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2.6 应用一元二次方程
第 1 课时 利用一元二次方程解决几何问题及数字问题
教学目标：
１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问 题的实际意义，检验结果的合理性；
２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程 ，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理
解问题，并能运用所学的知识解决问题。
教学过程：
一、情境问题
问题 1、一根长 22cm 的铁丝。
（1）能否围成面积是 30cm2 的矩形？
（2）能否围成面积是 32 cm2 的矩形？并说明理由。
分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是 xcm，那么矩形的宽是__________。
根据相等关系：
矩形的长×矩形的宽=矩形的面积，
可以列出方程求解。
解：
问题 2、如图，在矩形 ABCD 中，AB=6cm，BC=3cm。点 P 沿边 AB 从点 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动，
点 Q 沿边 DA 从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动。如果 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间（0≤
t≤3）。那么，当 t 为何值时，△QAP 的面积 等 于 2cm2?
解：
问题 3．（教材例题）如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正
P
Q
B
C
A
D2
东方向 200 海里处有一重要目标 C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头：小岛 F 位于 BC 上且恰好
处于小岛 D 的正南方向，一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一般补给船同时从 D 出发，沿南偏西方
向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
（1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里?
（2）已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇于 E 处，那么相遇时补
给船航行了多少海里?（结果精确到 0.1 海里）
分析：（1）因为依题意可知△ABC 是等腰直角三角形，△DFC 也是等腰直角三角形，AC 可求，CD 就
可求，因此由勾股定理便可求 DF 的长．
（2）要求补给船航行的距离就是求 DE 的长度，DF 已求，因此，只要在 Rt△DEF 中，由勾股定理即可
求．
解：（1）连结 DF，则 DF⊥BC
∵AB⊥BC，AB=BC=200 海里．
∴AC= AB=200 海里，∠C=45°
∴CD= AC=100 海里
DF=CF， DF=CD
∴DF=CF= CD= ×100 =100（海里）
所以，小岛 D 和小岛 F 相距 100 海里．
（2）设相遇时补给船航行了 x 海里，那么 DE=x 海里，AB+BE=2x 海里，
EF=AB+BC-（AB+BE）-CF=（300-2x）海里
在 Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程
x2=1002+（300-2x）2
整理，得 3x2-1200x+100000=0
解这个方程，得：x1=200- ≈118.4
x2=200+ （不合题意，舍去）
所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 海里．
二、练一练
1、用长为 100 cm 的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是 600 cm2？能制成面积是 800
B
A
CE
D
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F
2 2
1
2 2
2
2
2
2
2 2
100 6
3
100 6
33
cm2 的矩形框子吗？
解：
2、如图，在矩形 ABCD 中，AB=6 cm，BC=12 cm，点 P 从点 A 沿边 AB 向点 B 以 1cm /s 的速度移动；同时，
点 Q 从点 B 沿边 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，几秒后△ PBQ 的面积等于 8 cm2？
解：
三、课后自测：
1、如图，A、B、C、D 为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点 P、 Q 分别从点 A、C 出发，点 P 以 3cm/s
的速度向点 B 移动，一直到达 B 为止；点 Q 以 2cm/s 的速度向点 D 移动。经过多长时间 P、Q 两点之间的
距离是 10cm？
2、如图，在 Rt△ABC 中，AB=BC=12cm，点 D 从点 A 开始沿边 AB 以 2cm/s 的速度向点 B 移动，移 动过程中
始终保持 DE∥BC，DF∥AC，问点 D 出发几秒后四边形 DFCE 的面积为 20cm2？
P
Q
C
BA
D
Q
P
CB
A D
E
F
D
C
BA4
3、如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置 O 点的正北方向 10
海里外的 A 点有一涉嫌走私船只正以 24 海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好
航向，以 26 海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点 B
为追上时的位置）？
4、如图，把长 AD=10cm，宽 AB=8cm 的矩形沿着 AE 对折，使 D 点落在 BC 边的 F 点上，求 DE 的长。
5、如图，有长为 24 米的篱笆，一面利用 墙（墙的最大可用长度为 a 为 15 米），围成中间隔有一道篱笆的
长方形花圃。
（1）如果要围成面积为 45 平方米的花圃，AB 的长是多少米？
（2）能围成面积比 45 平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明
理由。
F
E
D
CB
A
北
东
BA
O5
a
D
CB
A
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