH=40°，
又∵FG 平分∠DFI，
∴∠IFG=∠DFG=β=50°，
∴∠CFI=180°﹣2β=80°；（3）由（2）可得，∠CFI=180°﹣2β.
∵AB∥CD，
∴∠AEN=∠END=2α，
∴∠DNH=180°﹣2α，
∴当 FI∥EH 时，∠HND+∠CFI=180°，
即 180°﹣2α+180°﹣2β=180°，
∴α+β=90°．
（第 14 题答图）
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