1
第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
第 1 课时 一元二次方程
教学内容
一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．
教学目标
了解一元二次方程的概念；一般式 ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；应用一元二次方程概念解
决一些简单题目．
1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．
2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．
3．解决一些概念性的题目．
4．态度、情感、价值观
4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重难点关键
1．重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．
2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元
二次方程的概念．
教学过程
一、复习引入
学生活动：列方程．
问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、
广各几何？”
大意是说：已知长方形门的高比宽多 6 尺 8 寸，门的对角线长 1 丈，那么门的高和宽各是多少？
如果假设门的高为 x尺，那么，这个门的宽为_______尺，根据题意，得________．
整理、化简，得：__________．
问题（2）如图，如果 ，那么点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点．
如果假设 AB=1，AC=x，那么 BC=________，根据题意，得：________．
整理得：_________．
问题（3）有一面积为 54m2 的长方形，将它的一边剪短 5m，另一边剪短 2m，恰好变成一个正方形，那
么这个正方形的边长是多少？
如果假设剪后的正方形边长为 x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：
_______．
整理，得：________．
老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．
二、探索新知
学生活动：请口答下面问题．
（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？
（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？
AC CB
AB AC
=
BCA
www.czsx.com.cn （3）有 等号吗？或与以前多项式一样只有式子？
老师点评：（1）都只含一个未知数 x；（2）它们的最高次数都是 2 次的；（3）都有等号，是方
程．
因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）
的方程，叫做一元二次方程．
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ax2+bx+c=0（a≠0）．这种
形式叫做一元二次方程的一般形式．
一个一元二次方程经过整理化成 ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是
一 次项，b 是一次项系数；c 是常数项．
例 1．将方程（8-2x）（5-2x）=18 化 成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项
系数及常数项．
分析：一元二次方程的一般形式是 ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18 必须运用
整式运算进行整理，包括去括号、移项等．
解：去括号，得：
40-16x-10x+4x2=18
移项，得：4x2-26x+22=0
其中二次项系数为 4，一次项系数为-26，常数项为 22．
例 2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=1 化成一元二次方
程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+（x-2）（x+2）=1 化成 ax 2+bx+c=0（a≠0）的形
式．
解：去括号，得：
x2+2x+1+x2-4=1
移项，合并得：2x2+2x-4=0
其中 ：二次项 2x2，二次项系数 2；一次项 2x，一次项系数 2；常数项-4．
三、巩固练习
教材随堂练习 1、2
四、应用拓展
例 3．求证：关于 x 的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程．
分析：要证明不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m2-8m+17≠0 即可．
证明：m2-8m+17=（m-4）2+1
∵（m-4）2≥0
∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0
∴不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程．
五、归纳小结（学生总结，老师点评）
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；（2）一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项
系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．
六、布置作业
1．教材习题 2．1 1、2．
2．选用作业设计．
作业设计
一、选择题
1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2- =0
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2．方程 2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）．
A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6
3．px2-3x+p2-q=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ）．
A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p 为任意实数
二、填空题
1．方程 3x2-3=2x+1 的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．
2．一元二次方程的一般形式是__________．
3．关于 x 的方程（a-1）x2+3x=0 是一元二次方程，则 a 的取值范围是________．
三、综合提高题
1．a 满足什么条件时，关于 x 的方程 a（x2+x）= x-（x+1）是一元二次方程？
2．关于 x 的方程（2m2+m）xm+1+3x=6 可能是一元二次方程 吗？为什么？
答案:
一、1．A 2．B 3．C
二、1．3，-2，-4
2．ax+bx+c=0（a≠0）
3．a≠1
三、1．化为：ax2+（a- +1）x+1=0，所以，当 a≠0 时是一元二次方程．
2．可能，因为当 ，
∴当 m=1 时，该方程是一元二次方程．
5
x
3
3
2
1 2
2 0
m
m m
+ =
+ ≠
微信/支付宝扫码支付