1
第三章 概率的进一步认识
3.1 用树状图或表格求概率
第 1 课时 用树状图或表格求概率
教学目标：
知识与技能目标：学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。
过程与方法目标：经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生
的概率。渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。
情感与态度目标：通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的
应用价值，培养积极思维的学习习惯。
教学重点：习运用列表法或树形图法计算事件的概率。
教学难点：能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。
教学过程
1.创设情景，发现新知
例：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1) 两个骰子的点数相同；
(2) 两个骰子的点数的和是 9；
(3) 至少有一个骰子的点数为 2。
这个例题难度较大，事件可能出现的结果有 36 种。若首先就拿这个例题给学生讲解，大多数学生理
解起来会比较困难。所以在这里，我将新课的引入方式改为了一个有实际背景的转盘游戏（前一课已有例
２作基础）。
（1）创设情景
引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A、B 两个带指针的转盘分别被分成三个
面积相等的扇形，转盘 A 上的数字分别是 1，6，8，转盘 B 上的数字分别是 4，5，7（两个转盘除表面数
字不同外，其他完全相同）。每次选择 2 名同学分别拨动 A、B 两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停
止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。
作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由。
1
6 8
A
4
5
7
B
图 2 联欢晚会游戏转盘
【设计意图】选用这个引例，是基于以下考虑：以贴近学生生活的联欢晚会为背景，创设转盘游戏引
入，能在最短时间内激发学生的兴趣，引起学生高度的注意力，进入情境。
（2）学生分组讨论，探索交流
在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即：
“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？”
由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小。此时我首先引导学生观看转盘动画，同学们
会发现这个游戏涉及 A、B 两转盘， 即涉及 2 个因素，与前一课所讲授单转盘概率问题（教材 P148 例 2）
相比，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。怎样避免这个问题呢？
实际上，可以将这个游戏分两步进行。 于是，指导学生构造表格
（3）指导学生构造表格
A B 4 5 7
1
6
8
首先考虑转动 A 盘：指针可能指向 1，6，8 三个数字中的任意一个，可能出现的结果就会有 3 个。接
着考虑转动 B 盘：当 A 盘指针指向 1 时，B 盘指针可能指向 4、5、7 三个数字中的任意一个，这是列举法
的简单情况。当 A 盘指针指向 6 或 8 时，B 盘指针同样可能指向 4、5、7 三个数字中的任意一个。一共会
产生 9 种不同的结果。
【设计意图】 这样既分散了难点，又激发了学生兴趣，渗透了转化的数学思想。
（4）学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论（即列表法）
A B 4 5 7
1 （1，4） （1，5） （1，7）
6 （6，4） （6，5） （6，7）
8 （8，4） （8，5） （8，7）
从表中可以发现：A 盘数字大于 B 盘数字的结果共有 5 种。∴P(A 数较大)= , P(B 数较大)= .
∴P(A 数较大)＞ P(B 数较大)
∴选择 A 装置的获胜可能性较大。
在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性。
由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举。即先转动Ａ盘，可能出现 1，6，8 三种结
果；第二步考虑转动Ｂ盘，可能出现 4，5，7 三种结果。
（5）解法二：
由图知：可能的结果为： （1，4），（1，5），（1，7），
（6，4），（6，5），（6，7），
（8，4），（8，5），（8，7）。共计 9 种。
∴P(A 数较大)= , P(B 数较大)= .
