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第 2 课时 利用一元二次方程解决营销问题及平均变化率问题
教学内容
本节课主要学习建立一元二次方程的数学模型解决营销问题及平均变化率问题。
教学目标
知识技能
1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学
模型．
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
数学思考
经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行
描述。
解决问题
通过解决营销问题及平均变化率问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的
多样性，发展实践应用意识．
情感态度
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数
学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
重难点、关键
重点：列一元二次方程解有关营销及平均变化率问题的应用题
难点：发现问题中的等量关系
关键：建立一元二次方程的数学模型
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容
教学过程
一、复习引入
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为 x，第一年的产量为 6 万 kg，第二年的产量为
_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2．某糖厂 2002 年食糖产量为 at，如果在以后两年平均增长的百分率为 x，那么预计 2004 年的产量
将是________．
【活动方略】
教师演示课件，给出题目．
学生口答，老师点评。
【设计意图】
复习基本的变化率问题，掌握其数量关系，为继续学习建立一元二次方程的数学模型解变化率问题
作好铺垫．
二、探索新知
【问题情境】
两年前生产 1t 甲种药品的成本是 5000 元，生产1t乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技术的进步，
现在生产 1t 甲种药品的成本是 3000 元，生产 1t乙种药品的成本是 3600 元，哪种药品成本的年平均下降
率较大?
老师点评：
绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000 元，乙种药品成本的年平均下降额
为（6000-3000）÷2=1200 元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就是能否说明乙种药品成本的年平均下2
降率大呢?下面我们通过计算来说明这个问题．
解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x，
则一年后甲种药品成本为 5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为 5000（1-x）元．
依题意，得 5000（1-x）2=3000
解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）
设乙种药品成本的平均下降率为 y．
则：6000（1-y）2=3600 整理，得：（1-y）2=0.6
解得：y≈0.225
答：两种药品成本的年平均下降率一样大．
【思考】
经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比
较几个对象的变化状态？
【活动方略】
学生分组、讨论解答。选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意问题．
教师演示问题，诱导解答，总结规律。
【设计意图】
使学生通过解题，体会绝对量与相对量的联系与区别，丰富解题经验．
三、反馈练习
1．某电脑公司 2001 年的各项经营中，一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 950
万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
2．某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取 1000 元用于购物，剩下的 1000 元及应得
利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共 1320 元，求这种存款方式的
年利率．
【活动方略】
学生独立思考、独立解题．
教师巡视、指导，并选取两名学生上台书写解答过程（或用投影仪展示学生的解答过程）
【设计意图】
检查学生对所学知识的掌握情况.
例 2：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出 500 张，每张盈利 0.3
元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低 0.1 元，
那么商场平均每天可多售出 100 张，商场要想平均每天盈利 120 元，每张贺年卡应降价多少元?
分析：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价 x 元，则每件平均利润应是（0.3-x）
元，总件数应是（500+ ×100）
解：设每张贺年卡应降价 x 元
则（0.3-x）（500+ ）=120 解得：x=0.1
答：每张贺年卡应降价 0.1 元．
例 3：．某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若每千克 50 元销售，一
个月能售出 500kg，销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克 55 元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每千克 x 元，月销售利润为 y 元，求 y 与 x 的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应为多
少?
分析：（1）销售单价定为 55 元，比原来的销售价 50 元提高 5 元，因此，销售量就减少 5×10kg．
（2）销售利润 y=（销售单价 x-销售成本 40）×销售量[500-10（x-50）]
0.1
x
100
0.1
x3
（3）月销售成本不超过 10000 元，那么销售量就不超过 =250kg，在这个提前下，求月销售利
润达到 8000 元，销售单价应为多少．
解：（1）销售量 500-5×10=450（kg）；销售利润 450×（55-40）=450×15=6750 元
（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000
（3）由于水产品不超过 10000÷40=250kg，定价为 x 元，则（x-400）[500-10（x-50）]=8000
解得：x1=80，x2=60
当 x1=80 时，进货 500-10（80-50）=200kg250kg，（舍去）．
【活动方略】
教师活动：操作投影，将例题显示，组织学生讨论．
学生活动：合作交流，讨论解答。
【设计意图】
使学生充分体会变化率问题的数量关系，掌握两种及以上对象的变化的解题方法，进一步提升学生对
这类问题的解题能力。
四、小结作业
1．问题：
通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？
2．作业：教材 P55，习题 2.10
【活动方略】
教师引导学生归纳小结，学生反思学习和解决问题的过程．
学生独立完成作业，教师批改、总结．
【设计意图】通过归纳总结，培养学生的归纳总结能力，通过课外作业，使学生进一步理解，内化知
识。
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