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第六章 反比例函数
教学目标
知识点：1.反比例函数意义；反比例函数 反比例函数图象；
考点： 2.反比例函数性质；
方法 ： 3. 待定系数法确定函数解析式.
重点难点
教学内容
1.反比例函数的概念
反比例函数 y= 中的 是一个分式,自变量 x≠0,函数与 x 轴、y 轴无交点, y= 也可写成 y=kx-1(k≠0),
注意自变量 x 的指数为-1, 在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 k≠0 这一限制条件.
2.反比例函数的图象
在用描点法画反比例函数 y= 的图象时,应注意自变量 x 的取值不能为 0,应从 1 或-1 开始对称取点.
3.反比例函数 y= 中 k 的意义
注意:反比例函数 y= (k≠0)中比例系数 k 的几何意义,即过双曲线 y= (k≠0)上任意 一点引 x 轴、y 轴
垂线,所得矩形面积为│k│.
1. 反比例函数的图象和性质
2． 的几何含义：反比例函数 y＝ (k≠0)中比例系数 k 的几何意义，如图 17-37 所示，若点 A（x，y）为反
比例函数 图象上的任意一点，过 A 作 AB⊥x 轴于 B，作 AC⊥y 轴于 C，则
S△AOB=S△AOC= S 矩形 ABOC= .
k 的符号 k＞0 k＜0
图像的大致位置
经过象限 第 象限 第 象限
性质
在每一象限内 y 随 x 的增大
而
在每一象限内 y 随 x 的增大
而
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k
x
k k
x
ky x
=
1
2
1 | |2 k
o
y
x
y
xo2
考点一:反比例函数的概念、图像和性质
【例题 1】已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（-2，3）则 m 的值为 ．
【例题 2】已知点 在反比例函数 的图象上，若点 P 关于 y 轴对称的点在反比例函数
的图象上，则 k 的值为 .
【例题 3】点 A(2，1)在反比例函数 的图像上，当 1﹤x﹤4 时，y 的取值范围是 .
【例题 4】点 A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)都在反比例函数 的图象
上，且 x1＜x2＜0＜x3，则 y1、y2、y3 的大小关系是 【 】
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【例题 5】函数 y＝
2
|x|的图象是 【 】
【例题 6】过点 C(1，2)分别作 x 轴、y 轴的平行线，交直线 y＝－x＋6
于 A、B 两点，若反比例函数 y＝
k
x(x＞0)的图像与△ABC 有公共点，则 k 的取值范围是 【 】
A ．2 ≤k ≤9 B ．2 ≤k ≤8 C ．2≤k≤5 D．5≤k≤8
考点二:关于 k 的几何意义
【例题 7 】如图，点 A 、B 在反比例函数 的图象上，过点 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分
别为 M、N，延长线段 AB 交 x 轴于点 C，若 OM=MN=NC,△AOC 的面积为 6，则 k 的值为________.
( , )P a b 2y x
=
ky x
=
y k
x
=
3y= x
−
)0,0( >>= xkx
ky
O O O Ox x x x
y y y y
A． B． C． D． A
B
C
O x
y
例题 6 图3
例题 9 图
【例题 8】如图，□ABCD 的顶点 A、B 的坐标分别是 A(-1,0),B(0，-2),顶点 C、D 在双曲线 y= 上，边 AD 交 y
轴于点 E,且四边形 BCDE 的面积是△ABE 面积的 5 倍，则 k=__________
【例题 9】（2011•陕西）如图，过 y 轴上任意一点 P，作 x 轴的平行线，分别与反比例函数 和
的图象交于 A 点和 B 点，若 C 为 x 轴上任意一点，连接 AC，BC，则△ABC 的面积为 .
【例题 10】如图，点 A 在双曲线 y＝
1
x上，点 B 在双曲线 y＝
3
x上，且 AB∥x 轴，C、D 在 x 轴上，
若四边形 ABCD 为矩形，则它的面积为 ．
例题 10 图 例题 11 图
【例题 11】(2011•兰州)如图，矩形ABCD 的对角线 BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点 C 在反
比例函数 的图象上．若点 A 的坐标为(﹣2，﹣2)，则 k 的值为____________
考点三：待定系数法、一次函数与反比例的综合问题
【例题 12】（2011 河南 20 题 9 分）如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于
点 和 ，与 y 轴交于点 C.
（1） = ， = ；
（2）根据函数图象可知，当 ＞ 时，x 的取值范围是 ；
（3）过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，点 P 是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线 OP 与线段 AD 交于点 E，当
： =3：1 时，求点 P 的坐标.
x
k
xy 4−=
xy 2=
2 2 1k ky x
+ +=
1 1 2y k x= + 2
2
ky x
=
(4, )A m ( 8, 2)B − −
1k 2k
1y 2y
ODACS四边形 ODES
xCO M
B
N
y
A
例题 7 图
E
C
D
B
A
o x
y
例题 8 图4
【例题 12】如图，直线 与反比例函数 的图象交于 ， 两点．
（1）求 的值；
（2）直接写出 时 的取值范围；
（3）如图，等腰梯形 中， ， ， 边在 轴上，过点 作 于
， 和反比例函数的图象交于点 ．当梯形 的面积为 12 时，请判断 和 的大小关
系，并说明理由．
1.如图，一次函数 的图象与坐标轴分别交于 A，B 两点，与反比例函数 的图象在第二象限的交
1y k x b= + 2ky x
= ( 0)x > (1 6)A ， ( 3)B a，
1 2k k、
2
1 0kk x b x
+ − > x
OBCD BC OD∥ OB CD= OD x C CE OD⊥
E CE P OBCD PC PE
y kx b= + ny x
=5
点为 C，CD⊥x 轴，垂足为 D，若 OB=2，OD=4，△AOB 的面积为 1．
（1）求一次函数与反比例的解析式；
（2）直接写出当 时， 的解集．
2.如图，等边△OAB 和等边△AFE 的一边都在 x 轴上，双曲线 y＝ (k＞0)经过边 OB 的
中点 C 和 AE 的中点 D．已知等边△OAB 的边长为 4．
(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边△AEF 的边长．
3.如图,等腰梯形 ABCD 放置在平面直角坐标系中,已知 A(-2,0)、B（6，0）、D（0，3），
反比例函数的图象经过点 C.
(1)求点 C 坐标和反比例函数的解析式;
(2)将等腰梯形 ABCD 向上平移 个单位后,使点 B 恰好落在曲线上, 求 的值.
0x < 0kkx b x
+ − >
m m6
4.如图，一次函数 ( 为常数)的图象与反比例函数
( 为常数，且 ≠0)的图象交于 A，B 两点，且点 A 的坐标为( ，4)．
（1）分别求出反比例函数及一次函数的表达式；
（2）求点 B 的坐标．
5.如图，直线 y=2x+2 与 y 轴交于 A 点，与反比例函数 （x＞0）的图象交于点 M，
过 M 作 MH⊥x 轴于点 H，且 tan∠AHO=2．
（1）求 k 的值；
（2）点 N（a，1）是反比例函数 （x＞0）图象上的点，在 x 轴上是否存在点 P，使得 PM+PN 最小？
若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2y x b= − + b
ky x
= k k 1−7
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