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第四章 图形的相似
【知识回顾】
一、成比例线段
1、比例线段的概念：在四条线α、b、c、d 中，如果其中两条线段的比例等于另外两条线段的比，即
，那么这四条线段α、b、c、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2、线段的比例中项：在比例式 （或 ）中，b 叫做α和 c 的 。
3、比例的性质
①基本性质：
②合比性质： 。
③等比性质： 。
4. 黄金分割
如图 1,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果 ,那么称线段 AB 被点 C 黄金分割,点 C 叫
做线段 AB 的黄金分割点,AC 与 AB 的比叫做黄金比.
二、相似三角形的判定与性质
1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．
2、相似三角形的判定方法
（1）相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。当相似比等于 1 时，这两个三角形不仅形状相同，而
且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。全等三角形是相似三角形的特例。
（2）相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。
②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
③三边对应成比例，两三角形相似。
（3）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。
②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
三、位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两
个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。
性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。
由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。
【基础训练】
1、已知 a,b,c,d 是成比例线段，其中 a=3cm，b=2cm, c=6cm,求线段 d 的长_______.
2、在比例尺是 1:38000 的南京交通游览图上,玄武湖隧道长约 7cm,则它的实际长度为___Km。
)::( dcbad
c
b
a == 或
c
b
b
a = cbba :: =
。bdbcadd
c
b
a 内项之积等于外项之积:)0( ≠=⇒=
d
dc
b
ba
d
c
b
a ±=±⇒=
)0( ≠+++=+++
+++⇒=== ndbb
a
ndb
mca
n
m
d
c
b
a
AC
BC
AB
AC =
1:618.02
15: ≈−=ABAC
_图 1
_B_C_A2
E C
DA
F
B
图 3
3、若 = 则 =__________
4、已知: = = 且 3a + 2b - c=14 ,则 a + b+ c 的值为_____
5、如图 2， 两点分别在 的边 上， 与 不平行，当满足 条件（写出一
个即可）时， ．
6、如果两个相似三角形的相似比是 ，那么这两个三角形面积的比是 ．
7、如图 3，平行四边形 中， 是边 上的点，
交 于点 ，如果 ，那么 ．
8、如图 4，在 Rt△ABC 中，∠C 为直角，CD⊥AB 于点 D,BC=3,AB=5,
写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它的面积比 .
9、已知 x：y：z=3：4：5，则 =________。
10、如图 5，已知 AB⊥BD，ED⊥BD，C 是线段 BD 的中点，
且 AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么 AB=
b
a
3
2
b
ba +
2
a
3
b
5
c
D E， ABC△ AB AC， DE BC
ADE ACB△ ∽△
1:3
ABCD E BC
AE BD F 2
3
BE
BC
= BF
FD
=
zyx
zyx
−+
++
D
C
BA
图 4
A
E
CB
D
图 23
图 6
11、如图 6，要测量 A、B 两点间距离，在 O 点打桩，取 OA 的中点 C，OB 的中点 D，测得 CD=30 米，则 AB=______
米．
12、如图 7,已知 AD 与 BC 相交于点 O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC 的大小为（ ）
A.60° B.70° C.80° D.120°
13、如图 8，已知 D、E 分别是 的 AB、 AC 边上的点， 且 那么
等于（ ）
A．1 : 9 B．1 : 3 C．1 : 8 D．1 : 2
14、图为ABC 与DEC 重迭的情形，其中 E 在 BC 上，AC 交 DE 于 F 点，且 AB // DE。若ABC 与DEC 的
面积相等，且 EF=9，AB=12，则 DF=？( )
(A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。
第 14 题 图 8
15、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点 P 处放一水平的平面镜,光线从点 A 出发经平
面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得 AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12
米， 那么该古城墙的高度是（ ）
A、6 米 B、8 米 C、18 米 D、24 米
16、已知 ，相似比为 3，且 的周长为 18，则 的周长为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．54
17、下列判断中正确的是：（ ）
A．两个矩形一定相似 B．两个平行四边形一定相似
C．两个正方形一定相似 D．两个菱形一定相似
18、下列说法①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等
腰三角形相似；④有一个角为 60 o 的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（ ）
A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④
19、如图，已知，△ABC 为等边三角形，∠DAE=120°。
ABC∆ ,DE BC// 1ADE DBCES S: = :8,
四边形 :AE AC
ABC DEF△ ∽△ ABC△ DEF△
A B
C D
O
图 7
B
A
C
D E4
A
B CD
F
E
D
C
BA
（1）△DAB 与△AEC 相似吗？请说明理由。
（2）若 DB=4，CE=9，试求 BC 的长。
20、如图 5，在△ABC 中，BC>AC， 点 D 在 BC 上，且 DC＝AC,∠ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F，点 E 是 AB 的
中点，连结 EF.
（1）求证：EF∥BC.
（2）若四边形 BDFE 的面积为 6，求△ABD 的面积.
21、已知：如图， 是 斜边上的中线， 交 于 ，交 的延长线于 ，
求证：⑴ ∽ ； ⑵ ．
22、如图 10，四边形 ABCD、DEFG 都是正方形，连接 AE、CG,AE 与 CG 相交于点 M，CG 与 AD 相交于点 N．
求证：（1） ；
（2）
CD Rt ABC∆ DE AB⊥ BC F AC E
ADE∆ FDB∆ DFDECD •=2
CGAE =
.MNCNDNAN •=•
E
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