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第一章 特殊平行四边形
【知识考点】
一、菱形的性质与判定
1．菱形的性质:
菱形的判定：
温馨提示：为什么菱形的判定定理中没有两组对角的事？
二、矩形的性质与判定
1．矩形的性质:
2．矩形的判定：
温馨提示：为什么矩形的判定定理中没有两组对边的事？
三、正方形的性质与判定
( )
( )
轴是轴对称，有两条对称菱形既是中心对称，又
一组对角且每一条直线
，角线相互对角线：菱形的两条对
边：菱形的四条边都
四边形的一切性质平行四边形：具有平行
2
__________
__________
.__________1
是矩形的且对角线
是矩形的对角线对角线
是矩形的有三个角是
是矩形的有一个角是角
________________________________
_________________________
_________________________
._________________________
( )
( )
轴是轴对称，有两条对称矩形既是中心对称，又
相等且相互平分对角线：矩形的对角线
直角角：矩形的四个角都是
行且相等边：矩形的两组对边平
四边形的一切性质平行四边形：具有平行
2
1
是矩形的且对角线
是矩形的对角线对角线
是矩形的有三个角是
是矩形的有一个角是角
________________________________
_________________________
_________________________
._________________________2
1．正方形的性质:
温馨提示：正方形是否具有矩形和菱形的一切性质？
2．正方形的判定：
温馨提示：正方形的判定中为什么关于对角线的判定会这么多，请思考？
四、平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系
温馨提示：请用画图的方法确定四者之间的关系，要有整体的观点来看待！
【重点难点】
几种特殊的平行四边形的特征及识别方法一览表:
边 角 对角线 对称性 识别方法
( )
( )
称轴又是轴对称，有四条对正方形既是中心对称，
一组对角每一条直线
，且对角线相互对角线：正方形的两条
，四条边都边：正方形的对边平行
四边形的一切性质平行四边形：具有平行
2
__________
________________
.__________1
是正方形且相等的对角线互相平分、垂直
是正方形的对角线互相垂直且相等
是正方形对角线相等的
是正方形对角线互相垂直的
对角线
是正方形的边：有一组
是正方形的角：有一个角是
是正方形形的定义：既是矩形又是菱
__________
________________
__________________________
______________________
_______________________
.___________________
____________3
对边平行
且相等
四个角都
是直角
互相平分
且相等
中心对
称和轴
对称
①三个角是直角的四边形
②一个角是直角的平行四边形
③对角线相等的平行四边形
对边平行
四边相等
对角相等 互相垂直
平分且平
分对角
中心对
称轴对
称
①四条边相等的四边形
②邻边相等的平行四边形
③对角线垂直的平行四边形
对边平行
四边相等
四个角都
是直角
互相垂直
平分且相
等，平分
对角
中心对
称轴对
称
①邻边相等的矩形是正方形
②一个角是直角的菱形
③平行四边形+直角+邻边相等
【讲一讲】
例 1．如图，BD 是△ABC 中∠ABC 的平分线，DE//BC 交 AB 于 E，DF//AB 交 BC 于 F.试判断四边形 BFDE
的形状并说明理由.
分析：此题条件中有角分线有平行线，一般会有等腰三角形存在.
解：由 DE//BC，DF//AB
得到 DE//BF，DF//EB，∠2=∠3.
因此四边形 EBFD 是平行四边形
又 BD 平分∠ABC
则∠1=∠2
可得∠1=∠3=∠2
因此 BE=ED
所以四边形 BFDE 是菱形.
例 2．已知如图，平行四边形 ABCD 的 对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于 E、F。试判断四
边形 AFCE 的形状并说明理由.
