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2.3 用公式法求解一元二次方程
第 1 课时 用公式法求解一元二次方程
教学目标
(一)教学知识点
1．一元二次方程的求根公式的推导.
2．会用求根公式解一元二次方程.
(二)能力训练要求
1．通过公式推导 ，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．
2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．
(三)情感与价值观要求
通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．
教学重点
一元二次方程的求根公式
教学难点
求根公式的条件：b2-4ac≥0
教学方法
讲练相结合
教具准备
投影片五张
第一张：复习练习(记作投影片§2．3 A)
第二张：试一试(记作投影片§2．3B)
第三张：小亮的推导过程(记作投影片§2．3 C)
第四张：求根公式(记作投影片§2．3 D)
第五张：例题(记作投影片§2．3 E)
教学过程
Ⅰ．巧设现实情景，引入课题
[师]我们前面学习了一元二次方程的解法．下面来做一练习以巩固其解法．(出示投影片§2．3 A)
1．用配方法解方程 2x2-7x+3＝0．
[生甲]解：2x2-7x+3＝0，
两边都除以 2，得 x2 -x+ ＝0．
移项，得；x2- x=- ．
配方，得 x2- x+(- )2＝- +(- )2．
两边分别开平方，得
x- ＝±
即 x- = 或 x- =- ．
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5 ∴x1=3，x2= ．
[师]同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习．(出示投影片§2．3 B)试一试，肯定行：
1．用配方法解下列关于 x 的方程：
(1)x2+ax＝1；(2)x2+2bx+4ac＝0．
[生乙](1)解 x2+ax＝1，
配方得 x2+ax+( )2＝1+( )2，
(x+ )2= ．
两边都开平方，得
x+ ＝± ，
即 x+ ＝ ，x+ =- .
∴x1= ， x2＝
[生丙](2)解 x2-2bx+4ac＝0，
移项，得 x2+2bx＝-4ac．
配方，得 x2-2bx+b2＝-4ac+b2，
(x+b)2=b2-4ac．
两边同时开平方，得
x+b＝± ，
即 x+b＝ ，x+b＝-
∴x1=-b+ ，x2＝-b-
[生丁]老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到(x+b)2＝b2-4ac．根据平方根
的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在 b2-4ac≥0 时，才可以用开平方法解出 x 来．所以，在
这里应该加一个条件：b2-4ac≥0．
[师]噢，同学们来想一想，讨论讨论，戊同学说得有道理吗?
[生齐声]戊同学说得正确．因为负数没有平方根，所以，解方程 x2+2bx+4ac＝0
时，必须有条件：b2-4ac≥0，才有丁同学求出的解．否则，这个方程就没有实数解．
[师]同学们理解得很正确，那解方程 x2+ax＝1 时用不用加条件呢?
[生齐声]不用．
[师]那为 什么呢?
[生齐声]因为把方程 x2+ax＝1 配方变形为(x+ )2= ，右边 就是一个正数，所以就不必
加条件了．
[师]好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的．因此，如
2
1
2
a
2
a
2
a
4
4 2a+
2
a
2
4 2a+
2
a
2
4 2a+
2
a
2
4 2a+
2
4 2aa ++−
2
4 2aa +−−
acb 42 −
acb 42 − acb 42 −
acb 42 − acb 42 −
2
a
4
4 2a+
4
4 2a+果能用配方法解一般的一元二次方程 ax2+bx+c＝0(a≠0)，得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程
时，就会方便 简捷得多．
这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式．
Ⅱ．讲授新课
[师]刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程
ax2+bx+c＝0(a≠0)呢?
大家可参照解方程 2x2-7x+3＝0 的步骤进行．
[生甲]因为方程的二次项系数不为 1，所以首先应把方程的二次项系数变为 1，即方程两边都除以二
次项系数 a，得
x2+ =0．
[生乙]因为这里的二次项系数不为 0，所以，方程 ax2+bx+c＝0(a≠0)的两边都除以 a 时，需要说明 a
≠0．
[师]对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为 0，所以无需特殊说明，
而方程 ax2+bx+c＝0(a≠0)的两边都除以 a 时，必须说明 a≠0．
好，接下来该如何呢?
[生丙]移项，得 x2+
配方，得 x2+ ,
(x+ .
[师]这时，可以直接开平方求解吗?
[生丁]不，还需要讨论．
因为 a≠0，所以 4a2>0．当 b2-4ac≥0 时，就可以开平方．
[师]对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求 ≥0．因为 4a2>0 恒成立，所
以只需 b2-4ac 是非负数即可．
因此，方程(x+ )2＝ 的两边同时开方，得 x+ =± .
大家来想一想，讨论讨论：
± =± 吗?
……
[师]当 b2-4ac≥0 时，
x+ =± =±
因为式子前面有双重符号“±”，所以无论 a>0 还是 a0 等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理．
(2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出 a、b、c 的数值以及计算 b2-4ac
的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程．
Ⅴ．课后作业
(一)课本 P 43 习题 2．5 1、2
(二)预习内容：P44
Ⅵ．活动与探究
1．阅读材料，解答问题：
阅读材料：
为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4＝0，我们可以将(x2-1)视为一个整体，然后设 x2-1＝y，则(x2-1)2＝y2，
原方程化为 y2-5y+4=0． ①
解得 y1=4，y2＝1．
当 y1＝4 时，x2-1＝4，
∴x2＝5，∴x=± ．
当 y＝1 时，x2-1＝1，
∴x2＝2，∴x=± ．
∴原方程的解为 x1＝ ，x2＝- ，
x3= ，x4=- .
解答问题：
(1)填空：
在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的，体现了 的数学思想．
(2)解方程 x4-x2-6＝0．
[过程]通过对本题的阅读，让学生在获取知识的同时，来提高学生的阅读理解和解
2
117
12
1217 ±=×
±
a
acbb
2
42 −±−
5
2
2 2
5 5决问题的能力．
[结果]
解：(1)换元 转化
(2)设 x2＝y，则 x4=y2，
原方程可以化为 y2-y-6＝0．
解得 y1=3，y2＝-2．
当 y1=3 时，x2＝3，∴x＝± ．
当 y2＝-2 时，x2=-2，此方程无实根．
∴原方程的解为 x1＝ ，x2＝- ．
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