∴P(A 数较大)＞ P(B 数较大)
∴选择 A 装置的获胜可能性较大。
然后，引导学生对所画图形进行观察：若将图形倒置，你会联想到什么？这个图形很像一棵树，所以
称为树形图（在幻灯片上放映）。列表和树形图是列举法求概率的两种常用的方法。
【设计意图】自然地学生感染了分类计数和分步计数思想。
2.自主分析，再探新知
通过引例的分析，学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌握这两种方
法，我选用了下列两道例题。
例 1：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1) 两个骰子的点数相同；(2) 两个骰子的点数的和是 9；(3) 至少有一个骰子的点数为 2。
例 1 是教材上一道“掷骰子”的问题，有了引例作基础，学生不难发现：引例涉及两个转盘，这里涉
及两个骰子，实质都是涉及两个因素。于是，学生通过类比列出下列表。
9
5
9
4
9
5
9
4
1 6 8
开始
A 装置
4 5 7 4 5 7 4 5 7B 装置 第 2 个
第 1 个
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
由上表可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有 36 个，它们出现的可能性相等。由所列表格
可以发现：
（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件 A）的结果有 6 个，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），
（5，5），（6，6），所以 P(A)= = 。
[满足条件的结果在表格的对角线上]
（2）满足两个骰子的点数的和是 9（记为事件 B）的结果有 4 个，即（3，6），（4，5），（5，4），（6，
3），所以 P(B)= = 。
[满足条件的结果在（3，6）和（6，3）所在的斜线上]
（3）至少有一个骰子的点数为 2（记为事件 C）的结果有 11 个，所以 P(C)= 。
[满足条件的结果在数字 2 所在行和 2 所在的列上]
接着，引导学生进行题后小结：
当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。运用列表法求概率的
步骤如下：
①列表 ；
②通过表格计数，确定公式 P(A)= 中 m 和 n 的值；
③利用公式 P(A)= 计算事件的概率。
36
6
6
1
36
4
9
1
36
11
n
m
n
m分析到这里，我会问学生：“例 1 题目中的“掷两个骰子”改为“掷三个骰子”，还可以使用列表法
来做吗？”由此引出下一个例题。
例 2： 甲口袋中装有 2 个相同的球，它们分别写有字母 A 和 B；乙口袋中 3 个相同的球，它们分别写
有字母 C、D 和 E；丙口袋中 2 个相同的球，它们分别写有字母 H 和 I。从三个口袋中各随机地取出 1 个球。
（1）取出的三个球上恰好有 1 个、2 个和 3 个元音字母的概率分别为多少？
（2）取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？
例 2 与前面两题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到 3 个因素。此时同学们会发现用列
表法就不太方便，可以尝试树形图法。
本游戏可分三步进行。分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键。
从图形上可以看出所有可能出现的结果共有 12 个，即：
（幻灯片上用颜色区分）
这些结果出现的可能性相等。
（1）只有一个元音字母的结果（黄色）有 5 个，即 ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以 ；
有两个元音的结果（白色）有 4 个，即 ACI，ADI，AEH，BEI，所以 ；
全部为元音字母的结果（绿色）只有 1 个，即 AEI ，所以 。
（2）全是辅音字母的结果（红色）共有 2 个，即 BCH，BDH，所以 。
通过例 2 的解答，很容易得出题后小结：
当一次试验要涉及 3 个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。运用树形图法
求概率的步骤如下：（幻灯片）
①画树形图 ；
12
5P =（一个元音）
3
1
12
4P )(
==两个元音
12
1P )(
=三个元音
6
1
12
2P )(
==三个辅音
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
H
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
B
C
I
A
C D E
H I H I H I
B
C D E
H I H I H I
甲
乙
丙②列出结果，确定公式 P(A)= 中 m 和 n 的值；
③利用公式 P(A)= 计算事件概率。
接着我向学生提问：到现在为止，我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况？列表法和画树形图
法求概率有什么优越性？什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图法”更好呢？
【设计意图】通过对上述问题的思考，可以加深学生对新方法的理解，更好的认识到列表法和画树形
图法求概率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需信息，有利于学生根据实际情况选择正确的方
法。
3.应用新知，深化拓展
为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况，提高应用所学知识解决问题的能力，在此我设置了
两道随堂练习。
（1）经过某十字路口的汽车，它可能继续前行，也可能向左或向右，如果这三种可能性大小相同。
三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：
①三辆车全部继续前行；
②两辆车向右转，一辆车向左转；
③至少有两辆车向左转。
[随堂练习（1）是一道与实际生活相关的交通问题，可用树形图法来解决。]
（2）在 6 张卡片上分别写有 1——6 的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二
次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？
通过解答随堂练习（2），学生会发现列出的表格和例 1 的表格完全一样。不同的是：变换了实际背景，
设置的问题也不一样。这时，我提出：我们是否可以根据这个表格再编一道用列举法求概率的题目来呢？
为了进一步拓展思维，我向学生提出了这样一个问题，供学生课后思考：
在前面的引例中，转盘的游戏规则是不公平的，你能把它改成一个公平的游戏吗？
【设计意图】 以上问题的提出和解决有利于学生发现数学问题的本质，做到举一反三，融会贯通。
4.归纳总结，形成能力
我将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获。要求每个学生在组内交流，派小组
代表发言。
【设计意图】通过这个环节，可以提高学生概括能力、表达能力，有助于学生全面地了解自己的学习
n
m
n
m过程，感受自己的成长与进步，增强自信，也为教师全面了解学生的学习状况、因材施教提供了重要依据。
5.布置作业，巩固提高
考虑到学生的个体差异，为促使每一个学生得到不同的发展，同时促进学生对自己的学习进行反思，
在第五个环节“布置作业，巩固提高”里作如下安排：
（1）必做题：教材习题 3.1 3.2
（2）选做题：
①请设计一个游戏，并用列举法计算游戏者获胜的概率。
②研究性课题：通过调查学校周围道路的交通状况，为交通部门提出合理的建议等。
【设计意图】 通过教学实践作业和社会实践活动，引导学生灵活运用所学知识，让学生把动脑、动口、
动手三者结合起来，启发学生的创造性思维，培养协作精神和科学的态度。
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