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第二章 一元二次方程
教学目标
1、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，运用一元二次方程解决简单
的实际问题．
2、发展学生的独立思考能力和创新精神．
3、本节主要是对一元二次方程进行系统复习，巩固所学知识，提升应用能力．
重点难点
重点：运用知识、技能解决问题；难点：解题分析能力的提高．
教学过程
一、知识网络图表
二、知识要点归纳
（一）一元二次方程
1、一元二次方程定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式： 。
它的特征是：等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零； 其中
叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常
数项。
二、一元二次方程的解法 ：
1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如 的一元二次方程。根据平方根的定义可知，
是 b 的平方根，当 时， ， ，
当 b0
x= =
x1= + ，x2= -
解：（3）x（x-8）=0 x1=0，x2=8．
（4）配方，得
解： x2+12x+32+4=0+4
（x+6）2=4 x+6=2 或 x+6=-2 x2=-4，x2=-8．
)0(02 ≠=++ acbxax 21 xx ，
a
bxx −=+ 21 a
cxx =21
5
5
5
5
2 4
2
b b ac
a
− ± − 2 5 12
2
±
5 3 5 35
六、巩固训练
巩固概念
1．方程中只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______，这样的______的方程叫做一元
二次方程，通常可写成如下的一般形式：_______（ ）其中二次项系数是______，一次项系数
是______，常数项是________．
2．解一元二次方程的一般解法有
（1）_________；（2）________；（3）_________；（4）求根公式法，
求根公式是______________．
3．一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是____________，
当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；
当_______时，它没有实数根．
一．选择题
1.如果关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 的两根分别为 x1=2，x2=1，
那么 p，q 的值分别是（ ）
A.－3，2 B.3，-2 C.2，－3 D.2，3
2.上海世博会的某纪念品原价 168 元，连续两次降价 %后售价为 128 元.
下列所列方程中正确的是( )
A． B．
C． D．
3.一元二次方程 x2-5x+6=0 的两根分别是 x1,x2,则 x1+x2 等于（ ）
A. 5 B. 6 C. -5 D. -6
4.一元二次方程 的解是 （ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5.一元二次方程 的两根之积是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
6.方程 x2 + x – 1 = 0 的一个根是（ ）
A. 1 – B. C. –1+ D.
7.已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ ）
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
8.一元二次方程 有两个不相等的实数根，
a
128)%1(168 2 =+ a 128)%1(168 2 =− a
128)%21(168 =− a 128)%1(168 2 =− a
2 3 4 0x x+ − =
1 1x = 2 4x = − 1 1x = − 2 4x =
1 1x = − 2 4x = − 1 1x = 2 4x =
2 2 0x x+ − =
5 2
51−
5 2
51+−
)0(02 ≠=++ acbxax6
则 满足的条件是( )
Ａ． ＝0 Ｂ． ＞0
Ｃ． ＜0 Ｄ． ≥0
9. 一元二次方程 的一个根是 ，则另一个根是（ ）
A. 3 B． C． D．
10. 方程 的两根为（ ）
A.6 和-1 B.-6 和 1 C.-2 和-3 D.2 和 3
11.2008 年常德 GDP 为 1050 亿元，比上年增长 13.2%，提前两年实现了市委、市政府在“十一五规划”中
提出“到 2010 年全年 GDP 过千亿元”的目标.如果按此增长速度，那么我市今年的 GDP 为（ ）
A．1050×(1+13.2%)2 B．1050×(1－13.2%)2
C．1050×(13.2%)2 D．1050×(1+13.2%)
12．方程(x－5)( x－6)＝x－5 的解是（ ）
A．x＝5 B．x＝5 或 x＝6 C．x＝7 D．x＝5 或 x＝7
13. 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
14.近年来，全国房价不断上涨，某县 201 0 年 4 月份的房价平均每平方米为 3600 元， 比 2008 年同期的
房价平均每平方米上涨了 2000 元，假设这两年该县房价的平均增长率均为 ，则关于 的方程为( )
A． B．
C． D．
15.关于 的一元二次方程 的两个实数根分别是 ，
且 ，则 的值是（ ）
A．1 B．12 C．13 D．25
二.填空题
1.已知 ，则 .
2. 某 商 场 销 售 额 3 月 份 为 16 万 元 ， 5 月 份 为 25 万 元 ， 该 商 场 这 两 个 月 销 售 额 的 平 均 增 长 率
是 ．
3. 某公司在 年的盈利额为 万元，预计 年的盈利额将达到 万元，
若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在 年的盈利额为________万元．
4.如图,在宽为 ,长为 的矩形地面上修建两条宽都是 的道路,余下部
分种植花草.那么,种植花草的面积为 .
acb 42 −
acb 42 − acb 42 −
acb 42 − acb 42 −
2 3 0x kx+ − = 1x =
1− 3− 2−
2 5 6 0x x− − =
x 2 6 2 0x x k− + = k
9
2k ≤ 9
2k < 9
2k ≥ 9
2k >
x x
( )21 2000x+ = ( )22000 1 3600x+ =
( )( )3600 2000 1 3600x− + = ( )( )23600 2000 1 3600x− + =
x 2 2 1 0x mx m− + − = 1 2x x、
2 2
1 2 7x x+ = 2
1 2( )x x−
012 =−− aa =+− 20093 aa
2009 200 2011 242
2010
m30 m40 m1
2m
′
′7
5. 已知 x = 1 是一元二次方程 的一个根，则 的
值为 ．
6.设 ， 是一元二次方程 的两个实数根，
则 的值为__________________．
7.方程 的解是 ．
8.已知 x=2 是一元二次方程（ 的一个根，
则 的值是 。
9.方程 x +1＝2 的解是 ．
10.方程 x + 6= x 的根是______ _____.
11. 已知三角形两边长是方程 的两个跟，
则三角形的第三边 的取值范围是 。
12. 某种商品原价是 120 元，经两次降价后的价格是 100 元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价
的百分率为 ，可列方程为 ．
13.已知关于 x 的一元二次方程 有实数根，
则 m 的取值范围是 ．
14．关于 的一元二次方程 的根是 ．
15．代数式 3x2－4x－5 的值为 7，则 x2－
4
3x－5 的值为___________．
16. 方程 的解为 .
三.解答题
1.解方程：
x
x ─ 1─
2 x ─ 2
x ─ 1 = 0
2.已知关于 x 的一元二次方程 x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为 x1，x2．
（1）求 m 的取值范围；
02 =++ nmxx 22 2 nmnm ++
1x 2x 2 3 2 0x x− − =
2 2
1 1 2 23x x x x+ +
2 3 1 0x x− + =
04)2 22 =−+− mxxm
m
2
2 5 6 0x x− + =
c
x
01)1 2 =++− xxm（
x ( 3)( 1) 0x x+ − =
( )1 0x x − = 1 20, 1x x= =8
（2）设 y = x1 + x2，当 y 取得最小值时，求相应 m 的值，并求出最小值．
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