解：由于 EF 是 AC 的垂直平分线，得到 AE=EC，∠1=∠2
由平行四边形 ABCD 可得 AE//FC，因此∠1=∠3，
F
A
B C
DE
O
1
234
所以∠3=∠2，在直角三角形 EOC 和 FOC 中，
∠OEC=∠OFC，得到 CE=CF，因此 AE=CF
由 AE=FC 且 AE//FC 得到四边形 AFCE 是平行四边形
由于一组邻边相等的平行四边形是菱形
因此四边形 AFCE 是菱形
例 3．如图，点 M 是矩形 ABCD 的边 AD 中点，点 P 是 BC 边上一 动点，PE⊥
MC，PF⊥BM，垂足分别为 E、F。
（1） 当四边形 PEMF 为矩形时，矩形 ABCD 的长与宽
应满足什么条件？
（2） 在（1）中，当点 P 运动到什么位置 时，四边
形 PEMF 变为正方形？为什么？
分析：（1）四边形 PEMF 中已经有两个直角了，若为矩形，还需再有一个直角，即∠BMC=900
由于矩形是轴对称图形，因此∠AMB=∠DMC=450，即 AB=AM=MD
（2）四边形 PEMF 为正方形，只需 PE=PF，因此 P 是 BC 中点。
解：（1）当 BC=2AB 时，四边形 PEMF 为矩形
由于 M 是 AD 中点，矩形 ABCD，得到三角形 ABM 和 DCM 都是等腰直角三角形，∠AMB=∠DMC=450
因此∠BMC=900，又 PE⊥MC，PF⊥BM，所以四边形 PEMF 为矩形
（2）当 P 为 BC 中点，BC=2AB 时，矩形是轴对称图形，BM=CM。又三角形 PBM 和 PCM 的面积相等，因
此得到 PE=PF，所以四边形 PEMF 为正方形
例 4．已知如图，菱形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，AE 、BD 交于 M，若 AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：
AM=BE。
分析：菱形的四条边都相等，且对角线互相垂直且平分一组对角
因此在解决菱形的有关问题时，经常要用到菱形的这些特殊性质
P
A
B C
D
E
F
M
4
1
3
2 P
A
B C
D
E
F
M
4
1
3
25
解：设∠BAE 为 x 度，∠EAD 为 2x 度
由菱形 ABCD 可知 AD//BC 且 BD 平分∠ABC，
则∠AEB=∠EAD=（2x）0，∠ABD=∠DBC=（x）0
在三角形 ABE 中，x+2x+2x=180
x=36
△ABM 中，∠ABM=∠BAM=360 ，AM=BM
△EBM 中，∠BME=∠BEM=720 ，BM=BE
所以 AM=BE
【练习】
（一） 选择题
1．对角线相等的四边形是( )
A. 矩形 B. 正方形 C. 等腰梯形 D.矩形、正方形、等腰梯形作为结论都不对
2．下面几种说法：①正方形是有一组对边平行的四边形;② 矩形是菱形;③ 矩形是正方形 ④正方形是矩
形.那么( )
A. ①②③④都不正确；B. 只有②是错误的；C. 只有④是正确的；D.只有②③是错的
3．有三个角相等的四边形是
A.矩形 B. 菱形 C.正方形 D.矩形、菱形、正方形作为结论都不对
4．下面几种说法：①对角线互相垂直的四边形是菱形；②一组对边平行一组邻边相等的四边是菱形；③
两条对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，那么正确的说法是
（ ）
A. ①②③ B. ②③ C. ③④ D.②④
5． 下列图形既是中心对称又是轴对称图形的是( )
A.平行四边形和矩形; B.矩形和菱形;
C.正三角形和正方形; D.平行四边形和正方形
6．矩形两条对角线交点到小边距离比到大边距离多 4 厘米，若矩形周长为 56 厘米，则矩形两邻边长为( )
A.18 和 10 厘米 B.16 和 12 厘米 C.8 和 10 厘米 D.5 和 9 厘米
B M
A
D
CE6
（二）解答题
1．菱形 ABCD 中，∠A=60°，对角线 BD=2，求菱形的周长。
2．如图，ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 交于 O，MN//AB.且分别与 AO、BO 交于 M、N.猜测线段 BM 与 CN
之间的关系.并证明你的猜测.
3．如图，矩形 ABCD 中，AC、BD 交于 O 点，AE 平分∠BAD.若∠EAO=15°，求∠BOE 的度数.
4．如图，菱形 ABCD 中,E,F 分别是 BC,CD 上的点，若 AE=AF=EF=AB.求∠C 的度数。
5．如图，以△ABC 的三边为边在 BC 边的同侧作等边三角形△DBA，△EBC，△FAC.7
（1）试说明四边形 AFED 是平行四边形
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 AFED 是矩形.说明理由.
（3）当△ABC 满足什么条件时，四边形 AFED 是正方形？
（4）当△ABC 满足什么条件时，四边形 AFED 不存在？
参考答案
（一）选择题 D C D C B A
(二) 解答题
1．由菱形 ABCD 可知 AB=AD=DC=CB.在△ABD 中，∠A=60°，则△ABD 是等边三角形.得到 AB=BD=2，所以菱
形的周长为 8.
2．猜测①BM=CN，②BM⊥CN。将△MOB 绕 O 点逆时针旋转 90°得到△ONC
3．矩形 ABCD 中，∠BAD=∠ABC=90°， 且 AC=BD.则 OA=OB
又 AE 平分∠BAD，则∠BAE=45°，∠BEA=45°
所以 AB=BE
又∠EAO=15°，
BDBOACAO 2
1,2
1 ==8
则∠BAO=60°
所以△ABO 是等边三角形
得到∠ABO=60°，OB=AB
因此∠OBE=30°，OB=BE
所以∠BOE=75°.
4．1000
5．提示（1）△ABC 绕 C 点顺时针方向旋转 60 度，得到△FEC；△ABC 绕 B 点逆时针方向旋转 60 度，得到△
DBE；
（2）当△ABC 满足∠BAC=1500 时，四边形 AFED 是矩形。
（3）当△ABC 满足∠BAC=1500 且 AB=AC 时，四边形 AFED 是正方形。
（4）当△ABC 满足∠BAC=600 时，四边形 AFED 不存在。
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